2020届广西桂林市第十八中学高三上学期第三次月考数学（文）试题（解析版）

2020届广西桂林市第十八中学高三上学期第三次月考数学（文）试题（解析版）

‎2020届广西桂林市第十八中学高三上学期第三次月考数学（文）试题 一、单选题 ‎1．若复数，则其虚部为（ ）‎ A．1 B． C．2 D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】复数的分子与分母同乘分母的共轭复数，化简复数为a+bi的形式，即可得到复数的虚部．‎ ‎【详解】‎ 因为复数i．‎ 所以复数的虚部1‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的基本概念，考查计算能力．‎ ‎2．已知集合，，则（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】解不等式得出集合B，根据交集的定义写出A∩B．‎ ‎【详解】‎ ‎,则 故选：C ‎【点睛】‎ 本题考查了解不等式与交集的运算问题，是基础题．‎ ‎3．已知等比数列的各项均为正实数，其前项和为，若，，则（ ）‎ A．32 B．31 C．64 D．63‎ ‎【答案】B ‎【解析】设首项为a1，公比为q，由，又a3＝4，可得q＝2，再利用求和公式即可得出．‎ ‎【详解】‎ 设首项为a1，公比为q>0，由，又a3＝4，‎ ‎∴q＝2，‎ 又因为，所以a1＝1，所以S5＝31，‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了等比数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎4．已知是定义在上的奇函数，当时，（为常数），则的值为（ ）‎ A．4 B．-4 C．6 D．-6‎ ‎【答案】D ‎【解析】函数为奇函数，则：，‎ 即当时，函数的解析式为：，‎ ‎，结合奇函数的性质可得：‎ ‎.‎ 本题选择D选项.‎ 点睛：若函数f(x)是奇函数，则f(0)不一定存在；若函数f(x)的定义域包含0，则必有f(0)＝0.‎ ‎5．已知则( )‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意可得，=，由的性质可得a＜c，同理可得，‎ ‎=，由可得c＜b，可得答案.‎ ‎【详解】‎ 解：由题意得：，=，‎ 在为单调递增函数，a＜c，‎ 同理可得：，=，‎ 在R上为单调递增函数，c＜b，‎ 综上，‎ 故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查利用指数函数、幂函数比较函数值的大小，需熟练掌握指数函数、幂函数的性质.‎ ‎6．若，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意利用二倍角公式可得sinx+cosx，平方利用同角三角函数的基本关系，可得sin2x的值．‎ ‎【详解】‎ ‎∵sinx+2cos2sinx+cosx+1，∴sinx+cosx，平方可得1+2sinxcosx，‎ ‎ 则sin2x＝2sinxcosx，‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查二倍角公式，同角三角函数的基本关系，属于基础题．‎ ‎7．已知变量，满足，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由约束条件作出可行域，再由z的几何意义求解得答案．‎ ‎【详解】‎ 由变量x，y满足作出可行域如图：‎ A（2，3），解得B（，），‎ z的几何意义为可行域内动点与定点D（3，﹣1）连线的斜率．‎ ‎∵kDA4，kDB13．‎ ‎∴z的取值范围是[﹣13，﹣4]．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．‎ ‎8．已知扇形，，扇形半径为，是弧上一点，若，则（ ）.‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】将已知等式两边同时平方，利用数量积的运算法则计算，可得到cos，即可求得结果.‎ ‎【详解】‎ 由，两边同时平方得=，‎ 则有3=4+1+2=5+22cos，‎ ‎∴cos，，故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了向量数量积的运算，考查了夹角的求法，属于基础题.