数学理·四川省内江市市中区翔龙中学2017届高三上学期9月月考数学试卷(理科) Word版含解析

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数学理·四川省内江市市中区翔龙中学2017届高三上学期9月月考数学试卷(理科) Word版含解析

‎2016-2017学年四川省内江市市中区翔龙中学高三(上)9月月考数学试卷(理科)‎ ‎ ‎ 一、选择题(本题共12道小题,每小题5分,共60分)‎ ‎1.已知全集U=R,N={x|x(x+3)<0},M={x|x<﹣1}则图中阴影部分表示的集合是(  )‎ A.{x|﹣3<x<﹣1} B.{x|﹣3<x<0} C.{x|﹣1≤x<0} D.{x|x<﹣3}‎ ‎2.已知满足的实数x、y所表示的平面区域为M、若函数y=k(x+1)+1的图象经过区域M,则实数k的取值范围是(  )‎ A.[3,5] B.[﹣1,1] C.[﹣1,3] D.‎ ‎3.(+x)(1﹣)4的展开式中x的系数是(  )‎ A.1 B.2 C.3 D.12‎ ‎4.已知非零向量,满足4||=3||,cos<,>=.若⊥(t+),则实数t的值为(  )‎ A.4 B.﹣4 C. D.﹣‎ ‎5.若||=1,||=2, =,且,则与的夹角为(  )‎ A.30° B.60° C.120° D.150°‎ ‎6.“平面内一动点P到两个定点的距离的和为常数”是“平面内一动点P的轨迹为椭圆”的(  )‎ A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎7.要得到函数y=sin(x+)的图象,只需要将函数y=cosx的图象(  )‎ A.向左平移个单位 B.向左平移个单位24‎ C.向右平移个单位 D.向右平移个单位G ‎8.数列{an}的前n项和为Sn,若a1=1,an+1=3Sn(n≥1),则a6=(  )M A.3×44 B.3×44+1 C.44 D.44+1D ‎9.已知函数f(x)=2mx3﹣3nx2+10(m>0)有且仅有两个不同的零点,则lg2m+lg2n的最小值为(  )m A. B. C. D.f ‎10.已知函数f(x)=,则方程f(x)=ax恰有两个不同实数根时,实数a的取值范围是(  )(注:e为自然对数的底数)h A.(0,) B.[,] C.(0,) D.[,e]Q ‎11.已知函数f(x)在实数集R上具有下列性质:C ‎①f(x+2)=﹣f(x);V ‎②f(x+1)是偶函数;X ‎③当x1≠x2∈[1,3]时,(f(x2)﹣f(x1))(x2﹣x1)<0.2‎ 则f,f A.f>f>ft C.f>f>fu ‎12.已知函数f(x)=,若方程f(x)=a有四个不同的解x1,x2,x3,x4,且x1<x2<x3<x4,则x3(x1+x2)+的取值范围是(  )M A.(﹣1,+∞) B.(﹣1,1] C.(﹣∞,1) D.[﹣1,1)+‎ ‎ ‎ 二、填空题(本题共4道小题,每小题5分,共20分)0‎ ‎13.若zl=a+2i,z2=3﹣4i,且为纯虚数,则实数a的值为  .7‎ ‎14.已知α∈(0,π),cosα=,则sin(π﹣α)=  .Y ‎15.已知点A(1,2),B(0,0),C(1,0),设∠BAC的平分线AE与BC相交于E,如果=λ,那么λ等于  .T ‎16.若数列{an}满足:存在正整数T,对于任意正整数n都有an+T=an成立,则称数列{an}为周期数列,周期为T.已知数列{an}满足an+1=a1=m(m>0),有以下结论:l ‎①若m=,则a3=3;a ‎②若a3=2,则m可以取3个不同的值;Q ‎③若m=,则{an}是周期为3的数列;=‎ ‎④存在m∈Q且m≥2,数列{an}是周期数列.