2020届二轮复习概率与统计课件（全国通用）

2020届二轮复习概率与统计课件（全国通用）

专题七　概率与统计 题型 1 概率与统计 概率与统计的综合题，自从 2005 年走进新高考试题后，就 以崭新的姿态，在高考中占有极其重要的地位，每年出现一道 大题 ( 都有一定的命题背景，其地位相当于原来的应用题 ). 连续 五年都为一题多问，前面考统计，后面考概率，预计这一趋势 在全国高考中会得到延续！ 例 1 ： (20 16 年新课标 Ⅰ ) 某公司计划购买 2 台机器，该种 机器使用三年后即被淘汰 . 机器有一易损零件，在购进机器时， 可以额外购买这种零件作为备件，每个 200 元 . 在机器使用期间， 如果备件不足再购买，则每个 500 元 . 现需决策在购买机器时应 同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了 100 台这种机器在 三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图 7-1 ： 图 7-1 以这 100 台机器更换的易损零件数的频率代替 1 台机器更 换的易损零件数发生的概率，记 X 表示 2 台机器三年内共需更 换的易损零件数， n 表示购买 2 台机器的同时购买的易损零件 数 . (1) 求 X 的分布列； (2) 若要求 P ( X ≤ n ) ≥ 0.5 ，确定 n 的最小值； (3) 以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在 n ＝ 19 与 n ＝ 20 之中选其一，应 选用哪个？ 解： (1) 由柱状图并以频率代替概率可得，一台机器在三年 内需更换的易损零件数为 8,9,10,11 的概率分别为 0.2 ， 0.4 ， 0.2,0.2 ，从而 P ( X ＝ 16) ＝ 0.2×0.2 ＝ 0.04 ； P ( X ＝ 17) ＝ 2×0.2×0.4 ＝ 0.16 ； P ( X ＝ 18) ＝ 2×0.2×0.2 ＋ 0.4×0.4 ＝ 0.24 ； P ( X ＝ 19) ＝ 2×0.2×0.2 ＋ 2×0.4×0.2 ＝ 0.24 ； P ( X ＝ 20) ＝ 2×0.2×0.4 ＋ 0.2×0.2 ＝ 0.2 ； X 16 17 18 19 20 21 22 P 0.04 0.16 0.24 0.24 0.2 0.08 0.04 P ( X ＝ 21) ＝ 2×0.2×0.2 ＝ 0.08 ； P ( X ＝ 22) ＝ 0.2×0.2 ＝ 0.04. 所以 X 的分布列为： (2) 由 (1) 知， P ( X ≤ 18) ＝ 0.44 ， P ( X ≤ 19) ＝ 0.68 ， ∴ P ( X ≤ n ) ≥ 0.5 中， n 的最小值为 19. (3) 记 Y 表示 2 台机器在购买易损零件上所需的费用 ( 单位： 元 ). 当 n ＝ 19 时， E ( Y ) ＝ 19 × 200 ＋ 500 × 0.2 ＋ 1000 × 0.08 ＋ 1500×0.04 ＝ 4040. 当 n ＝ 20 时， E ( Y ) ＝ 20×200 ＋ 500×0.08 ＋ 1000×0.04 ＝ 4080. 可知当 n ＝ 19 时所需费用的期望值小于 n ＝ 20 时所需费用 的期望值，故应选 n ＝ 19. 【 名师点评 】 (1) 高考中经常以 统计图的形式显示相关的数 据信息，以统计图为载体来考查概率的相关问题 . 本小题主要考 查频率分布直方图、概率、期望等概念和用样本频率估计总体 分布的统计方法，考查运用概率统计知识解决实际问题的能力； (2) 散点图与线性回归方程的有关知识，是高考考试的重要 知识点，因此是高考命题的一种重要题型，要注意熟练掌握 . 统 计问题最容易出错的两个方面：公式记错、计算出错！ 学期 x 1 2 3 4 5 6 总分 y / 分 512 518 523 528 534 535 【 互动探究 】 1. 为建立健全国家学生体质健康监测评价机制，激励学生 积极参加身体锻炼，教育部印发 《 国家学生体质健康标准 (2014 年修订 )》 ，要求各学校每学期开 展覆盖本校各年级学生的 《 标 准 》 测试工作，并根据学生每个学期总分评定等级 . 某校决定针 对高中学生，每学期进行一次体质健康测试，以下是小明同学 六个学期体质健康测试的 总分情况 . (1) 请根据上表提供的数据，用相关系数 r 说明 y 与 x 的线 性相关程度，并用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程 ( 线 性相关系数保留两位小数 ) ； (2) 在第六个学期测试中学校根据 《 标准 》 ，划定 540 分以 上为优秀等级，已知小明所在的学习小组 10 个同学有 6 个被评 定为优秀，测试后同学们都知道了自己的总分但不知道别人的 总分，小明随机的给小组内 4 个同学打电话询问对方成绩，优 秀的同学有 X 人，求 X 的分布列和期望 . 