‎ ‎9．一个几何体的三视图如图所示,其体积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：该几何体是一个直三棱柱截去一个小三棱锥,如图 所示,则其体积为：‎ ‎.故选A.‎ ‎【考点】三视图；几何体的体积.‎ ‎10．已知函数，若，且，则取最大值时的值为（ ）‎ A．， B．， C．， D．，‎ ‎【答案】C ‎【解析】由，可知函数关于x对称，结合正弦函数的性质可求φ＝n，然后结合，可求f（x）的表达式，进而可求 ‎【详解】‎ ‎∵f（x）＝sin（2x+φ），满足，‎ 函数关于x对称，‎ 根据正弦函数的性质可知，当x时，函数取得最值，‎ ‎∴φ，n∈z，‎ ‎∴φ＝n，∈z，f（x）＝sin（2x），‎ ‎∵，‎ 则n为偶数时满足题意，f（x）＝sin（2x），‎ ‎∴f（x）取最大值时，2x，k∈z，‎ ‎∴x＝k，‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了正弦函数的对称性，及函数取得最值条件的应用，属于函数性质的综合应用．‎ ‎11．在三棱锥中，，，，，则三棱锥外接球的体积的最小值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由三角形全等可得∠ABD＝∠ACD＝90°，故而AD为棱锥外接球的直径，根据勾股定理得出AD关于AB的函数，求出AD的最小值即可得出答案．‎ ‎【详解】‎ ‎∵AB＝AC，DB＝DC，AD为公共边，‎ ‎∴△ABD≌△ACD，‎ 又AB⊥BD，即∠ABD＝90°，∴∠ACD＝90°，‎ 设AD的中点为O，则OA＝OB＝OD＝OC，‎ ‎∴O为棱锥A﹣BCD的外接球的球心．‎ ‎∵AB+BD＝4，∴AD2＝AB2+（4﹣AB）2＝2AB2﹣8AB+16＝2（AB﹣2）2+8，‎ ‎∴当AB＝2时，AD2取得最小值8，即AD的最小值为2，‎ ‎∴棱锥外接球的最小半径为AD，‎ ‎∴外接球的最小体积为V．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了棱锥的结构特征，棱锥与外接球的位置关系，确定球心位置是解题的关键，属于中档题．‎ ‎12．定义在上的函数满足，则关于的不等式的解集为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】构造函数，利用已知条件求得，即函数为增函数，而，由此求得，进而求得不等式的解集.‎ ‎【详解】‎ 构造函数，依题意可知，即函数在上单调递增.所求不等式可化为，而，所以，解得，故不等式的解集为.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查利用导数解不等式，考查构造函数法，考查导数的运算以及指数不等式的解法，属于中档题.题目的关键突破口在于条件 的应用.通过观察分析所求不等式，转化为，可发现对于，它的导数恰好可以应用上已知条件.从而可以得到解题的思路.‎ 二、填空题 ‎13．函数在处的切线方程是____.(其中为自然对数的底数)‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】求导，计算斜率，计算切点坐标，结合直线点斜式计算方法，即可。‎ ‎【详解】‎ ‎，故，切点为，故切线方程为，即.‎ ‎【点睛】‎ 本道题考查了过曲线一点的切线方程计算方法，关键结合导数计算斜率，计算切点的坐标，计算直线方程，难度中等。‎ ‎14．已知双曲线虚轴的一个端点到它的一条渐近线的距离为，则双曲线的离心率为______.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】设双曲线的一个虚轴的端点为（0，b），渐近线方程为y＝bx，运用点到直线的距离公式可得b，再由离心率公式，可得所求值．‎ ‎【详解】‎ 设双曲线虚轴的一个端点（0，b）到 它的一条渐近线y＝bx（b＞0）的距离为，‎ 可得，‎ 解得b，‎ 则双曲线的离心率e2，‎ 故答案为：2‎ ‎【点睛】‎ 本题考查双曲线的方程和性质，主要是离心率和渐近线方程，考查点到直线的距离公式，考查方程思想和运算能力，属于基础题．‎ ‎15．已知圆和直线，则圆上任意取一点A到直线的距离小于的概率为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意，画出图形，求出满足条件的A点所占弧长所对的圆心角的大小，利用几何概型的计算公式，即可求解.