河南省郑州市第一中学2020届高三上学期期中考试数学（文）试题

河南省郑州市第一中学2020届高三上学期期中考试数学（文）试题

‎2019—2020上学年期中考试 ‎20届 高三文科数学试题 一、选择题（每小题5分，共60分。下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）‎ ‎1.若，则x+y是的( )‎ A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 非充分非必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 在第一象限中，画出和的范围，根据两者的包含关系判断充分、必要条件.‎ ‎【详解】在第一象限中，画出和的范围如下图所示，由图可知前者的范围包含后者的范围，故前者是后者的必要不充分条件条件.故选B.‎ ‎【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查利用图像表示不等式，属于中档题.‎ ‎2.若复数是实数，则实数的值是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用复数的除法法则将复数表示为一般形式，利用虚部为零可求出实数的值.‎ ‎【详解】，‎ 由题意可得，解得.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查根据复数的类型求参数的值，解题的关键就是利用复数的四则运算法则将复数表示为一般形式，利用实部和虚部进行求解，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎3.在平面直角坐标系中，已知，点在第二象限内，，且，若，则的值分别是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析:由题意可得,则,解之得,应选C.‎ 考点：向量的坐标形式的运算及待定系数法的运用.‎ ‎4.具有相关关系的两个量、的一组数据如下表，回归方程是，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出、的值，然后将点的坐标代入方程，即可求出实数的值.‎ ‎【详解】，，‎ 将点代入回归直线方程得，解得.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查利用回归直线方程求原始数据，解题时要熟悉“回归直线过样本的中心点”这一结论的应用，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎5.要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）‎ A. 向左平移个单位 B. 向左平移个单位 C. 向右平移个单位 D. 向右平移个单位 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将初始函数的解析式化为，目标函数的解析式化为，然后利用平移变换的基本原则可得出正确选项.‎ ‎【详解】初始函数为，目标函数为，‎ 因此，将函数的图象向右平移个单位，可得到函数的图象.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查三角函数的平移变换，在处理这类问题要注意两个问题：一是两个函数的名称相同，二是左右平移指的是自变量上变化了多少，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.‎ ‎6.根据某地方的交通状况绘制了关于交通指数的频率分布直方图（如图）.若样本容量为 个，则交通指数在之间的个数是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 用乘以内的两个矩形面积之和，可得出所求结果.‎ ‎【详解】由题意可知，交通指数在之间的个数是.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查利用频率分布直方图计算频数，解题时要熟悉样本容量、频率和频数三者之间的关系，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎7.若，，则的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析】‎ 将分式平方，利用基本不等式可求出的最小值，由此可得出的最小值.‎ ‎【详解】，即，‎ 当且仅当时等号成立，因此，的最小值为.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查利用基本不等式求代数式的最值，解题时要注意“一正、二定、三相等”条件的成立，考查计算能力，属于中等题.‎ ‎8.