=‎ 其中正确结论的序号是  .‎ ‎ ‎ 三、解答题(本题共6道小题,第10题0分,第2题12分,第3题12分,第4题12分,第5题12分,第6题12分,共70分)‎ ‎17.设集合A={x|2≤x≤4},B={x|x>3,或x<1},C={x|t+1<x<2t},t∈R.‎ ‎(Ⅰ)求A∪∁UB;‎ ‎(Ⅱ)若A∩C=C,求t的取值范围.‎ ‎18.已知△ABC顶点的直角坐标分别是A(3,5)、B(0,1)、C(8,﹣7).‎ ‎(1)求cosB的值;‎ ‎(2)若=(﹣2,﹣5),证明:B、C、D三点共线.‎ ‎19.设数列{an}的前n项积为Tn,且Tn=2﹣2an(n∈N*).‎ ‎(Ⅰ)求证数列是等差数列;‎ ‎(Ⅱ)设bn=(1﹣an)(1﹣an+1),求数列{bn}的前n项和Sn.‎ ‎20.一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球,从中随机抽取50个作为样本,称出它们的重量(单位:克),重量分组区间为[5,15],(15,25],(25,35],(35,45],由此得到样本的重量频率分布直方图(如图),‎ ‎(1)求a的值,并根据样本数据,试估计盒子中小球重量的众数与平均值;‎ ‎(2)从盒子中随机抽取3个小球,其中重量在[5,15]内的小球个数为X,求X的分布列和数学期望.(以直方图中的频率作为概率)‎ ‎21.已知函数f(x)=x+alnx在x=1处的切线与直线x+2y=0垂直,函数g(x)=f(x)+x2﹣bx.‎ ‎(1)求实数a的值;‎ ‎(2)若函数g(x)存在单调递减区间,求实数b的取值范围;‎ ‎(3)设x1,x2(x1<x2)是函数g(x)的两个极值点,若b≥,求g(x1)﹣g(x2)的最小值.‎ ‎22.已知函数,对任意的x∈(0,+∞),满足,‎ 其中a,b为常数.‎ ‎(1)若f(x)的图象在x=1处切线过点(0,﹣5),求a的值;‎ ‎(2)已知0<a<1,求证:;‎ ‎(3)当f(x)存在三个不同的零点时,求a的取值范围.‎ ‎ ‎ ‎2016-2017学年四川省内江市市中区翔龙中学高三(上)9月月考数学试卷(理科)‎ 参考答案与试题解析 ‎ ‎ 一、选择题(本题共12道小题,每小题5分,共60分)‎ ‎1.已知全集U=R,N={x|x(x+3)<0},M={x|x<﹣1}则图中阴影部分表示的集合是(  )‎ A.{x|﹣3<x<﹣1} B.{x|﹣3<x<0} C.{x|﹣1≤x<0} D.{x|x<﹣3}‎ ‎【考点】Venn图表达集合的关系及运算.‎ ‎【分析】首先化简集合N,然后由Venn图可知阴影部分表示N∩(CUM),即可得出答案.‎ ‎【解答】解:N={x|x(x+3)<0}={x|﹣3<x<0}‎ 由图象知,图中阴影部分所表示的集合是N∩(CUM),‎ 又M={x|x<﹣1},‎ ‎∴CUM={x|x≥﹣1}‎ ‎∴N∩(CUM)=[﹣1,0)‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ ‎2.已知满足的实数x、y所表示的平面区域为M、若函数y=k(x+1)+1的图象经过区域M,则实数k的取值范围是(  )‎ A.[3,5] B.[﹣1,1] C.[﹣1,3] D.‎ ‎【考点】简单线性规划.‎ ‎【分析】由题意,做出不等式组对应的可行域,由于函数y=k(x+1)+1的图象是过点P(﹣1,1),斜率为k的直线l,故由图即可得出其范围.‎ ‎【解答】解:作出可行域,如图.因为函数y=k(x+1)+1的图象是过点A(﹣1,1),且斜率为k的直线l,由图知,当直线l过点M(0,2)时,k取最大值 1,当直线l过点NB(1,0)时,k取最小值,‎ 故.