综上所述， y 与 x 的线性相关程度较高 . 题型 2 离散型随机变量的期望与方差 随机变量的分布列与数学期望紧密相连，只有知道随机变 量的分布列，才能够计算出随机变量的数学期望，它们之间是 层层递进的关系 . 因此，这类试题经常是以两个小题的形式出 现，第一问是为第二问作铺垫的 . 产假安排 ( 单位：周 ) 14 15 16 17 18 有生育意愿家庭数 4 8 16 20 26 例 2 ： 自 2 016 年 1 月 1 日起，我国全面二孩政策正式实施， 这次人口与生育政策的历史性调整，使得 “ 要不要再生一 个 ”“ 生二孩能休多久产假 ” 等成为千千万万个家庭在生育决 策上避不开的话题 . 为了解针对产假的不同安排方案形成的生 育意愿，某调查机构随机抽取了 200 户有生育二胎能力的适龄 家庭进行问卷调查，得到如下数据： (1) 若用表中数据所得的频率代替概率，面对产假为 14 周 与 16 周，估计某家庭有生育意愿的概率分别为多少？ (2) 假设从 5 种不同安排方案中，随机抽取 2 种不同安排分 别作为备选方案，然后由单位根据单位情况自主选择 . ① 求两种安排方案休假周数和不低于 32 周的概率； ② 如果用 ξ 表示两种 方案休假周数和，求随机变量 ξ 的分布 列及期望 . ② 由题知随机变量 ξ 的可能取值为 29,30,31,32,33,34,35. ξ 29 30 31 32 33 34 35 P 0.1 0.1 0.2 0.2 0.2 0.1 0.1 因而 ξ 的分 布列为： 所以 E ( ξ ) ＝ 29×0.1 ＋ 30×0.1 ＋ 31×0.2 ＋ 32×0.2 ＋ 33×0.2 ＋ 34×0.1 ＋ 35×0.1 ＝ 32. 【 规律方法 】 (1) 会用频率估计 概率，然后把问题转化为互 斥事件的概率； (2) 首先确定 X 的取值，然后确定 有关概率，注意运用对立 事件、相互独立事件的概率公式进行计算，列出分布列后即可 计算数学期望 . (3) 离散型随机变量分布列的性质 p 1 ＋ p 2 ＋ … ＋ p n ＝ 1 ，这条 性质是我们检验分布列是否正确最有效的工具，希 望同学们在 求分布列时尽量将每个变量的概率求出，而不要偷懒，否则将 失去自我检查的机会 . 消费金额 ( 单位：元 ) (0,200] (200 ， 400] (400 ， 600] (600 ， 800] (800 ， 1000] 购物单张数 25 25 30 【 互动探究 】 2. 某大型商场去年国庆期间累计生成 2 万张购物单，从中 随机抽出 100 张，对每单消费金额进行统计得到 下表： 由于工作人员失误，后两栏数据无法辨识，但当时记录表 明，根据由以上数据绘制成的频率分布直方图所估计出的每单 消费额的中位数与平均数恰好相等 . 用频率估计概率，完成下列 问题： (1) 估计去年国庆期间该商场累计生成的购物单中，单笔消 费额超过 800 元的概率； (2) 为鼓励顾客消费，该商场计划在今年国庆期间进行促销 活动，凡单笔消费超过 600 元者，可抽奖一次 . 抽奖规则为：从 装有大小材质完全相同的 5 个红球和 5 个黑球的不透明口袋中， 随机摸出 4 个小球，并记录两种颜色小球的数量差的绝对值 X ， 当 X ＝ 4,2,0 时，消费者可分别获得价值 500 元、 200 元和 100 元的购物券 . 求参与抽奖的消费者获得购物券的价值的数学期 望 . 解： (1) 因消费额在区间 (0,400] 的频率为 0.5 ，故中位数估计 值为 400. 设所求概率为 p ，而消费额在 (0,600] 的概率为 0.8. 故消费额在区间 (600,800] 内的概率为 0.2 － p . 因此消费额的平均值可估计为 100×0.25 ＋ 300×0.25 ＋ 500×0.3 ＋ 700×(0.2 － p ) ＋ 900× p . 令其与中位数 400 相等，解得 p ＝ 0.05. 题型 3 独立性检验 独立性检验是新课标增加的内容，高考试卷多次以解答题 形式考查，体现新课程的理念，因此我们在备考时也应该引起 足够的重视 . 