北京市北京师范大学附属中学2018-2019学年高二下学期期末考试数学试题

北京市北京师范大学附属中学2018-2019学年高二下学期期末考试数学试题

北京师大附中2018-2019学年下学期高二年级期末考试 数学试卷AP 一、选择题。‎ ‎1.已知条件p:x>2,条件q:x>0,则p是q的( )‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将两个条件相互推导，根据能否推导的情况确定正确选项.‎ ‎【详解】由于p，所以p是q的充分不必要条件，故选A.‎ ‎【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，属于基础题.‎ ‎2.“是“直线与圆相切的　　‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 即不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据直线和圆相切的等价条件求出a，b的关系，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．‎ ‎【详解】若直线与圆，‎ 则圆心到直线得距离，‎ 即，即或，‎ 即或，‎ 即是“直线与圆相切的充分不必要条件，‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合直线和圆相切的等价条件是解决本题的关键．‎ ‎3.设，则“ ”是“”的（ ）‎ A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据充分条件和必要条件的定义结合对数的运算进行判断即可．‎ ‎【详解】∵a，b∈（1，+∞），‎ ‎∴a＞b⇒logab＜1，‎ logab＜1⇒a＞b，‎ ‎∴a＞b是logab＜1的充分必要条件，‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的解法是解决本题的关键．‎ ‎4.设且，“不等式”成立的一个充分不必要条件是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据基本不等式的性质，结合充分不必要条件的定义进行判断即可．‎ ‎【详解】当m＜0时，不等式m+＞4不成立，‎ 当m＞0时，m+≥2=4，当且仅当m=，即m=2时，取等号，‎ A．当m=2时，满足m＞0，但不等式m+＞4不成立，不是充分条件，‎ B．当m=2时，满足m＞1，但不等式m+＞4不成立，不是充分条件，‎ C．当m＞2时，不等式m+＞4成立，反之不一定成立，是充分不必要条件，满足条件．‎ D．当m=2时，满足m≥2，但不等式m+＞4不成立，不是充分条件，‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据基本不等式的性质是解决本题的关键．‎ ‎5.若集合则“”是“”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ 由题得}所以，所以“”是“”的 充分不必要条件，选A.‎ ‎6.设，，是两个不同的平面，则“”是“”的（ ）．‎ A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ 若，，则；反之，若，，则或与相交．‎ 所以“”是“”的充分不必要条件．选．‎ ‎7.已知，，则是的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ 已知，。根据向量平行的坐标表示得到 ‎ 故是的充分不必要条件。‎ 故答案为：A。‎ ‎8.在空间中，“直线，没有公共点”是“直线，互为异面直线”（ ）．‎ A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 直线，没有公共点，‎ 则直线，互为异面直线或平行，‎ 但直线、互为异面直线一定可推出，‎ 直线，没有公共点，‎ 故选．‎ 点睛：充分、必要条件的三种判断方法．‎ ‎1．定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假．并注意和图示相结合，例如“⇒”为真，则是的充分条件．‎ ‎2．