‎ 故选D.‎ ‎ ‎ ‎3.(+x)(1﹣)4的展开式中x的系数是(  )‎ A.1 B.2 C.3 D.12‎ ‎【考点】二项式系数的性质.‎ ‎【分析】利用二项式定理,含x的项的系数是(+x)的一次项乘以 (1﹣)4 中的常数项与(+x)的项乘以(1﹣)4中的二次项的和,求出即可.‎ ‎【解答】解:∵=(+x)(1﹣4+6x﹣4x+x2),‎ ‎∴展开式中x的系数为1×1+2×1=3.‎ 故答案为:C.‎ ‎ ‎ ‎4.已知非零向量,满足4||=3||,cos<,>=.若⊥(t+),则实数t的值为(  )‎ A.4 B.﹣4 C. D.﹣‎ ‎【考点】平面向量数量积的运算.‎ ‎【分析】若⊥(t+),则•(t+)=0,进而可得实数t的值.‎ ‎【解答】解:∵4||=3||,cos<,>=,⊥(t+),‎ ‎∴•(t+)=t•+2=t||•||•+||2=()||2=0,‎ 解得:t=﹣4,‎ 故选:B.‎ ‎ ‎ ‎5.若||=1,||=2, =,且,则与的夹角为(  )‎ A.30° B.60° C.120° D.150°‎ ‎【考点】数量积表示两个向量的夹角.‎ ‎【分析】设与的夹角为θ,0≤θ≤π,由,可得 =0,再利用两个向量的数量积的定义求得cosθ=﹣,由此可得 θ 的值.‎ ‎【解答】解:设与的夹角为θ,则0≤θ≤π,∵,∴=0.‎ 再由 =()•=+=1+1×2×cosθ=0,可得cosθ=﹣,‎ ‎∴θ=,即 θ=120°,‎ 故选C.‎ ‎ ‎ ‎6.“平面内一动点P到两个定点的距离的和为常数”是“平面内一动点P的轨迹为椭圆”的(  )‎ A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.‎ ‎【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合椭圆的定义进行判断即可.‎ ‎【解答】解:若平面内一动点P到两个定点的距离的和为常数,当常数小于等于两定点的距离时,轨迹不是椭圆,10443825‎ 若平面内一动点P的轨迹为椭圆,则平面内一动点P到两个定点的距离的和为常数成立,‎ 即“平面内一动点P到两个定点的距离的和为常数”是“平面内一动点P的轨迹为椭圆”的必要不充分条件,‎ 故选:B.‎ ‎ ‎ ‎7.要得到函数y=sin(x+)的图象,只需要将函数y=cosx的图象(  )‎ A.向左平移个单位 B.向左平移个单位 C.向右平移个单位 D.向右平移个单位 ‎【考点】函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换.‎ ‎【分析】由条件利用诱导公式以及y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,可得结论.‎ ‎【解答】解:将函数y=cosx的图象向右平移个单位,‎ 可得y=cos(x﹣)=sin(x﹣+)=sin(x+)的图象,‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ ‎8.数列{an}的前n项和为Sn,若a1=1,an+1=3Sn(n≥1),则a6=(  )‎ A.3×44 B.3×44+1 C.44 D.44+1‎ ‎【考点】等比数列的通项公式;等比数列的前n项和.‎ ‎【分析】根据已知的an+1=3Sn,当n大于等于2时得到an=3Sn﹣1,两者相减,根据Sn﹣Sn﹣1=an,得到数列的第n+1项等于第n项的4倍(n大于等于2),所以得到此数列除去第1项,从第2项开始,为首项是第2项,公比为4的等比数列,由a1=1,an+1=3Sn,令n=1,即可求出第2项的值,写出2项以后各项的通项公式,把n=6代入通项公式即可求出第6项的值.