已知椭圆的中心在原点，离心率，且它的一个焦点与抛物线的焦点重合，则此椭圆方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：抛物线的焦点坐标为,所以椭圆的一个焦点坐标为，所以，又，所以，所以椭圆的标准方程为，故选A．‎ 考点：1．椭圆标准方程与几何性质；2．抛物线的标准方程与几何性质．‎ ‎9.如图，是抛物线的一条经过焦点的弦，与两坐标轴不垂直，已知点，，则的值是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设直线的方程为，设点、，将直线的方程与抛物线的方程联立，由可得知，直线的斜率和的斜率互为相反数，然后利用斜率公式以及韦达定理可求出实数的值.‎ ‎【详解】抛物线的焦点为，‎ 设直线的方程为，设点、，则.‎ 将直线的方程与抛物线的方程联立，得，‎ 由韦达定理得，.‎ 由于，则直线的斜率和的斜率互为相反数.‎ 即，即，整理得，‎ ‎，因此.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查直线与抛物线的综合问题，处理这种问题一般将直线方程与抛物线方程联立，结合韦达定理设而不求法进行求解，考查运算求解能力，属于中等题.‎ ‎10.执行如图的程序框图，则输出的值是 (　　)‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的x，y的值，当 时，不满足条件退出循环，输出x的值即可得解．‎ ‎【详解】解：模拟执行程序框图，可得 ‎.‎ 满足条件，执行循环体，；‎ 满足条件，执行循环体， ；‎ 满足条件，执行循环体，；‎ 满足条件，执行循环体， ；‎ ‎…‎ 观察规律可知，x的取值周期为3，由于，可得：‎ 满足条件，执行循环体，‎ 当 ,不满足条件，退出循环，输出x的值为2．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图，依次写出每次循环得到的x，y的值，根据循环的周期，得到跳出循环时x的值是解题的关键．‎ ‎11.若函数与图象上存在关于轴对称的点，则的取值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 由题意可得：存在x0∈（-∞，0），满足， 即有负根， ∵当x趋近于负无穷大时，也趋近于负无穷大， 且函数为增函数， ∴， ∴， ∴， ∴a的取值范围是， 故选：A ‎12.已知双曲线的左右焦点为为它的中心，为双曲线右支上的一点，的内切圆圆心为，且圆与轴相切于点，过作直线的垂线，垂足为，若双曲线的离心率为，则（ ）‎ A. B. C. D. 与 关系不确定 ‎【答案】A ‎【解析】‎ F1（﹣c，0）、F2（c，0），内切圆与x轴的切点是点A ‎∵|PF1|﹣|PF2|=2a，及圆的切线长定理知，‎ ‎|AF1|﹣|AF2|=2a，设内切圆的圆心横坐标为x，‎ 则|（x+c）﹣（c﹣x）|=2a ‎∴x=a；‎ ‎|OA|=a，‎ 在△PCF2中，由题意得，F2B⊥PI于B，延长交F1F2于点C，利用△PCB≌△PF2B，可知PC=PF2，‎ ‎∴在三角形F1CF2中，有：‎ OB=CF1=（PF1﹣PC）=（PF1﹣PF2）=×2a=a．‎ ‎∴|OB|=|OA|．‎ 故选：A．‎ 点睛：这个题目考查了双曲线几何意义和双曲线的第一定义；用到了焦三角形的的内切圆的性质和结论。一般无论双曲线还是椭圆，和焦三角形的有关的可以想到，焦三角形的的周长，余弦定理，定义的应用，面积公式等。‎ 二、填空题（每题5分，共20分。把答案填在答题纸的横线上）‎ ‎13.数列，，，，，，，，，，，，前项的和是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由数列规律可知有项，且和为，由，求出满足这个不等式的最大正整数的值，可确定第项的值，由此可得出该数列的前项的和.‎ ‎【详解】由题意可知，该数列中，有项，且这项的和为，‎ 令，，则最大值为，‎ 所以，该数列第项为，且的项数为，‎ 因此，该数列的前项的和是.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查数列项的和的计算，解题关键就是找出数列的规律，考查推理能力与计算能力，属于中等题.‎ ‎14.在棱长都相等的三棱锥中，已知相对两棱中点的连线长为，则这个三棱锥的棱长等于______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 作出正四面体，设该正四面体的棱长为，分别取、的中点、，连接、、，利用勾股定理计算出、、，即可求出的值，从而求出该正四面体的棱长.‎ ‎【详解】如下图所示：‎ 设正四面体的棱长为，分别取、的中点、，连接、、，则.‎ 是边长为的等边三角形，为的中点，，，同理可得，‎ 为的中点，，，，‎ ‎，因此，正四面体的棱长为.