2019届高三数学课标一轮复习考点规范练 13导数与函数的单调性
考点规范练13 导数与函数的单调性
基础巩固组
1.函数f(x)=(x-3)ex的单调递增区间是( )
A.(-∞,2) B.(0,3)
C.(1,4) D.(2,+∞)
2.(2017浙江嘉兴调研)已知函数f(x)=12x3+ax+4,则“a>0”是“f(x)在R上单调递增”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.设f'(x)是函数f(x)的导函数,y=f'(x)的图象如图所示,则y=f(x)的图象最有可能是( )
4.设函数f(x)=12x2-9ln x在区间[a-1,a+1]上单调递减,则实数a的取值范围是( )
A.1
0
C.当且仅当x∈(-∞,1),f(x)<0
D.当且仅当x∈(1,+∞),f(x)>0
10.(2017浙江舟山模拟改编)若f(x)=-12x2+bln(x+2)在[-1,+∞)上是减函数,则实数b的取值范围是( )
A.[-1,+∞) B.[1,+∞)
C.(-∞,-1] D.(-∞,1]
11.(2017河北承德调考)已知f(x)是可导的函数,且f'(x)e2 017f(0)
B.f(1)>ef(0),f(2 017)>e2 017f(0)
C.f(1)>ef(0),f(2 017)0,得x>2,所以f(x)的单调递增区间为(2,+∞).
2.A f'(x)=32x2+a,当a≥0时,f'(x)≥0恒成立,故“a>0”是“f(x)在R上单调递增”的充分不必要条件.
3.C 由y=f'(x)的图象易知当x<0或x>2时,f'(x)>0,故函数y=f(x)在区间(-∞,0)和(2,+∞)上单调递增;当00),
当x-9x≤0,即00,且a+1≤3,
解得10,所以函数f(x)在(-∞,1)上是单调递增函数.所以a=f(0)0(x>0),可得1-lnx>0,x>0,解得x∈(0,e).
7.(1,2) 由题可得函数定义域为(0,+∞),f'(x)=1x+2xln 2,所以在定义域内f'(x)>0,函数单调递增,所以由f(x2+2)0,解得a>-19.
所以实数a的取值范围是-19,+∞.
9.B ∵f(x)f'(x)+x<1,f(x)是定义在R上的减函数,f'(x)<0,
∴f(x)+f'(x)x>f'(x),∴f(x)+f'(x)(x-1)>0,∴[(x-1)f(x)]'>0,∴函数y=(x-1)f(x)在R上单调递增,而x=1时,y=0,则x<1时,y<0,当x∈(1,+∞)时,x-1>0,故f(x)>0,又f(x)是定义在R上的减函数,∴x≤1时,f(x)>0也成立,
∴f(x)>0对任意x∈R成立,故选B.
10.C 由已知得f'(x)=-x+bx+2≤0在[-1,+∞)上恒成立,∴b≤(x+1)2-1在[-1,+∞)上恒成立,∴b≤-1.
11.D 令g(x)=f(x)ex,则g'(x)=f(x)ex'=f'(x)ex-f(x)(ex)'e2x=f'(x)-f(x)ex<0,所以函数g(x)=f(x)ex在R上是单调减函数,所以g(1)1时,h'(x)>0,h(x)在(1,+∞)上递增,当00时,f(x)=lnx+32x2,
则f'(x)=1x·x2-lnx+32·2xx4=x-2xlnx-3xx4=-2x(1+lnx)x4,
由f'(x)>0得-2x(1+ln x)>0,得1+ln x<0,即ln x<-1,得00,即ln x>-1,得x>1e,此时函数单调递减,
即当x>0时,x=1e时,函数f(x)取得极大值f1e=ln1e+321e2=-1+32e2=12e2,作出函数f(x)的图象如图.要使a=ln|x|+32x2有4个不同的交点,则满足0-3时,g'(x)>0,当x<-3时,g(x)<0,∴exf(x)=ex·x3在(-∞,-3)上单调递减,在(-3,+∞)上单调递增,故f(x)=x3不具有M性质;④exf(x)=ex(x2+2),令g(x)=ex(x2+2),则g'(x)=ex(x2+2)+ex·2x=ex(x+1)2+1>0,
∴exf(x)=ex(x2+2)在R上单调递增,故f(x)=x2+2具有M性质.
15.(-3,-2)∪(-1,0) 由题意,得f'(x)=ex(x2+2x),
∴f(x)在(-∞,-2),(0,+∞)上单调递增,(-2,0)上单调递减,又f(x)在[t,t+1]上不单调,∴t<-2,t+1>-2或t<0,t+1>0,即实数t的取值范围是(-3,-2)∪(-1,0),故填:(-3,-2)∪(-1,0).
16.-1,12 因为f(-x)=-x3+2x+1ex-ex=-f(x),所以函数f(x)是奇函数,因为f'(x)=3x2-2+ex+e-x≥3x2-2+2ex·e-x≥0,所以f(x)在R上单调递增,又f(a-1)+f(2a2)≤0,即f(2a2)≤f(1-a),所以2a2≤1-a,即2a2+a-1≤0,解得-1≤a≤12,故实数a的取值范围为-1,12.
17.解 对f(x)求导得f'(x)=ex·1+ax2-2ax(1+ax2)2.①
(1)当a=43时,若f'(x)=0,则4x2-8x+3=0,
解得x1=32,x2=12.结合①,可知
x
-∞,12
12
12,32
32
32,+∞
f'(x)
+
0
-
0
+
f(x)
↗
极大值
↘
极小值
↗
所以增区间为-∞,12,32,+∞;减区间为12,32.
(2)若f(x)为R上的单调函数,则f'(x)在R上不变号,结合①与条件a>0,知ax2-2ax+1≥0在R上恒成立,即Δ=4a2-4a=4a(a-1)≤0,又a>0,得00,函数f(x)在(0,+∞)上单调递增.
当a<0时,令g(x)=ax2+(2a+2)x+a,
由于Δ=(2a+2)2-4a2=4(2a+1).
①当a=-12时,Δ=0,f'(x)=-12(x-1)2x(x+1)2≤0,函数f(x)在(0,+∞)上单调递减.
②当a<-12时,Δ<0,g(x)<0,
f'(x)<0,函数f(x)在(0,+∞)上单调递减.
③当-120.
设x1,x2(x10,
所以x∈(0,x1)时,g(x)<0,f'(x)<0,函数f(x)单调递减;
x∈(x1,x2)时,g(x)>0,f'(x)>0,函数f(x)单调递增;
x∈(x2,+∞)时,g(x)<0,f'(x)<0,函数f(x)单调递减.
综上可得:
当a≥0时,函数f(x)在(0,+∞)上单调递增;
当a≤-12时,函数f(x)在(0,+∞)上单调递减;
当-12
查看更多