‎ ‎【解答】解:由an+1=3Sn,得到an=3Sn﹣1(n≥2),‎ 两式相减得:an+1﹣an=3(Sn﹣Sn﹣1)=3an,‎ 则an+1=4an(n≥2),又a1=1,a2=3S1=3a1=3,‎ 得到此数列除去第一项后,为首项是3,公比为4的等比数列,‎ 所以an=a2qn﹣2=3×4n﹣2(n≥2)‎ 则a6=3×44.‎ 故选A ‎ ‎ ‎9.已知函数f(x)=2mx3﹣3nx2+10(m>0)有且仅有两个不同的零点,则lg2m+lg2n的最小值为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【考点】函数零点的判定定理.‎ ‎【分析】由题意可得函数的极大值或极小值等于0,求得m、n的关系,再取对数得lgn=+lgm,即可将问题转化为二次函数求最小值解得结论.‎ ‎【解答】解:f′(x)=6mx2﹣6nx=6x(mx﹣n),‎ ‎∴由f′(x)=0得x=0或x=,‎ ‎∵f(x)=2mx3﹣3nx2+10(m>0)有且仅有两个不同的零点,又f(0)=10,10443825‎ ‎∴f()=0,即2m•﹣3n•+10=0,整理得n3=10m2,‎ 两边取对数得3lgn=1+2lgm,∴lgn=+lgm,‎ ‎∴lg2m+lg2n=lg2m+(+lgm)2=(13lg2m+4lgm+1)=(lgm+)2+,‎ ‎∴当lgm=﹣时,lg2m+lg2n有最小值为.‎ 故选D.‎ ‎ ‎ ‎10.已知函数f(x)=,则方程f(x)=ax恰有两个不同实数根时,实数a的取值范围是(  )(注:e为自然对数的底数)‎ A.(0,) B.[,] C.(0,) D.[,e]‎ ‎【考点】分段函数的应用.‎ ‎【分析】由题意,方程f(x)=ax恰有两个不同实数根,等价于y=f(x)与y=ax有2个交点,又a表示直线y=ax的斜率,求出a的取值范围.‎ ‎【解答】解:∵方程f(x)=ax恰有两个不同实数根,‎ ‎∴y=f(x)与y=ax有2个交点,‎ 又∵a表示直线y=ax的斜率,‎ ‎∴y′=,‎ 设切点为(x0,y0),k=,‎ ‎∴切线方程为y﹣y0=(x﹣x0),‎ 而切线过原点,∴y0=1,x0=e,k=,‎ ‎∴直线l1的斜率为,‎ 又∵直线l2与y=x+1平行,‎ ‎∴直线l2的斜率为,‎ ‎∴实数a的取值范围是[,).‎ 故选:B.‎ ‎ ‎ ‎11.已知函数f(x)在实数集R上具有下列性质:‎ ‎①f(x+2)=﹣f(x);‎ ‎②f(x+1)是偶函数;‎ ‎③当x1≠x2∈[1,3]时,(f(x2)﹣f(x1))(x2﹣x1)<0.‎ 则f,f A.f>f>f C.f>f>f ‎【考点】奇偶性与单调性的综合.‎ ‎【分析】根据条件判断函数的周期性,对称性和单调性,将函数值进行转化,进行比较即可.‎ ‎【解答】解:由f(x+2)=﹣f(x)得f(x+4)=﹣f(x+2)=f(x);‎ 即函数f(x)是周期为4的周期函数.‎ 若f(x+1)是偶函数,则f(﹣x+1)=f(x+1),则函数f(x)关于x=1对称,‎ 当x1≠x2∈[1,3]时,(f(x2)﹣f(x1))(x2﹣x1)<0.‎ 则此时函数为减函数,‎ 则f=f(3),‎ f=f(0)=f(2),‎ f=f(1),‎ ‎∵当x∈[1,3]时,函数f(x)为减函数,‎ ‎∴f(1)>f(2)>f(3),‎ 即f>f已知函数f(x)=,若方程f(x)=a有四个不同的解x1,x2,x3,x4,且x1<x2<x3<x4,则x3(x1+x2)+的取值范围是(  )‎ A.(﹣1,+∞) B.(﹣1,1] C.(﹣∞,1) D.[﹣1,1)‎ ‎【考点】函数的零点与方程根的关系.