例 3 ： (20 17 年新课标 Ⅱ ) 海水养殖场进行某水产品的新、 旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了 100 个网箱， 测量各箱水产品的产量 ( 单位： kg), 其频率分布直方图如图 7-2 ： 图 7-2 养殖法 箱产量＜ 50 kg 箱产量 ≥ 50 kg 旧养殖法 新养殖法 (1) 设两种养殖方法的箱产量相互独立，记 A 表示事件“旧 养殖法的箱产量低于 50 kg ，新养殖法的箱产量不低于 50 kg” ， 估计 A 的概率； (2) 填写下面列联表，并根据列联表判断是否有 99% 的把握 认为箱产量与养殖方法有关： (3) 根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中 位数的估计值 ( 精确到 0.01). P ( K 2 ≥ k ) 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 附： 解： (1) 记 B 表示事件“旧养殖法的箱产量低于 50 kg” ， C 表示事件“新养殖法的箱产量不低于 50 kg” ， 由题意知 P ( A ) ＝ P ( BC ) ＝ P ( B ) P ( C ) ， 旧养殖法的箱产量低于 50 kg 的频率为 (0.012 ＋ 0.014 ＋ 0.024 ＋ 0.034 ＋ 0.040)×5 ＝ 0.62 ，故 P ( B ) ＝ 0.62. 新养殖法的箱产量不低于 50 kg 的频率为 (0.068 ＋ 0.046 ＋ 0.010 ＋ 0.008)×5 ＝ 0.66 ，故 P ( C ) ＝ 0.66. 因此，事件 A 的概率估计值为 0.62×0.66 ＝ 0.4092. 养殖法 箱产量 <50 kg 箱产量 ≥ 50 kg 总计 旧养殖法 62 38 100 新养殖法 34 66 100 总计 96 104 200 (2) 根据箱产量的频率分布直方图得列联表如下： 由于 15.705>6.635 ，故有 99% 的把握认为箱产量与养殖方 法有关 . (3) 因为新养殖法的箱产量频率分布直方图中，箱产量低于 50 kg 的直方图面积为 (0.004 ＋ 0.020 ＋ 0.044)×5 ＝ 0.34<0.5 ， 箱产量低于 55 kg 的直方图面积为 (0.004 ＋ 0.020 ＋ 0.044 ＋ 0.068)×5 ＝ 0.68>0.5 ， 故新养殖法箱产量的中位数的估计值为 50 ＋ 0.5 － 0.34 0.068 ≈ 52.35(kg). 【 规律方法 】 (1) 本题是独立性检验问题，关键是由 2×2 列联表确定 a ， b ， c ， d ， n 的值 . 高考对独立性检验这部分的要 求是：了解独 立性检验 ( 只要求 2×2 列联表 ) 的基本思想、方法 及其简单应用 . 在复习中，不可小视 .(2) 利用公式 K 2 ＝ 计算要准确，近似计算要精确到小数点 后三位，可选择满足条件 P ( K 2 > k 0 ) ＝ a 的 k 0 作为拒绝域的临界值 . 年龄 [15,25) [25,35) [35,45) [45,55) [55,65] 支持“延迟退 休”的人数 15 5 15 28 17 【 互动探究 】 3. 中央政府为了应对因人口老龄化而造成的劳动力短缺等 问题，拟定出台“延迟退休年龄政策” . 为了解人们对“延迟退 休年龄政策”的态度，责成人社部进行调研 . 人社部从网上年龄 在 15 ～ 65 岁的人群中随机调查 100 人，调查数据的频率分布直 方图和支持“延迟退休”的人数与年龄的统计结果如下： 图 7-3 (1) 由以上统计数据填 2×2 列联表，并判断能否在犯错误 的概率不超过 0.05 的前提下认为以 45 岁为分界点的不同人群 对“延迟退休年龄政策”的支持度有差异； 年龄 45 岁以下 45 岁以上 总计 支持 不支持 总计 (2) 若以 45 岁为分界点，从不支持“延迟退休”的人中按 分层抽样的方法抽取 8 人参加某项活动 . 现从这 8 人中随机抽 2 人 . ① 抽到 1 人是 45 岁以下时，求抽到的另一人是 45 岁以上 的概率； P ( K 2 ≥ k 0 ) 0.100 0.050 0.010 0.001 k 0 2.706 3.841 6.635 10.828 ② 记抽到 45 岁以上的人数为 X ，求随机变量 X 的分布列及 数学期望 . 参考数据： 45 岁以下 45 岁以上 总计 支持 35 45 80 不支持 15 5 20 总计 50 50 100 解： 由频率分布直方图知 45 岁以下与 45 岁以上各 50 人， 故填充 2×2 列联表如下： 因为 K 2 的观测值 k ＝ 100× ( 35×5 － 45×15 ) 2 50×50×80×20 ＝ 6.25>3.841 ， 所以在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下认为以 45 岁为 分界点的不同人群对“延迟退休年龄政策”有差异 . ② 从不支持“延迟退休”的人中抽取 8 人，则 45 岁以下的 应抽 6 人， 45 岁以上的应抽 2 人 .