江苏省无锡市普通高中2020届高三上学期期中调研考试数学试题 含解析

江苏省无锡市普通高中2020届高三上学期期中调研考试数学试题 含解析

江苏省无锡市普通高中2019—2020学年上学期高三期中调研考试 数学试卷 一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．）‎ ‎1．函数的定义域为 ．‎ 答案：[1，)‎ 考点：函数的定义域 解析：∵x﹣1≥0，∴x≥1，故函数的定义域为[1，)．‎ ‎2．已知向量＝(2，﹣3)与向量＝(x，﹣6)共线，则x＝ ．‎ 答案：4‎ 考点：平行（共线）向量的坐标表示 解析：∵向量＝(2，﹣3)与向量＝(x，﹣6)共线，‎ ‎ ∴2×(﹣6)﹣(﹣3)x＝0，解得x＝4．‎ ‎3．若角的终边过点(﹣1，2)，则tan＝ ．‎ 答案：﹣2‎ 考点：三角函数的定义 解析：∵角的终边过点(﹣1，2)，‎ ‎ ∴tan＝＝﹣2．‎ ‎4．在等比数列中，已知，，则＝ ．‎ 答案：﹣81‎ 考点：等比数列的通项公式，等比数列的性质 解析：∵数列是等比数列，且，，‎ ‎ ∴，解得q＝﹣3，‎ ‎ ∴．‎ ‎5．已知集合A＝，集合B＝，若AB中恰好含有一个整数，则实数a的值为 ．‎ 答案：﹣1‎ 考点：集合的交集 解析：∵集合A＝，集合B＝，且AB≠，‎ ‎ ∴AB＝，‎ ‎ ∵AB中恰好含有一个整数，显然这个整数是﹣2，‎ ‎ ∴实数a的值为﹣1．‎ ‎6．函数在区间[0，π]的单调递增区间为 ．‎ 答案：[，π]（本题如果写开区间也算对）‎ 考点：利用导数研究函数的单调性 解析：∵，∴，列表如下：‎ x ‎(0，)‎ ‎(，π)‎ y′‎ ‎﹣‎ ‎0‎ ‎﹢‎ y 单调递减 单调递增 ‎ ‎ ‎ 由表格可知，原函数在区间[0，π]的单调递增区间为[，π]．‎ ‎7．偶函数在(0，)上单调递减，且满足，则x的取值范围为 ．‎ 答案：(，1)‎ 考点：函数的单调性与奇偶性的综合 解析：∵偶函数在(0，)上单调递减，且，‎ ‎ ∴，两边同时平方并化简得：，‎ ‎ 解得，故x的取值范围为(，1)．‎ ‎8．函数在点(0，)处的切线方程为 ．‎ 答案：‎ 考点：利用导数研究函数的切线 解析：∵，∴，‎ ‎ ∴，，‎ ‎ 故切线为：，即．‎ ‎9．已知，则sin2＝ ．‎ 答案：‎ 考点：同角三角函数关系式，二倍角公式 解析：∵，‎ ‎ ∴tan＝﹣3，‎ ‎ ∴sin2＝．‎ ‎10．若函数，(＞0，)的图象关于点A(n，0)中心对称，也关于直线：x＝m对称，且的最小值为．已知函数的图象过点(，)，则＝ ．‎ 答案：‎ 考点：三角函数的图像与性质 解析：由题意可知，解得＝2，∴，‎ ‎ ∵函数的图象过点(，)，‎ ‎ ∴，∵，即 ‎ ∴，故，，则，‎ ‎ 故．‎ ‎11．家饮料厂生产甲、乙两种果汁饮料，甲种饮料的主要配方是每3份李子汁加1份苹果汁，乙种饮料的主要配方是李子汁和苹果汁各一半．该厂每天能获得的原料是2000L李子汁和1000L苹果汁，又厂方的利润是生产1L甲种饮料得3元，生产1L乙种饮料得4元．那么厂方获得的最大利润是 元．‎ 答案：10000‎ 考点：线性规划 解析：设生产x升甲种饮料，y升乙种饮料，‎ ‎ 则，设该厂获得的利润z＝3x＋4y，画出可行域，如图：‎ ‎ 当直线z＝3x＋4y经过点(2000，1000)时，‎ ‎ z的值最大，即z＝3×2000＋4×1000‎ ‎ ＝10000．‎ ‎12．在直角△ABC中，M，N是斜边BC上的两个三等分点，已知△ABC的面积为2，则的最小值为 ．‎ 答案：‎ 考点：平面向量数量积，基本不等式 解析：如图建立直角坐标系：‎ ‎ ‎ ‎ B(c，0)，C(0，b)，则N(，)，M(，)，‎ ‎ ∵△ABC的面积为2，则bc＝4，‎ ‎ ＝(，)，＝(，)，‎ ‎ ∴＝(，)·(，)＝，‎ ‎ 当且仅当b＝c时取“＝”．