‎ ‎【分析】作函数f(x)=的图象如下,由图象可得x1+x2=﹣2,x3x4=1;1<x4≤2;从而化简x3(x1+x2)+,利用函数的单调性求取值范围.‎ ‎【解答】解:作函数f(x)=,的图象如下,‎ 由图可知,x1+x2=﹣2,x3x4=1;1<x4≤2;‎ 故x3(x1+x2)+=﹣+x4,‎ 其在1<x4≤2上是增函数,‎ 故﹣2+1<﹣+x4≤﹣1+2;‎ 即﹣1<﹣+x4≤1;‎ 故选B.‎ ‎ ‎ 二、填空题(本题共4道小题,每小题5分,共20分)‎ ‎13.若zl=a+2i,z2=3﹣4i,且为纯虚数,则实数a的值为  .‎ ‎【考点】复数代数形式的乘除运算;复数的基本概念.‎ ‎【分析】把zl=a+2i,z2=3﹣4i代入,然后化简,复数分子、分母同乘分母的共轭复数,利用实部等于0,虚部不为0,求出a即可.‎ ‎【解答】解: =‎ 它是纯虚数,所以3a﹣8=0,且4a+6≠0,解得a=‎ 故答案为:‎ ‎ ‎ ‎14.已知α∈(0,π),cosα=,则sin(π﹣α)=  .‎ ‎【考点】运用诱导公式化简求值.‎ ‎【分析】根据同角三角函数关系式,结合角的取值范围,可求得sinα=,根据诱导公式,可以求得sin(π﹣α)=sinα=.‎ ‎【解答】解:∵α∈(0,π),cosα=,‎ ‎∴sinα==,‎ ‎∴根据诱导公式,得:sin(π﹣α)=sinα=.‎ 故答案为:.‎ ‎ ‎ ‎15.已知点A(1,2),B(0,0),C(1,0),设∠BAC的平分线AE与BC相交于E,如果=λ,那么λ等于 ﹣ .‎ ‎【考点】向量的共线定理.‎ ‎【分析】由条件利用三角形内角平分线的性质,共线向量定理,求得λ的值.‎ ‎【解答】解:由条件利用三角形内角平分线的性质可得==,如图所示:‎ 设BE=3k,则 EC=2k,BC=(3+2)k.‎ 如果=λ,则(3+2)k=﹣λ•2k,‎ 求得λ=﹣,‎ 故答案为:﹣.‎ ‎ ‎ ‎16.若数列{an}满足:存在正整数T,对于任意正整数n都有an+T=an成立,则称数列{an}为周期数列,周期为T.已知数列{an}满足an+1=a1=m(m>0),有以下结论:‎ ‎①若m=,则a3=3;‎ ‎②若a3=2,则m可以取3个不同的值;‎ ‎③若m=,则{an}是周期为3的数列;‎ ‎④存在m∈Q且m≥2,数列{an}是周期数列.‎ 其中正确结论的序号是 ②③ .‎ ‎【考点】数列的概念及简单表示法.‎ ‎【分析】对于①,直接代值,根据数列的递推公式关系即可求出,‎ 对于②,由a3=2,分类讨论即可求出m的值,‎ 对于③由②可知正确m=>1,所以数列{an}是周期为3的数列,‎ 对于④,利用反证法,假设存在m∈Q且m≥2,使得数列{an}是周期数列,得出假设不正确.‎ ‎【解答】解:对于①,当m=时,a2==,a3=a2﹣1=﹣1=,故①为不正确,‎ 对于②由a3=2,若a3=a2﹣1=2,则a2=3,若a1﹣1=3,则a1=4.‎ 若a1=3,则=.‎ 由a3=2,若a3=,则a2=,若a1﹣1=,则a1=.‎ 若=,则a1=2,不合题意.‎ 所以,a3=2时,m即a1的不同取值有3个.故②正确,‎ 对于③,m=>1,所以数列{an}是周期为3的数列,所以③正确;‎ 对于④,假设存在m∈Q且m≥2,使得数列{an}是周期数列.则当m=2时,a2=a1﹣1=1,∴a3==…=an(n≥2),此时数列{an}不是周期数列.‎ 当m>2时,当0<m﹣k≤1时,ak+1=a1﹣k=m﹣k.∴ak+2==>1.若ak+2=ai,1≤i≤k+1,则=m﹣(i﹣1),化为m2﹣m(k+i﹣1)+ki﹣k﹣1=0,则△=(k+i﹣1)2﹣4(ki﹣k﹣1)不为平方数,因此假设不正确.