2020届二轮复习数列中一类元素交并问题学案（全国通用）

2020届二轮复习数列中一类元素交并问题学案（全国通用）

专题14 数列中一类元素交并问题 数列中一类元素交并问题，实际考查思想方法，如最小公倍数、余数分析法，二项式定理应用.‎ 类型一 两个等差数列取交集数列问题 典例1. 若数列的通项公式为，数列的通项公式为．‎ 设集合，．若等差数列任一项是中的最大数，且，求的通项公式．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】对任意，，∴，∴‎ ‎ ∵是中的最大数，∴，设等差数列的公差为，则 ‎∴，即，又是一个以为公差等差数列，‎ ‎∴，∴，∴．‎ 类型二 一个等差数列和一个二次型数列取交集数列问题 典例2已知数列{}的通项公式为，数列{}的通项公式为．若将数列{}，{}中相同的项按从小到大的顺序排列后看作数列{}，则数列的通项公式为____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】解：设，考察模7的余数问题；‎ 若时经验证可得：‎ 当时，存在满足条件的存在 故{}中的项目依次为：‎ 可求得数列{}的通项公式为：‎ 类型三 一个等差数列和一个指数型数列取交集数列问题 典例3 已知数列和的通项公式分别为，.将与中的公共项按照从小到大的顺序排列构成一个新数列记为.‎ ‎（1）试写出，，，的值，并由此归纳数列的通项公式； ‎ ‎（2）证明你在（1）所猜想的结论. ‎ ‎【答案】（1）（2）见解析 ‎【解析】解：（1），，，，‎ 由此归纳：.‎ ‎（2） 由，得，‎ ‎，由二项式定理得 ‎，‎ 当为奇数时，有整数解， .‎ ‎1. 设数列{an}的通项公式为，数列{bn}的通项公式为bn＝3n－2．集合A ‎＝{x∣x＝an，n∈N*}，B＝{x∣x＝bn，n∈N*}．将集合A∪B中的元素从小到大依次排列，‎ 构成数列c1，c2，c3，…，则{cn}的通项公式为___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】解：因为 ，‎ ‎；‎ 所以 ，‎ 即当时，；当 ‎，当时，，‎ 当时，‎ 所以的通项公式是 即：‎ ‎2. 已知各项均为正数的等差数列的公差d不等于0，设是公比为q的等比数列的前三项，‎ ‎（1）若k=7， ‎ ‎（i）求数列的前n项和Tn；‎ ‎（ii）将数列和的相同的项去掉，剩下的项依次构成新的数列，设其前n项和为Sn，求的值；‎ ‎（2）若存在m>k,使得成等比数列，求证k为奇数.‎ ‎【答案】(1) （i）（ii）1（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎ (1) 因为，所以成等比数列，又是公差的等差数列，‎ 所以，整理得，又，所以，‎ ‎，，所以， ‎ ‎①用错位相减法或其它方法可求得的前项和为； ‎ ① 因为新的数列的前项和为数列的前项的和减去数列前项的和，所以.‎ 所以=1． ‎ ‎(2) 由，整理得，‎ 因为，所以，所以. ‎ 因为存在m＞k,m∈N*使得成等比数列，所以， ‎ 又在正项等差数列{an}中，，‎ 所以，又因为，有， ‎ 因为是偶数，所以也是偶数，即为偶数，所以k为奇数. ‎ ‎3. 设是各项均不为零的等差数列，且公差，若将此数列删去某一项得到的数列（按原来的顺序）是等比数列.‎ ‎① 当时，求的数值；②求的所有可能值；‎ ‎（2）求证：对于一个给定的正整数，存在一个各项及公差都不为零的等差数列，其中任意三项（按原来的顺序）都不能组成等比数列.‎ ‎【答案】(1) ①或②（2）见解析 ‎【解析】本小题考查等差数列、等比数列的综合应用。‎ ‎（1）①当n=4时, 中不可能删去首项或末项，否则等差数列中连续三项成等比数列，则推出d=0‎ 若删去，则，即化简得，得 若删去，则，即化简得，得 综上，得或 ‎②当n=5时, 中同样不可能删去，否则出现连续三项。