‎ ‎13．若数列和满足，{﹣25，﹣9，﹣7，15，35}，且数列中存在三个数经过适当排列后可以构成公比为q(＜1)的等比数列，则q＝ ．‎ 答案：‎ 考点：等比数列 解析：∵，∴，∵{﹣25，﹣9，﹣7，15，35}，‎ ‎ ∴{﹣12，﹣4，﹣3，8，18}，∵集合内恰有三个正数，两个负数，‎ ‎ ∴成等比数列的三个数不可能三个都是正数，而三个负数又不成等比数列 ‎ 故这三个数中1正2负或2正1负，‎ ‎ ∵集合中不存在两个负数的积为82，182，∴不可能是1正2负；‎ ‎ 故这三个成等比数列的数是2正1负，‎ ‎ 由＜1，q＜0，，解得．‎ ‎14．已知函数，恰好有6个不同的解，则实数a的取值范围为 ．‎ 答案：(0，1)‎ 考点：函数零点 解析：令，由对勾函数性质可知，‎ ‎ t＜0时两解，t＝0时一解，0＜t＜2时无解，t＝2时一解，t＞2时两解 ‎ 画出图像，由图可知，关于t的方程的解的情况如下：‎ ‎ a≤0时两解，不成立，‎ ‎ 0＜a＜1时三解，，，成立，‎ ‎ a＝1时，，，，，不成立，‎ ‎ 1＜a＜2时四解，，不成立，‎ ‎ a＝2时三解，，不成立，‎ ‎ a＞2时两解，不成立．‎ ‎ 故实数a的取值范围为(0，1)．‎ 二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）‎ ‎15．（本题满分14分）‎ 如图，在直四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，点E为AB1的中点，点F为A1D的中点．‎ ‎（1）求证：EF∥平面ABCD；‎ ‎（2）求证：AA1⊥EF．‎ ‎16．（本题满分14分）‎ 如图，设Ox，Oy是平面内相交成60°角的两条数轴，，分别是与x轴，y轴正方向同向的单位向量，若向量，则把有序数对(x，y)叫做向量在坐标系xOy中的坐标．‎ ‎（1）设M(0，1)，N(1，0)，求的值；‎ ‎（2）若，计算的大小．‎ ‎17．（本题满分15分）‎ 如图，在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，AD⊥BC于D，点D在边BC上（不与端点重合），且AD＝BC．‎ ‎（1）若∠BAC＝60°，求sinBsinC的值；‎ ‎（2）求的取值范围．‎ ‎18．（本题满分15分）‎ 为了丰富学生活动，在体育课上，体育教师设计了一个游戏，让甲、乙、丙三人各抓住橡皮带的一端，甲站在直角△ABC斜边AC的中点F处，乙站在B处，丙站在C处．游戏开始，甲不动，乙、丙分别以v(m/s)和v2(m/s)的速度同时出发，匀速跑向终点A和B．运动过程中绷紧的橡皮带围成一个如图所示的△DEF．（规定：只要有一人跑到终点，游戏就结束，且0＜v≤3(m/s)）．已知AB长为40m，BC长为80m，记经过t(s)后△DEF的面积为S(m2)．‎ ‎（1）求S关于t的函数表达式，并求出t的取值范围；‎ ‎（2）当游戏进行到10s时，体育教师宣布停止，求此时S(m2)的最小值．‎ ‎19．（本题满分16分）‎ 已知数列的前n项和为()，当n≥2时，满足．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）求证：数列为等差数列；‎ ‎（3）若，公差d，问是否存在n，d，使得＝15？如果存在，求出所有满足条件的n，d，如果不存在，请说明理由．‎ ‎20．（本题满分16分）‎ 设函数．‎ ‎（1）当b＝0时，求函数的单调区间；‎ ‎（2）当[0，1)，x(0，2]时，记函数的最小值为，求的最大值．‎