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查正四面体棱长的计算，在解题时应充分分析三角形的形状，结合勾股定理进行计算，考查推理能力与计算能力，属于中等题.‎ ‎15.设是双曲线上一点，双曲线的一条渐近线方程为，分别是双曲线的左、右焦点，若，则的值为　　　　　．‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】‎ 试题分析：双曲线的渐近线方程，得，由于，由双曲线定义知 ‎，得.‎ 考点：双曲线的性质.‎ ‎16.已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由可计算出，由函数的单调递减区间为，可得出，从而可得出的所满足的不等式组，由此可求出实数的取值范围.‎ ‎【详解】对于函数，‎ 由，可得.‎ 由于函数的单调递减区间为，‎ 由题意可得，‎ ‎，解得，‎ 则，解得，且，则，因此，.‎ 因此，实数的取值范围是.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查利用三角函数的单调性求参数的取值范围，解题的关键在于将问题转化为两个区间的包含关系，考查化归与转化思想，属于中等题.‎ 三、解答题（本大题共7题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，写在答题纸的相应位置）‎ ‎17.已知是等差数列，，且.若.‎ ‎（1）求数列通项公式；‎ ‎（2）求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设等差数列的公差为，根据题中条件列出关于和的方程组，解出这两个量，然后利用等差数列的通项公式可求出数列的通项公式；‎ ‎（2）由（1）可得，然后利用裂项法可求出数列的前项和.‎ ‎【详解】（1）设等差数列的公差为，由题意可得，解得.‎ 因此，数列的通项公式为；‎ ‎（2）由（1）得.‎ 因此，.‎ ‎【点睛】本题考查等差数列通项公式的计算，同时也考查了裂项求和法，考查计算能力，属于中等题.‎ ‎18.已知点，，，设，，其中为坐标原点.‎ ‎（1）设点在轴上方，到线段所在直线的距离为，且，求和线段的大小；‎ ‎（2）设点为线段的中点，若，且点在第二象限内,求的取值范围.‎ ‎【答案】（1），；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）过点作的垂线，垂足为点，可得出，由锐角三角函数的定义求出，可得出为等边三角形，可求出的值，然后在中利用余弦定理求出；‎ ‎（2）由题中条件求出、、的坐标，化简的解析式为，再根据的取值范围，结合余弦函数的定义域与基本性质可求出的取值范围.‎ ‎【详解】（1）过作的垂线，垂足为，则，‎ 在直角三角形中，，‎ 又，，所以为正三角形.‎ 所以，从而.‎ 在中，；‎ ‎（2），点为线段的中点，，‎ 且点在第二象限内，，，‎ 从而，，，，‎ 则 ‎，‎ 因为，所以，从而，‎ ‎，‎ 因此，的取值范围为.‎ ‎【点睛】本题考查平面向量的坐标运算与三角恒等变换的综合问题，同时也考查了三角函数的值域问题，在解题时应充分利用三角恒等变换思想将三角函数式化简，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.‎ ‎19.如图，四面体，，，，.‎ ‎（1）若中点是，求证：面；‎ ‎（2）若是线段上的动点，是面上的动点，且线段，的中点是，求动点的轨迹与四面体围成的较小的几何体的体积.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）动点的轨迹是以为球心，半径为的球面，体积.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）证明出平面可得出，再由三线合一得出，利用直线与平面垂直的判定定理可得出平面；‎ ‎（2）证明平面，可得出，由直角三角形的性质可得出，可知动点的轨迹是以为球心，半径的球面，计算出的大小，可得出所求几何体占球的比例，由此可得出所求几何体的体积.‎ ‎【详解】（1），，，，平面，‎ 平面，.‎ ‎，为的中点，.‎ ‎，因此，平面；‎ ‎（2）如下图所示：‎ ‎，，，，‎ 又，，平面，‎ 平面，，，则.‎ 在中，为斜边的中点，则.‎ 由（1）知，平面，且，.‎ 所以，点的轨迹是以为球心，半径为的球面.‎ 在中，，，，则，‎ ‎，所以，动点的轨迹与四面体围成的较小的几何体为球体的.‎ 因此，所求几何体的体积为.‎ ‎【点睛】本题考查直线与平面垂直的判定，同时也考查了空间中动点的轨迹以及球体体积的相关计算，解题时要熟悉球的定义，考查推理能力与计算能力，属于中等题.‎ ‎20.设是椭圆上的点，，是焦点，离心率.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设，是椭圆上的两点，且，（是定数），问线段的垂直平分线是否过定点？