四川省泸县一中2019-2020学年高二下学期月考数学（理）试题

四川省泸县一中2019-2020学年高二下学期月考数学（理）试题

‎2020年春四川省泸县第一中学高二第二学月考试 理科数学试题 注意事项：‎ ‎1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。‎ ‎2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。‎ 第I卷 选择题（60分）‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1．若复数（是虚数单位）是纯虚数，则实数的值为 A．-4 B．-1 C．1 D．4‎ ‎2．已知函数，则 A． B． C． D．‎ ‎3．“”是“直线与圆相切”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎4．已知点 P(3,4) 在角的终边上，则的值为 ‎ A． B． C． D．‎ ‎5．有8件产品，其中4件是次品，从中有放回地取3次（每次1件），若X表示取得次品的次数，则 A． B． C． D．‎ ‎6．设，则下列不等式成立的是 A． B． C． D．‎ ‎7．的展开式中常数项为 A． B． C． D．‎ ‎8．某宾馆安排五人入住3个房间，每个房间至少住1人，且不能住同一房间，则不同的安排方法有种数为 ‎ A．64 B．84 C．114 D．144‎ ‎9．已知a，b为正实数，向量=（a，a-4）向量=（b，1-b）若，则a+b的最小值为 A．1 B．2 C．3 D．‎ ‎10．若 是函数 的极值点，则 的极大值为 A． B． C． D．‎ ‎11．在中，角、、所对的边分别为、、，若，且，则下列关系一定不成立的是 ‎ A． B． C． D．‎ ‎12．设函数，若时，，则实数的取值范围是 A． B． C． D．‎ 第II卷 非选择题（90分）‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。‎ ‎13．某设备的使用年限与所支出的维修费用的统计数据如下表：‎ 使用年限（单位：年）‎ 维修费用（单位：万元）‎ 根据上表可得回归直线方程为=，据此模型预测，若使用年限为年，估计维修费约为 ‎__________万元．‎ ‎14．若一个样本空间，令事件，，‎ 则___________ ．‎ ‎15．已知集合M＝{(x，y) }，则在集合M中任取一点P，则点P到直线x＋y＝0的距离不小于的概率为________．‎ ‎16．设抛物线的焦点为，准线为，为上一点，以为圆心，为半径的圆交于两点，若，且的面积为，则此抛物线的方程为__________．‎ 三．解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。‎ ‎（一）必考题：共60分。‎ ‎17．（12分）某工厂为了检查一条流水线的生产情况，从该流水线上随机抽取40件产品，测量这些产品的重量（单位：克），整理后得到如下的频率分布直方图（其中重量的分组区间分别为（490，495]，（495，500]，（500，505]，（505，510]，（510，515]）‎ ‎（Ⅰ）若从这40件产品中任取两件，设X为重量超过505克 的产品数量，求随机变量X的分布列；‎ ‎（Ⅱ）若将该群体分别近似看作总体分布，现从该流水线上任取5件产品，求恰有两件产品的重量超过505克的概率．‎ ‎18．（12分）已知函数，‎ ‎（Ⅰ）求函数的单调区间;‎ ‎（Ⅱ）求函数的极值.‎ ‎19．（12分）如图，在三棱柱中，侧面底面，四边形为菱形，是边长为2的等边三角形，，点为的中点.‎ ‎（Ⅰ）若平面与平面交于直线，求证：；‎ ‎（Ⅱ）求二面角的余弦值.‎ ‎20．（12分）在圆上任取一点，过点作轴的垂线段，为垂足．当点在圆上运动时，线段的中点形成轨迹．‎ ‎（Ⅰ）求轨迹的方程；‎ ‎（Ⅱ）若直线与曲线交于两点，为曲线上一动点，求面积的最大值 ‎21．（12分）已知函数，其中.‎ ‎（Ⅰ）若，求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）若在内只有一个零点，求的取值范围.‎ ‎（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。‎ ‎22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）‎ 已知曲线的参数方程为（为参数），在同一平面直角坐标系中，将曲线上的点按坐标变换得到曲线，以原点为极点、轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.‎ ‎（Ⅰ）求曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）若直线与曲线交于两点，与曲线交于两点，求的值.‎ ‎23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）‎ 设a，b，c均为正数，且a+b+c=1，证明：‎ ‎（Ⅰ）ab+bc+ac；‎ ‎（Ⅱ）.‎ ‎2020年春四川省泸县第一中学高二第二学月考试 理科数学试题参考答案 ‎1．D 2．B 3．A 4．D 5．D 6．D 7．B 8．C 9．D 10．D 11．B 12．B ‎13．18 14． 15． 16．‎ ‎17．（1）根据频率分布直方图可知，质量超过505克的产品数量为[（0．001+0．005）5]40=12‎ 由题意得随机变量X的所有可能取值为0，1， 2‎ ‎，．‎ ‎∴随机变量X的分布列为 X ‎ ‎0 ‎ ‎1 ‎ ‎2 ‎ P ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 由题意得该流水线上产品的重量超过505克的概率为0．3‎ 设Y为该流水线上任取5件产品重量超过505克的产品数量，则Y~B（5，0．3）．‎ 故所求概率为 ‎18．（1）函数的定义域为，‎ 因为，‎ 当时，在恒成立，所以的单调递增区间是，‎ 当时，，所以的单调递增区间是，‎ ‎，所以的单调递减区间是．‎ ‎（2）由（1）得：当时，的单调递增区间是，所以无极值，‎ 当时，的极小值为，无极大值．‎ ‎19．（1）证明：在三棱柱中，，平面 .‎ 所以平面，且平面 平面平面 所以，所以.‎ ‎（2）由四边形为菱形，且 所以为等边三角形且点为的中点..‎ 则，又侧面底面.‎ 面底面.所以平面.‎ 又是等边三角形，且点为的中点..‎ 则. 所以.‎ 以分别为 轴建立空间直角坐标系,‎ 所以 ‎ 设面的一个法向量为.‎ ‎ ‎ 则 ，即取 设面的一个法向量为. ‎ 则 ，即取 所以.所以二面角的余弦值为.‎ ‎20．设，由题意，为线段的中点，‎ 即又在圆上，‎ ‎，即，‎ 所以轨迹为椭圆，且方程为.联立直线和椭圆，‎ 得到，即即有 设过且与直线平行的直线为，‎ 当直线与椭圆相切时，两直线的距离取最大，‎ 将代入椭圆方程得：‎ 由相切的条件得解得，‎ 则所求直线为或，‎ 故与直线的距离为，‎ 则的面积的最大值为.‎ ‎21．解：（1）,‎ ‎，则，故所求切线方程为；‎ ‎（2），当时，对恒成立 ，‎ 则在上单调递增，从而，则，‎ 当时，在上单调递减，在上单调递增，‎ 则 ，‎ 当时， 对恒成立，则在上单调递减，‎ 在（1，2）内没有零点 ，综上，a的取值范围为（0，1）.‎ ‎22．（1）已知曲线的参数方程为（为参数），消去参数得.‎ 又 ，‎ 即曲线的极坐标方程为.又由已知得 代入得曲线的直角坐标方程为.‎ ‎（2）将代入，得.‎ 又直线的参数方程为（为参数），代入，整理得，‎ 分别记两点对应的参数为，则，.‎ ‎23．（Ⅰ）由，，得：‎ ‎，由题设得，即，‎ 所以，即.‎ ‎（Ⅱ）因为，，，‎ 所以，‎ 即，所以.‎