2017-2018学年山东省泰安市高二上学期期末数学理试题（解析版）

2017-2018学年山东省泰安市高二上学期期末数学理试题（解析版）

‎2017-2018学年山东省泰安市高二上学期期末数学理试题（解析版）‎ 第Ⅰ卷（选择题 共60分）‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. 已知，则下列结论正确的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】当时，A,C,D不成立，所以选B.‎ ‎2. 用反证证明“如果，那么”.假设内容是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：原命题的结论为：。则反证法需假设结论的反面；应为小于或等于，即：或。‎ 考点：反证法的假设环节.‎ ‎3. 一个命题与它的逆命题，否命题，逆否命题这四个命题中（ ）‎ A. 假命题与真命题的个数相同 B. 真命题的个数是奇数 C. 真命题的个数是偶数 D. 假命题的个数是奇数 ‎【答案】C ‎【解析】一个命题与它的逆命题，否命题，逆否命题这四个命题中真命题的个数可以为0，2，4个，所以选C.‎ ‎4. 下列双曲线中，焦点在轴上且渐近线为的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎，所以选C.‎ 点睛：1.已知双曲线方程求渐近线：‎ ‎2.已知渐近线 设双曲线标准方程 ‎3，双曲线焦点到渐近线距离为，垂足为对应准线与渐近线的交点.‎ ‎5. 已知数列是等比数列，，，则公比等于（ ）‎ A. -2 B. C. 2 D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】 ，选D.‎ ‎6. 的内角的对边分别是，已知，则等于（ ）‎ A. 3 B. 2 C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由余弦定理得 （负舍），选A.‎ ‎7. 抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离是（ ）‎ A. B. C. 1 D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意，得抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离是.故选A.‎ ‎8. 如图，空间四边形中，，点在上，且，点为中点，则等于（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】 ‎ ‎ ,选B.‎ ‎9. 已知数列是公差为1的等差数列，为的前项和，若，则等于（ ）‎ A. B. C. 10 D. 12‎ ‎【答案】B 考点：等差数列.‎ 视频 ‎10. 如图，从气球上测得正前方的河流的两岸的俯角分别为，此时气球距地面的高度是，则河流的宽度等于（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】 ，选C.‎ ‎11. 有6名选手参加演讲比赛，观众甲猜测：4号或5号选手得第一名；观众乙猜测：3号选手不可能得第一名；观众丙猜测：1，2，6号选手中的一位获得第一名；观众丁猜测：4，5，6号选手都不可能获得第一名.比赛后发现没有并列名次，且甲、乙、丙、丁中只有1人猜对比赛结果，此人是（ ）‎ A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：如果1、2号得第一名，则乙丙对，如果3号得第一名，则只有丁对，如果4、5号得第一名，则甲乙都对，如果6号得第一名，则乙丙都对，因此只有丁猜对，故选D．‎ 考点：反证法．‎ ‎12. 已知是椭圆与双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，若，则的最小值为（ ）‎ A. B. C. 8 D. 6‎ ‎【答案】C ‎【解析】设， ‎ ‎ ，选C.‎ 点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.‎ 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13. 命题，，则命题的否定为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为的否定为，‎ 所以 命题的否定为：‎ 点睛：1.命题的否定与否命题区别 ‎“否命题”是对原命题“若p，则q”的条件和结论分别加以否定而得到的命题，它既否定其条件，又否定其结论；“命题的否定”即“非p”，只是否定命题p的结论. 2命题的否定的注意点(1)注意命题是全称命题还是存在性命题，是正确写出命题的否定的前提；(2)‎ 注意命题所含的量词，对于量词隐含的命题要结合命题的含义显现量词，再进行否定；(3)注意“或”“且”的否定，“或”的否定为“且”，且”的否定为“或”.‎ ‎14. 已知直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】如图所示，‎ 设分别为，和的中点，则、夹角为和夹角或其补角，可知，；作中点，则为直角三角形；∵，，中，由余弦定理得 ，∴，∴；在中，；在中，由余弦定理得；又异面直线所成角的范围是，∴与所成角的余弦值为，故答案为.‎ 点睛：本题考查了空间中的两条异面直线所成角的计算问题，也考查了空间中的平行关系应用问题，是中档题；求异面直线所成的角的方法：求异面直线的夹角关键在于平移直线，常用相似比，中位线，梯形两底，平行平面等手段来转移直线，同时需注意角的范围.‎ ‎15. 若两个正实数满足，则的最小值是__________．‎ ‎【答案】8‎ ‎【解析】试题分析：由（当且仅当即 时等号成立）.‎ 考点：基本不等式.‎ ‎16. 在平面内，点三点共线的充要条件是：对于平面内任一点，有且只有一对实数，满足向量关系式，且.类比以上结论，可得到在空间中，四点共面的充要条件是：对于平面内任一点，有且只有一对实数满足向量关系式__________．