若过定点，求出此定点的坐标，若不存在，说明理由.‎ ‎【答案】（1）；（2）过定点，理由见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由椭圆的离心率可得出，可将椭圆方程化为，再将点的坐标代入椭圆的方程，求出的值，可得出椭圆的标准方程；‎ ‎（2）分和两种情况讨论，在时，分直线的斜率存在与不存在两种情况讨论，在直线的斜率存在的情况下，设直线的方程为，将该直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理得出，并求出线段的垂直平分线方程，可求出线段的垂直平分线所过定点坐标，在直线垂直于轴时，检验定点是否在线段的垂直平分线轴上；在时，直接根据对称性得出结论.‎ ‎【详解】（1）由于椭圆的离心率为，，‎ 所以，椭圆的标准方程为，‎ 将点的坐标代入椭圆的标准方程得，得，‎ 因此，椭圆的方程为；‎ ‎（2）当时，若直线的斜率存在，设直线的方程为，则.‎ 将直线的方程与椭圆方程联立，得.‎ 由韦达定理可得，①，‎ 所以，，则线段的中点坐标为.‎ 则线段的垂直平分线方程为，即，‎ 即，此时，线段的垂直平分线过定点；‎ 若直线垂直于轴，则点、两点关于轴对称，线段的垂直平分线为轴，过点；‎ 当时，若直线关于坐标轴对称，则线段的垂直平分线为坐标轴，过原点；‎ 若直线、关于原点对称，则线段的中点为原点，其垂直平分线过原点.‎ 综上所述，线段的垂直平分线过定点.‎ ‎【点睛】本题考查椭圆方程的求解，以及直线过定点问题，一般设出直线方程，将直线方程与椭圆方程联立，得出直线方程中参数之间的关系，从而得出定点坐标，考查运算求解能力，属于中等题.‎ ‎21.已知函数.‎ ‎（1）若，求在时的最值；‎ ‎（2）若，时，都有，求实数的范围.‎ ‎【答案】（1）最小值为，最大值为；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）将代入函数的解析式，求出函数的导数，利用导数分析函数在区间上的单调性，可得出函数在时的最小值和最大值；‎ ‎（2）由可知函数在上单调递增，函数在上是减函数，设，由可得出，构造函数，可得出在区间上为减函数，转化为在区间上恒成立，利用参变量分离法可求出实数的取值范围.‎ ‎【详解】（1）当时，，则.‎ 当时，令，得.‎ 当时，，此时，函数单调递减；‎ 当时，，此时，函数单调递增.‎ 所以，函数在区间上的最小值为，‎ 又，，‎ 则函数在区间上的最大值为；‎ ‎（2）若，在区间上是增函数，函数是减函数.‎ 不妨设，由已知：，‎ ‎，‎ 记，，‎ 则在区间是减函数，在上恒成立.‎ ‎，记，在上恒成立，‎ 函数在区间上单调递减，则，，又，‎ 因此，实数取值范围是.‎ ‎【点睛】本题考查利用导数求函数的最值，以及利用导数研究双变量不等式问题，解题的关键就是将问题转化为函数的单调性问题，结合导数不等式在区间上恒成立来求解，考查化归与转化思想，属于中等题.‎ 选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答.‎ ‎22.在直角坐标系中，直线的参数方程为：（为参数），.以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，圆的极坐标方程为：.‎ ‎（1）在直角坐标系中，求圆的圆心的直角坐标；‎ ‎（2）设点，若直线与圆交于，两点，求证：为定值，并求出该定值.‎ ‎【答案】（1）（2）证明见解析，该定值为12.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换． （2）利用一元二次方程根和系数的关系求出结果．‎ ‎【详解】解：（1）∵圆的极坐标方程为，‎ ‎∴，‎ ‎∵，，，‎ ‎∴.‎ 所以，圆的方程为，‎ 所以圆的圆心的直角坐标为.‎ ‎（2）将直线的参数方程代入，‎ 得，‎ 设点，对应的参数分别为，，‎ 则，‎ ‎∴，‎ 故为定值，该定值为12.‎ ‎【点睛】本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．‎ ‎23.设函数． ‎ ‎(1)当时，求不等式的解集；‎ ‎(2)对任意实数，都有恒成立，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）解集为；（2）实数的取值范围为或.‎ ‎【解析】‎ 分析：（1）利用，化简不等式，通过分类讨论求解即可；‎ ‎（2）利用函数恒成立，转化求解即可.‎ 详解：(1)∵，‎ ‎∴当时，， ‎ 又，∴或或，‎ ‎∴或或，‎ ‎∴或，‎ ‎∴的解集为. ‎ ‎(2) ∵（当且仅当时，等号成立），‎ ‎∴，‎ 又对任意实数，都有恒成立，∴，‎ ‎∴，∴或，∴或．‎ 故实数的取值范围为或．‎ 点睛：本题考查函数恒成立绝对值不等式的解法，考查分类讨论思想以及转化思想的应用，考查计算能力.‎ ‎ ‎ ‎ ‎