‎ ‎【详解】‎ 由题意，如图所示，‎ 设与直线平行的直线方程为，‎ 由O到直线的距离为，即，‎ 且，得，则,‎ 所以圆C上任取一点A到直线距离小于的概率为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了几何概型的概率的计算问题，解决此类问题的步骤：求出满足条件A的基本事件对应的“几何度量”，再求出总的基本事件对应的“几何度量”，然后根据求解，着重考查了分析问题和解答问题的能力.‎ ‎16．在数列的前项和为，且，，则______.‎ ‎【答案】1010‎ ‎【解析】利用递推关系推导数列的周期为4，再求和 ‎【详解】‎ 由题 如此继续，则 故答案为：1010‎ ‎【点睛】‎ 本题考查数列求和，考查归纳的数学思想，是基础题 三、解答题 ‎17．某调查机构为了解人们某个产品的使用情况是否与性别有关，在网上进行了问卷调查，在调查结果中随机抽取了50份进行统计，得到如下列联表：‎ 男性 女性 合计 使用 ‎15‎ ‎5‎ ‎20‎ 不使用 ‎10‎ ‎20‎ ‎30‎ 合计 ‎25‎ ‎25‎ ‎50‎ ‎（1）请根据调查结果分①析：你有多大把握认为使用该产品与性别有关；‎ ‎（2）在不使用该产品的人中，按性别用分层抽样抽取6人，再从这6人中随机抽取2人参加某项活动，求这2人中恰有一位女性的概率.‎ 附：‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎【答案】（1）有把握认为使用该产品与性别有关；（2）‎ ‎【解析】（1）利用列联表求出K2，对照表格得出结论 ‎（2）先由分层抽样求出男性应抽取2人，记为，，女性应抽取4人，记为，，，，先求出基本事件总数，再求出恰有一位女性的基本事件个数，由此得出答案 ‎【详解】‎ ‎（1），‎ 由于，所以有把握认为使用该产品与性别有关.‎ ‎（2）由列联表知，不使用该产品的人数为30，其中男性10人，女性20人，按性别用分层抽样抽取6人，则男性应抽取2人，记为，，女性应抽取4人，记为，，，，‎ 从中随机抽取2人的所有情况有：，，，，，，，，，，，，，，共15种.‎ 其中恰有一位女性的情况有：，，，，，，，共8种.‎ 所以这2 人中恰有一位女性的概率为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查列联表的应用，考查概率的求法，考查学生的计算能力，属于中档题．‎ ‎18．已知，，分别是的三个内角，，的对边，且.‎ ‎（1）求角的值；‎ ‎（2）若，边上的中线的长为，求.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】（1）利用正弦定理，结合和角的正弦公式，即可求角A的值：‎ ‎（2）若AB＝3，AC边上的中线BD的长为，求出AC，再求△ABC的面积．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由及正弦定理得：，‎ 即，‎ 即，‎ 即，‎ 因为，所以，则，又，所以.‎ ‎（2）在中，，，，由余弦定理得 ‎，所以，所以（负值舍去），‎ 又为中点，所以.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查正弦定理、余弦定理的运用，考查三角形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．‎ ‎19．如图，在三棱柱中，已知侧面，，，，点在棱上.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）试确定点的位置，使三棱锥的体积为.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）点为中点 ‎【解析】（1）证明AB⊥BC1，在△CBC1中，由余弦定理求解C1B，然后证明BC⊥BC1，利用直线与平面垂直的判定定理证明C1B⊥平面ABC．‎ ‎（2）利用求解得解 ‎【详解】‎ ‎（1）证明：∵，，，∴由余弦定理知，‎ ‎∴，即.∵侧面，侧面，∴.‎ 又，∴平面.‎ ‎（2）由题意知，又侧面，所以 ‎，即.‎ 易知，等腰直角三角形中，，所以，‎ 所以当点为中点时三棱锥的体积为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查线面垂直、线线垂直，考查锥体体积的运用，考查学生分析解决问题的能力，正确运用线面垂直的判定定理是关键．