人教A版文科数学课时试题及解析（15）导数与函数的极值、最值B

人教A版文科数学课时试题及解析（15）导数与函数的极值、最值B

课时作业(十五)B　[第15讲　导数与函数的极值、最值]‎ ‎ [时间：45分钟　　分值：100分]‎ ‎1．函数f(x)＝1＋x－sinx在(0,2π)上是(　　)‎ A．增函数 B．减函数 C．在(0，π)上增，在(π，2π)上减 D．在(0，π)上减，在(π，2π)上增 ‎2．[2012·济南模拟] 已知f′(x)是函数f(x)的导数，y＝f′(x)的图象如图K15－3所示，则y＝f(x)的图象最有可能是下图中的(　　)‎ 图K15－3‎ 图K15－4‎ ‎3．函数f(x)＝x3＋3x2＋4x－a的极值点的个数是(　　)‎ A．2 B．1‎ C．0 D．由a决定 ‎4．f(x)＝的极大值为－2e，则a＝________.‎ ‎5．已知函数f(x)＝x3－px2－qx的图象与x轴切于点(1,0)，则f(x)的极值为(　　)‎ A．极大值为，极小值为0‎ B．极大值为0，极小值为－ C．极小值为－，极大值为0‎ D．极小值为0，极大值为 ‎6．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是(　　)‎ A．－16‎ C．－32‎ ‎7．已知f(x)＝2x3－6x2＋m(m为常数)在[－2,2]上有最大值3，那么此函数在[－2,2]上的最小值为(　　)‎ A．－5 B．－11‎ C．－29 D．－37‎ ‎8．对任意的x∈R，函数f(x)＝x3＋ax2＋7ax不存在极值点的充要条件是(　　)‎ A．0≤a≤21 B．a＝0或a＝7‎ C．a<0或a>21 D．a＝0或a＝21‎ ‎9．函数y＝f′(x)是函数y＝f(x)的导函数，且函数y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线为l：‎ y＝g(x)＝f′(x0)(x－x0)＋f(x0)，F(x)＝f(x)－g(x)，如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象如图K15－5所示，且a0)上的最小值；‎ ‎(3)证明：对一切x∈(0，＋∞)，都有xlnx>－成立．‎ 课时作业(十五)B ‎【基础热身】‎ ‎1．A　[解析] f′(x)＝1－cosx>0，∴f(x)在(0,2π)上递增．故选A.‎ ‎2．B　[解析] 根据导数值的正负与函数单调性的关系可以判断选项B正确．‎ ‎3．C　[解析] f′(x)＝3x2＋6x＋4＝3(x＋1)2＋1>0，则f(x)在R上是增函数，故不存在极值点．‎ ‎4．2　[解析] 函数的定义域为(0,1)∪(1，＋∞)，f′(x)＝－，令f′(x)＝0，得x＝，当a>0时，列表如下：‎ x ‎(1，＋∞)‎ f′(x)‎ ‎＋‎ ‎0‎ ‎－‎ ‎－‎ f(x)‎ 单调递增 极大值 单调递减 单调递减 当x＝时，函数f(x)有极大值f＝＝－ae，故－ae＝－2e，解得a＝2；‎ 当a<0时，列表如下：‎ x ‎(1，＋∞)‎ f′(x)‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎＋‎ ‎＋‎ f(x)‎ 单调递减 极小值 单调递增 单调递增 无极大值．故a＝2.‎ ‎【能力提升】‎ ‎5．A　[解析] 由题设知：⇒∴所以f(x)＝x3－2x2＋x，进而可求得f(1)是极小值，f是极大值，故选A.‎ ‎6．B　[解析] f′(x)＝3x2＋2ax＋(a＋6)，因为函数有极大值和极小值，所以f′(x)＝0有两个不相等的实数根，所以判别式Δ＝‎4a2－4×3(a＋6)>0，解得a<－3或a>6.‎ ‎7．D　[解析] 由f′(x)＝6x2－12x>0得x<0或x>2，由f′(x)<0得0x0时，F′(x)＝f′(x)－g′(x)＝f′(x)－f′(x0)>0，故x＝x0是F(x)的极小值点，选B.‎ ‎10．2　[解析] f′(x)＝3x2－6x，令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝2，当x∈(－∞，0)时，f′(x)>0，‎ 当x∈(0,2)时，f′(x)<0，当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0，显然当x＝2时f(x)取极小值．‎ ‎11．②③　[解析] 由函数y＝f(x)的导函数的图象可知：(1)f(x)在区间[－2，－1]上是减函数，在[－1,2]上为增函数，在[2,4]上为减函数；(2)f(x)在x＝－1处取得极小值，在x＝2处取得极大值．故②③正确．‎ ‎12．－1　3　[解析] f′(x)＝－x2＋2bx＋c，由f(x)在x＝1处取极值－，‎ 可得 解得或 若b＝1，c＝－1，则f′(x)＝－x2＋2x－1＝－(x－1)2≤0，此时f(x)没有极值；‎ 若b＝－1，c＝3，则f′(x)＝－x2－2x＋3＝－(x＋3)(x－1)，‎ 当－30，当x>1时，f′(x)<0，‎ ‎∴当x＝1时，f(x)有极大值－.‎ 故b＝－1，c＝3即为所求．‎ ‎13.　[解析] g(x)＝ax3－3x2＋3ax2－6x＝ax2(x＋3)－3x(x＋2)．‎ 当g(x)在区间[0,2]上的最大值为g(0)时，g(0)≥g(2)，即0≥‎20a－24，得a≤.‎ 反之，当a≤时，对任意x∈[0,2]，g(x)≤x2(x＋3)－3x(x＋2)＝(2x2＋x－10)‎ ‎＝(2x＋5)(x－2)≤0，‎ 而g(0)＝0，故g(x)在区间[0,2]上的最大值为g(0)．‎ 综上，a的取值范围为.‎ ‎14．[解答] (1)f′(x)＝(x－k＋1)ex.‎ 令f′(x)＝0，得x＝k－1.‎ x与f(x)、f′(x)的变化情况如下：‎ x ‎(－∞，k－1)‎ k－1‎ ‎(k－1，＋∞)‎ f′(x)‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎＋‎ f(x)‎  ‎－ek－1‎  所以，f(x)的单调递增区间是(k－1，＋∞)；单调递减区间是(－∞，k－1)．‎ ‎(2)当k－1≤0，即k≤1时，函数f(x)在[0,1]上单调递增，所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(0)＝－k；‎ 当00，f(x)单调递增．‎ ‎①0－(x∈(0，＋∞))，由(2)可知f(x)＝xlnx(x∈(0，＋∞))的最小值是－，当且仅当x＝时取到．‎ 设m(x)＝－(x∈(0，＋∞))，则m′(x)＝，易得m(x)max＝m(1)＝－，当且仅当x＝1时取到，从而对一切x∈(0，＋∞)，都有xlnx>－成立．‎