‎ 若删去，则，即化简得，因为，所以不能删去；‎ 当n≥6时，不存在这样的等差数列。事实上，在数列中，由于不能删去首项或末项，若删去，则必有，这与矛盾；同样若删去也有，这与矛盾；若删去中任意一个，则必有，这与矛盾(或者说：当n≥6时，无论删去哪一项，剩余的项中必有连续的三项)综上所述，‎ ‎（2）假设对于某个正整数n，存在一个公差为d的n项等差数列，其中（）为任意三项成等比数列，则，即，化简得 （*）‎ 由知，与同时为0或同时不为0‎ 当与同时为0时，有与题设矛盾 故与同时不为0，所以由（*）得 因，且x、y、z为整数，所以上式右边为有理数，从而为有理数 于是对于任意的正整数，只要为无理数，相应的数列就是满足题意要求的数列 例如n项数列1，，，……，满足要求 ‎4.在数列中，，且对任意的，成等比数列，其公比为 ‎，成等差数列，其公差为，设. ‎ ‎（1）若，求的值；‎ ‎（2）求证：数列为等差数列；‎ ‎（3）若，设，是否存在、，使得、、成等比数列．若存在，求出所有符合条件的、的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】(1) 或.（2）见解析（3），‎ ‎【解析】解：（1）∵，∴, 又，‎ 解得或. ‎ ‎（2）∵成等差数列, ∴，‎ 而,故，则. ‎ 得，所以，即.‎ 故数列是公差为1的等差数列. ‎ ‎（3）由得，则. ‎ ‎ ∴. 则．‎ 假设存在、，使得、、成等比数列，‎ 则，即．‎ 整理得 ． ‎ 因为，所以． ‎ 解得． ‎ 因为，所以，此时．‎ 故存在，，使得、、成等比数列． ‎ ‎5. 在数列中，,且对任意的,成等比数列，其公比为.‎ ‎（1）若，求；‎ ‎（2）若对任意的,，，成等差数列，其公差为，设 ‎① 求证：成等差数列，并指出其公差；‎ ‎ ② 若,试求数列的前项的和.‎ ‎【答案】(1) （2）①见解析②或 ‎【解析】解：(1) 因为,所以,故是首项为1,公比为4的等比数列,所以 ‎(2) ① 因为成等差数列,所以,‎ 而,所以,则 得,所以,即,‎ 所以是等差数列,且公差为1‎ ‎② 因为,所以,则由,解得或 ‎(ⅰ)当时, ,所以,则,即,‎ 得,所以,‎ 则 所以,则,故 ‎(ⅱ)当时, ,所以,则,即得,‎ 所以,‎ 则,所以,从而.‎ 综上所述,或 ‎6. 数列的各项均为正数.若对任意的，存在，使得成立，则称数列为“型”数列.‎ ‎（1）若数列是“型”数列，且，求；‎ ‎（2）若数列既是“型”数列，又是“型”数列，证明：数列是等比数列.‎ ‎【答案】(1) （2）见解析 ‎【解析】解：（1）由题意得，，，，…成等比数列，且公比，．‎ ‎（2）证明：由{}是“型”数列，得 ‎，，，，，，…成等比数列，设公比为.‎ 由{}是“型”数列，得 ‎，，，，，…成等比数列，设公比为；‎ ‎，，，，，…成等比数列，设公比为；‎ ‎，，，，，…成等比数列，设公比为；‎ 则，，． ‎ 所以，不妨记，且．‎ 于是，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎ 所以，故{}为等比数列．‎ ‎7. 设为部分正整数组成的集合，数列的首项，前项的和为，已知对任意整数，当时，都成立．‎ ‎（1）设，，求的值；‎ ‎（2）设，求数列的通项公式 ‎【答案】(1)8 （2）‎ ‎【解析】解：（1）由题设，当，，‎ 从而的值为8‎ ‎（2）由题设知，当 ‎，两式相减 所以当成等差数列，且也成等差数列 从而当时， （*）‎ 且，‎ 即成等差数列，‎ 从而，‎ 故由（*）式知 当时，设 当，从而由（*）式知 故 从而，于是 因此，对任意都成立，又由可知，‎ 解得 因此，数列为等差数列，由 所以数列的通项公式为