高考数学 17-18版 第5章 第28课 课时分层训练28

高考数学 17-18版 第5章 第28课 课时分层训练28

课时分层训练(二十八)‎ A组　基础达标 ‎(建议用时：30分钟)‎ ‎1．(2017·淮海中学模拟)如图2811，有一块半径为R的半圆形空地，开发商计划征地建一个矩形游泳池ABCD和其附属设施，附属设施占地形状是等腰△CDE，其中O为圆心，A，B在圆的直径上，C，D，E在圆周上．‎ 图2811‎ ‎(1)设∠BOC＝θ，征地面积记为f(θ)，求f(θ)的表达式；‎ ‎(2)当θ为何值时，征地面积最大？ 【导学号：62172154】‎ ‎[解]　(1)连结OE，OC，可得OE＝R，OB＝Rcos θ，BC＝Rsin θ；θ∈.‎ ‎∴f(θ)＝2S梯形OBCE＝R2(sin θcos θ＋cos θ)θ∈.‎ ‎(2)f′(θ)＝－R2(2sin θ－1)(sin θ＋1)．‎ 令f′(θ)＝0，‎ ‎∴sin θ＋1＝0(舍)或者sin θ＝.‎ ‎∵θ∈，‎ 当θ∈时， f′(θ)>0；当θ∈时，f′(θ)<0，‎ ‎∴当θ＝时，f(θ)取得最大值．‎ 答：θ＝时，征地面积最大．‎ ‎2. (2017·镇江期中)‎ 广告公司为某游乐场设计某项设施的宣传画，根据该设施的外观，设计成的平面图由半径为‎2m的扇形AOB和三角区域BCO构成，其中C，O，A在一条直线上，∠ACB＝，记该设施平面图的面积为S(x) m2，∠AOB＝x rad，其中＜x＜π.‎ 图2812‎ ‎(1)写出S(x)关于x的函数关系式；‎ ‎(2)如何设计∠AOB，使得S(x)有最大值？‎ ‎[解]　(1)由已知可得∠CBO＝x－，S扇形AOB＝lr＝2x，‎ 在△BCO中，由正弦定理可得：‎ ＝，所以CO＝2(sin x－cos x)，‎ 从而S△CBO＝BO·CO·sin∠BOC＝2sin2x－2sin xcos x，‎ 所以S(x)＝2sin2x－2sin xcos x＋2x＝2sin x(sin x－cos x)＋2x.‎ ‎ (2)S′(x)＝2(sin 2x－cos 2x)＋2＝2sin＋2，‎ 由S′(x)＝0，解得x＝，‎ 令S′(x)＞0，解得＜x＜，所以增区间是；‎ 令S′(x)＜0，解得＜x＜π，所以减区间是；‎ 所以S(x)在x＝处取得最大值是2＋ m2.‎ 答：设计成∠AOB＝时，该设施的平面图面积最大是2＋ m2.‎ B组　能力提升 ‎(建议用时：15分钟)‎ ‎1．(2017·无锡期中)如图2813，某自行车手从O点出发，沿折线O－A－B－O匀速骑行，其中点A位于点O南偏东45°且与点O相距20千米．该车手于上午8点整到达点A,8点20分骑至点C，其中点C位于点O南偏东(45°－α)(其中sin α＝，0°＜α＜90°)且与点O相距‎5千米(假设所有路面及观测点都在同一水平面上)．‎ 图2813‎ ‎(1)求该自行车手的骑行速度；‎ ‎(2)若点O正西方向27.5千米处有个气象观测站E，假定以点E为中心的3.5千米范围内有长时间的持续强降雨．试问：该自行车手会不会进入降雨区，并说明理由. 【导学号：62172155】‎ ‎[解]　(1)由题意知，OA＝20，OC＝5，∠AOC＝α，sin α＝.‎ 由于0°＜α＜90°，所以cos α＝＝.‎ 由余弦定理，得AC＝＝5.‎ 所以该自行车手的行驶速度为＝15(千米/小时)．‎ ‎(2)如图，设直线OE与AB相交于点M.在△AOC中，由余弦定理，得：‎ cos∠OAC＝＝＝，‎ 从而sin∠OAC＝＝＝.‎ 在△AOM中，由正弦定理，得：‎ OM＝＝＝20.‎ 由于OE＝27.5＞20＝OM，所以点M位于点O和点E之间，且ME＝OE－OM＝7.5.‎ 过点E作EH⊥AB于点H，则EH为点E到直线AB的距离. ‎ 在Rt△EHM中，‎ EH＝EM·sin∠EMH＝EM·sin∠EMH＝EM·sin(45°－∠OAC)＝7.5×＝＜3.5.‎ 所以该自行车手会进入降雨区．‎ ‎2．(2017·启东中学高三第一次月考)如图2814，某广场中间有一块边长为‎2百米的菱形状绿化区ABCD，其中BMN是半径为‎1百米的扇形，∠ABC＝.管理部门欲在该地从M到D修建小路：在弧MN上选一点P(异于M，N两点)，过点P修建与BC平行的小路PQ.问：点P选择在何处时，才能使得修建的小路与PQ及QD的总长最小？并说明理由．‎ 图2814‎ ‎[解]　连结BP，过P作PP1⊥BC垂足为P1，过Q作QQ1⊥BC垂足为Q1.‎ 设∠PBP1＝θ，＝－θ 若0<θ<，在Rt△PBP1中，PP1＝sin θ，BP1＝cos θ，‎ 若θ＝，则PP1＝sin θ，BP1＝cos θ，‎ 若<θ<，则PP1＝sin θ，BP1＝cos(π－θ)＝－cos θ，‎ ‎∴PQ＝2－cos θ－sin θ.‎ 在Rt△QBQ1中，‎ QQ1＝PP1＝sin θ，CQ1＝sin θ，CQ＝sin θ，‎ DQ＝2－sin θ.‎ 所以总路径长 f(θ)＝－θ＋4－cos θ－sin θ，‎ f′(θ)＝sin θ－cos θ－1＝2sin－1‎ 令f′(θ)＝0，得θ＝.‎ 当0<θ<时，f′(θ)<0，‎ 当<θ<时，f′(θ)>0.‎ 所以当θ＝时，总路径最短．‎ 答：当BP⊥BC时，总路径最短．‎