‎ ‎【答案】，且 ‎【解析】此类比仅是数量的变化，即在空间中，四点共面的充要条件是：对于平面内任一点，有且只有一对实数满足向量关系式，且 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. 设命题实数满足，或，命题实数满足（其中）‎ ‎（1）若，且为真命题，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）先解不等式得命题成立时实数的取值范围，再求补集得成立时实数的取值范围，最后求交集得结果，（2）由是的充分不必要条件，得两集合之间包含关系，即命题成立时实数的取值范围为成立时实数的取值范围的真子集，结合数轴求实数的取值范围.‎ 试题解析：（1）当 命题 ‎∵命题或 ∴‎ 又为真命题，∴满足 ∴‎ ‎∴实数的取值范围 ‎（2）由题意得：命题 ‎∵是的充分不必要条件∴∴‎ ‎∴实数的取值范围 ‎18. 在中，分别是内角的对边，且.‎ ‎（1）若，求的值；‎ ‎（2）若的面积为，求的周长.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据正弦定理得的值，（2）根据三角形面积公式得，根据余弦定理得，解得，即得的周长.‎ 试题解析：（1）在中，由题意知，‎ 由正弦定理得： ∴.‎ ‎（2）∵ ∴‎ 由余弦定理得 ‎∴ ∴‎ ‎∴的周长为 点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：‎ 第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.‎ 第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.‎ 第三步：求结果.‎ ‎19. 如图，三棱柱中，侧面为菱形，.‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）若，求二面角的正弦值.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）连接，交于点菱形性质得根据线面垂直判定定理得平面即得结论，（2）根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用方程组解各面法向量，根据向量数量积求夹角，最后根据二面角与向量夹角相等或互补关系求二面角 的正弦值.‎ 试题解析：（1）证明：连接，交于点，连接，因为侧面为菱形，‎ 所以，且为与的中点，，∴，‎ 又，所以平面.‎ 故 ‎（2）在中，∵，∴.‎ 结合（1）可知，三条直线两两垂直，因此，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.‎ 在中，∵，∴，‎ 又因为为的中点，所以.‎ 因为，所以为等边三角形，‎ 因为，所以，.‎ 所以，，，.‎ ‎，，‎ 设是平面的一个法向量，‎ 则，即，所以可取，则.‎ 同理，平面一个法向量 则，所以.‎ ‎20. 已知等差数列中，公差，且成等比数列.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若数列的前项和为，则.‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析 ‎【解析】试题分析：（1）根据等差数列通项公式以及求和公式将条件转化为关于首项与公差的方程组，解得首项与公差，即得结果.（2）先根据裂项相消法求数列的前项和为，即证得结论.‎ 试题解析：（1）由题意得 ‎ 整理得∴‎ ‎∴‎ ‎（2）∵‎ ‎∴‎ ‎ ‎ 点睛：裂项相消法是指将数列的通项分成两个式子的代数和的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如 (其中是各项均不为零的等差数列，c为常数)的数列. 裂项相消法求和，常见的有相邻两项的裂项求和(如本例)，还有一类隔一项的裂项求和，如或.‎ ‎21. 某运输公司有7辆可载的型卡车与4辆可载的型卡车，有9名驾驶员，建筑某段高速公路中，此公司承包了每天至少搬运沥青的任务，已知每辆卡车每天往返的次数为型车8次，型车6次，每辆卡车每天往返的成本费为型车160元，型车252元，每天派出型车和型车各多少辆，公司所花的成本费最低？‎ ‎【答案】1304‎ ‎【解析】试题分析：根据任务以及资源限制列约束条件，画出可行域，根据目标函数，确定最值取法，解方程组得最优解.‎ 试题解析：设每天派出型车辆，型车辆，成本为 所以和需满足：‎ 可行域如图 目标函数为.‎ 把变形为 得到斜率为，在轴上的截距为 随变化的一组平行直线.‎ 在可行域的整点中，点使得取得最小值.‎ 所以每天派出型车5辆，型车2辆成本最小，最低成本1304元.‎ ‎22. 设椭圆的左焦点为，右顶点为，离心率为，已知点是抛物线的焦点，点到抛物线准线的距离是.‎ ‎（1）求椭圆的方程和抛物线的方程；‎ ‎（2）若是抛物线上的一点且在第一象限，满足，直线交椭圆于两点，且，当的面积取得最大值时，求直线的方程.‎ ‎【答案】（1）椭圆的方程为，抛物线的方程为；（2）或 ‎【解析】试题分析：（1）根据椭圆与抛物线几何条件列方程组，解得，得即得结果.（2）先根据抛物线定义求出B点坐标，确定MN斜率，设直线方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理以及弦长公式得底边边长，根据点到直线距离公式得高，代入三角形面积公式得的面积函数关系式，最后根据二次函数最值求法确定直线的方程.‎ 试题解析：（1）由题意可列方程组：‎ ‎，解得，所以.‎ 从而椭圆的方程为，抛物线的方程为.‎ ‎（2）可设，抛物线的准线方程为，‎ 由抛物线的定义得：，解得，‎ 所以，因为点在第一象限，所以.‎ 从而.由于，所以，‎ 的方程可设为：，即：.‎ 设，‎ 联立方程组，消去得：，‎ 可得，‎ 整理为，解得：.‎ ‎∴，.‎ 所以 ‎ ‎ 点到直线的距离.‎ 所以 ‎ 当时，即：时的面积取得最大值.‎ 此时的方程为或.‎ 点睛：解析几何中的最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数，然后借助于函数最值的探求来使问题得以解决.‎