等价法：利用⇒与非⇒非，⇒与非⇒非，⇔与非⇔非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．‎ ‎3．集合法：若⊆，则是的充分条件或是的必要条件；若＝，则是的充要条件．‎ ‎9.“”是“”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎ ,所以“”是“”的充分不必要条件,选A.‎ ‎10.命题“，都有”的否定是（ ）‎ A. ，使得 B. ，使得 C. ，都有 D. ，都有 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 全称命题的否定为特称命题，据此可得：‎ 命题“，都有”的否定是，使得.‎ 本题选择B选项.‎ ‎11.给出下列命题:‎ ‎①一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真;‎ ‎②若pq为假命题，则p,q均为假命题;‎ ‎③命题“若x2 -3x+2=0，则x=‎2”‎的否命题为“若x2 -3x+2=0,则x≠‎2”‎;‎ ‎④“若a2+b2=0，则a, b全为‎0”‎的逆否命题是“若a, b全不为0，则a2+b2≠‎0”‎其中正确的命题序号是( )‎ A. ① B. ①③ C. ②④ D. ③④‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据否命题和逆命题真假性关系，判断①是否正确.根据且命题的真假，与原命题真假性的关系，判断②是否正确.根据否命题的知识判断③是否正确.根据逆否命题的知识判断④是否正确.‎ ‎【详解】对于①，由于否命题和逆命题互为逆否命题，真假性相同，故①正确.对于②，若pq为假命题，则至少有一个为假命题，故②错误.对于③，原命题的否命题为“若 则”，所以③错误.对于④，原命题的逆否命题为“若不全为，则”，故④错误.综上所述，正确命题的序号为①，故选A.‎ ‎【点睛】本小题主要考查否命题和逆命题真假性关系，考查且命题和原命题真假性关系，考查否命题和逆否命题的知识，属于基础题.‎ ‎12.用数学归纳法证明“l+2+3+…+n3=，n∈N*”，则当n=k+1时，应当在n=k时对应等式左边加上（ ）‎ A. k3+1 B. （k3+1）+（k3+2）+…+（k+1）3‎ C. （k+1）3 D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 分析：当项数从到时，等式左边变化的项可利用两个式子相减得到。‎ 详解：当 时，等式左边 ‎ 当时，等式左边 所以增加的项为 所以选B 点睛：本题考查了数学归纳法的应用，当项数变化时分析出增加的项，属于简单题。‎ ‎13. 下面几种推理是演绎推理的是（ ）‎ A. 由金、银、铜、铁可导电，猜想：金属都可以导电 B. 猜想数列5,7,9,11，…的通项公式为 C. 由正三角形的性质得出正四面体的性质 D. 半径为的圆的面积，则单位圆的面积 ‎【答案】D ‎【解析】‎ 由演绎推理的定义可知它的推理为由一般到特殊，与归纳推理相反.‎ 分析可知：D选项是演绎推理.而A,B为归纳推理，C为类比推理.‎ 考点：演绎推理．‎ ‎14.用反证法证明命题：“若能被3整除，那么中至少有一个能被3整除”时，假设应为（　　）‎ A. 都能被3整除 B. 都不能被3整除 C. 不都能被3整除 D. 不能被3整除 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据反证法的步骤和命题的否定，直接对“中至少有一个能被3整除”的进行否定即可.‎ ‎【详解】因为“至少有n个”否定为“至多有n-1个”.‎ ‎“中至少有一个能被3整除”的否定是：“都不能被3整除”，‎ 故应假设都不能被3整除.‎ 故本题答案为B.‎ ‎【点睛】反证法即首先假设命题反面成立，即否定结论，再从假设出发，经过推理得到矛盾，得出假设命题不成立是错误的，即所求证命题成立.故用反证法证明命题时，应先假设命题的否定成立. 反证法的适用范围是：（1）否定性命题；（2）结论涉及“至多”、“至少”、“无限”、“唯一等词语的命题；（3）命题成立非常明显，直接证明所用的理论较少，且不容易证明，而其逆否命题非常容易证明；（4）要讨论的情况很复杂，而反面情况较少.‎ ‎15.数学老师给出一个定义在R上的函数f(x)，甲、乙、丙、丁四位同学各说出了这个函数的一条性质:‎ 甲:在(-∞,0)上函数单调递减; 乙:在[0,+∞] 上函数单调递增;‎ 丙:函数f(x)的图象关于直线x=1对称； 丁: f(0)不是函数的最小值．