‎ ‎20．已知函数.‎ ‎（1）求函数的单调区间；‎ ‎（2）若在区间上没有零点，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）单调增区间为，单调递减区间为；（2）‎ ‎【解析】（1）求出f′（x），解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0，即可求出f（x）的单调区间；‎ ‎（2）函数g（x）在区间上没有零点，只需在上在上恒成立，分离参数，根据导数和函数的最值得关系即可求出．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意知函数的定义域为，，‎ 令得，令得，‎ 所以函数的单调增区间为，单调递减区间为.‎ ‎（2）由题意知若，因为在区间上没有零点，所以在上恒成立，‎ 由，得，令，则.‎ 当时，，所以在上单调递减，所以时，，‎ 所以，即，所以实数的取值范围.‎ ‎【点睛】‎ 本题是导数在函数中的综合运用，考查运用导数求单调区间，求极值，求最值，考查分类讨论的思想方法，注意有解问题分离参数是常用的方法．‎ ‎21．已知，是椭圆：上的两点，线段的中点在直线上.‎ ‎（1）当直线的斜率存在时，求实数的取值范围；‎ ‎（2）设是椭圆的左焦点，若椭圆上存在一点，使，求的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】（1）设中点，利用点差法得，由点在椭圆内部得，即可求解k的范围 ‎（2）向量坐标化得，，弦长公式得由点在椭圆上，得，进而得AB方程，与椭圆联立得，则可求 ‎【详解】‎ ‎（1）设，，则，，‎ 两式相减得：，‎ 由线段的中点在直线上，可设此中点，因为直线的斜率存在，所以，‎ 设其斜率为，由式得，即.‎ 由于弦的中点必在椭圆内部，则，解得 ‎.‎ 又，所以斜率的取值范围为.‎ ‎（2）由（1）知，，因为椭圆的左焦点为，‎ 所以，，设，则，‎ ‎，，，‎ 同理可得，因为点在椭圆上，所以，‎ 解得.当时，，直线的方程为，‎ 代入得，由根与系数关系得.‎ 则.‎ 由对称性知，当时也成立，.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查直线与椭圆的位置关系，考查点差法的应用，熟练应用韦达定理及弦长公式求解计算是关键，是中档题 ‎22．已知直线：与曲线：，以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎（1）求直线和曲线的极坐标方程；‎ ‎（2）将直线绕极点逆时针方向旋转得到的直线，这两条直线与曲线分别交于异于极点的，两点，求的面积.‎ ‎【答案】（1）直线：，曲线：；（2）‎ ‎【解析】（1）利用 化极坐标方程；‎ ‎（2）由题极坐标方程为：，进而得，‎ ‎，利用面积公式求解即可 ‎【详解】‎ ‎（1）则直线的方程为：，∴极坐标方程为：；‎ 曲线的方程：，即，∴极坐标方程为：.‎ ‎（2）将直线绕极点逆时针方向旋转得到的直线，则极坐标方程为：，‎ 设，，则，，‎ 所以的面积.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查极坐标与普通方程的应用，考查极坐标的几何意义，考查面积公式，准确应用几何意义是关键，是基础题 ‎23．已知函数．‎ ‎（Ⅰ）当时，解不等式；‎ ‎（Ⅱ）若对任意，不等式都成立，求a的取值范围．‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）‎ ‎【解析】（Ⅰ）当时，，分类讨论，即可求解不等式的解集；‎ ‎（Ⅱ）把不等式都成立，转化为恒成立，分类讨论即可求解．‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）由题意，当时，，‎ 故或或，‎ 解得：或，‎ 故不等式的解集是； ‎ ‎（Ⅱ）若对任意，不等式都成立，‎ 则恒成立，‎ 当时，恒成立，故，解得：，‎ 当时，，解得：，‎ 综上，．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了绝对值不等式的求解，以及不等式的恒成立问题，其中解答中熟记绝对值不等式的解法，以及不等式恒成立问题的转化是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．‎