‎ 老师说:你们四个同学中恰好有三个人说的正确，则说法错误的同学是( )‎ A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先假设四个人中有两个人正确，由此推出矛盾，由此得到假设不成立，进而判断出说法错误的同学.‎ ‎【详解】先假设甲、乙正确，由此判断出丙、丁错误，与已知矛盾，由此判断甲、乙两人有一人说法错误，丙、丁正确.而乙、丙说法矛盾，由此确定乙说法错误.‎ ‎【点睛】本小题主要考查逻辑推理能力，涉及到函数性质，包括单调性、对称性和最值，属于基础题.‎ 二、填空题。‎ ‎16.能说明“若a﹥b，则”为假命题的一组a，b的值依次为_________.‎ ‎【答案】（答案不唯一）‎ ‎【解析】‎ 分析：举出一个反例即可．‎ 详解：当时，‎ 不成立，‎ 即可填．‎ 点睛：本题考查不等式的性质等知识，意在考查学生的数学思维能力．‎ ‎17.若命题且，则为__________．‎ ‎【答案】或 ‎【解析】‎ 且的否定为或，所以“且”的否定为“或”，故答案为或 ‎18.设是的充分不必要条件，是的必要不充分条件，是的充要条件，则是 的__________条件．（填充分不必要、必要不充分，充分必要）‎ ‎【答案】必要不充分 ‎【解析】‎ 因为是的充分不必要条件，所以；因为是的必要不充分条件，所以；所以,又因为是的充要条件，，∴，∴是的必要不充分条件，故答案为必要不充分.‎ ‎19.若命题“使”是假命题，则实数的取值范围为_____，‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 原命题等价于命题“，”是真命题 ‎【详解】由题意得若命题“”是假命题，‎ 则命题“，”是真命题，‎ 则需,故本题正确答案为。‎ ‎【点睛】本题主要考查全称量词与存在量词以及二次函数恒成立的问题。属于基础题。‎ ‎20.观察式子，……，则可归纳出____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 分析：根据已知中，分析左边式子中的数与右边式子中的数之间的关系，由此可以写出结论.‎ 详解：根据题意，每个不等式的右边的分母是，不等号的右边的分子是，‎ 所以，所以答案是.‎ 点睛：该题考查 是有关归纳推理的问题，在解题的过程中，需要认真分析式子中出现的量之间的关系，以及对应的式子的特点，得出结果.‎ 三、解答题:请写出解题步骤。‎ ‎21.在数列{an}中， a1=1, ，n=1，2，3．．．‎ ‎(1)计算a2, a3, a4的值，并猜想数列{an}的通项公式．‎ ‎(2)用数学归纳法证明你的猜想．‎ ‎【答案】(1) ； (2)见证明 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先根据递推关系，依次求得的值，并猜想通项公式为.（2）根据数学归纳法证明的过程，对猜想进行证明.‎ 详解】(1) ∵，‎ ‎∴ ‎ 因此可猜想: ‎ ‎(2)当n= 1时，a1=1,等式成立，‎ 假设n= k时，等式成立，即, ‎ 则当n=k+1时，‎ 即当n=k+1时，等式也成立， ‎ 综上所述，对任意自然数， .‎ ‎【点睛】本小题主要考查根据数列递推关系猜想数列通项公式，考查数学归纳法证明，属于基础题.‎ ‎22.用反证法证明: 不可能成等差数列 ‎【答案】见证明 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先假设成等差数列，根据等差中项列方程，由此推导出矛盾，由此推导出假设不成立，原命题成立.‎ ‎【详解】假设成等差数列，‎ 则有 ‎ 但最后一个式子显然是错的，所以不可能成等差数列。‎ ‎【点睛】本小题主要考查利用反证法证明命题，考查等差中项的性质，属于基础题.‎ ‎23.用分析法证明：．‎ ‎【答案】证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 用分析法证明即可得出结论成立.‎ ‎【详解】要证成立，‎ 只需证成立；‎ 即证成立；‎ 即证成立；‎ 即证成立，‎ 因为成立，‎ 所以原不等式成立.‎ ‎【点睛】本题主要考查不等式的证明，分析法是一种常用的方法，逐步推出结论的充分条件，直到得到显然成立的结论即可，属于基础题型.‎