可知④不正确.‎ 综上可知:只有②③正确 故答案为:②③‎ ‎ ‎ 三、解答题(本题共6道小题,第10题0分,第2题12分,第3题12分,第4题12分,第5题12分,第6题12分,共70分)‎ ‎17.设集合A={x|2≤x≤4},B={x|x>3,或x<1},C={x|t+1<x<2t},t∈R.‎ ‎(Ⅰ)求A∪∁UB;‎ ‎(Ⅱ)若A∩C=C,求t的取值范围.‎ ‎【考点】交集及其运算;交、并、补集的混合运算.‎ ‎【分析】(Ⅰ)由B与全集U,求出B的补集,找出A与B补集的并集即可;‎ ‎(Ⅱ)由A与C的交集为C,得到C为A的子集,确定出t的范围即可.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)∵B={x|x>3,或x<1},‎ ‎∴∁UB={x|1≤x≤3},‎ ‎∵A={x|2≤x≤4},‎ ‎∴A∪∁UB={x|1≤x≤4};‎ ‎(Ⅱ)∵A∩C=C,∴C⊆A,‎ 当C=∅时,则有2t≤t+1,即t≤1;‎ 当C≠∅时,则,即1<t≤2,‎ 综上所述,t的范围是t≤2.‎ ‎ ‎ ‎18.已知△ABC顶点的直角坐标分别是A(3,5)、B(0,1)、C(8,﹣7).‎ ‎(1)求cosB的值;‎ ‎(2)若=(﹣2,﹣5),证明:B、C、D三点共线.‎ ‎【考点】余弦定理;直线的斜率.‎ ‎【分析】(1)(方法一)由两点间距离公式可求AB,AC,BC的值,由余弦定理即可求cosB;(方法二)求出两个向量,由向量的夹角公式即可得解.‎ ‎(2)(方法一)求出向量,,可得,从而得证.‎ ‎(方法二)先求直线BC的方程,设D(m,n),由=(﹣2,﹣5)可解得D点坐标,从而可求得B、C、D三点共线.‎ ‎【解答】解:(1)(方法一)AB==5,AC=13,…‎ ‎…(公式2分)‎ ‎(方法二),…‎ ‎…(公式2分)‎ ‎(2)(方法一),…‎ ‎∵,‎ ‎∴、共线…‎ ‎∵、有共同的始点,‎ ‎∴B、C、D三点共线…‎ ‎(方法二)经过B(0,1)、C(8,﹣7)两点的直线BC的方程为 ‎(即x+y=1)…‎ 设D(m,n),由=(﹣2,﹣5)得(x﹣3,y﹣5)…‎ 解得D(1,0)…‎ ‎∵(或1+0=1),‎ ‎∴(D在BC上)B、C、D三点共线…‎ ‎ ‎ ‎19.设数列{an}的前n项积为Tn,且Tn=2﹣2an(n∈N*).‎ ‎(Ⅰ)求证数列是等差数列;‎ ‎(Ⅱ)设bn=(1﹣an)(1﹣an+1),求数列{bn}的前n项和Sn.‎ ‎【考点】数列的求和;等差关系的确定.‎ ‎【分析】(Ⅰ)由已知,令n=1可求T1,然后利用已知变形可得: Tn•Tn﹣1=2Tn﹣1﹣2Tn(n≥2),变形即可证明 ‎(Ⅱ)由等差数列,可求,进而可求an,代入即可求解bn,结合数列的特点考虑利用裂项求和 ‎【解答】解:(Ⅰ)∵Tn=2﹣2an ‎∴T1=2﹣2T1‎ ‎∴10443825‎ ‎∴‎ 由题意可得: Tn•Tn﹣1=2Tn﹣1﹣2Tn(n≥2),‎ 所以 ‎∴数列是以为公差,以为首项的等差数列 ‎(Ⅱ)∵数列为等差数列,‎ ‎∴,‎ ‎∴,‎ ‎∴,‎ ‎∴==‎ ‎ ‎ ‎20.一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球,从中随机抽取50个作为样本,称出它们的重量(单位:克),重量分组区间为[5,15],(15,25],(25,35],(35,45],由此得到样本的重量频率分布直方图(如图),‎ ‎(1)求a的值,并根据样本数据,试估计盒子中小球重量的众数与平均值;‎ ‎(2)从盒子中随机抽取3个小球,其中重量在[5,15]内的小球个数为X,求X的分布列和数学期望.(以直方图中的频率作为概率)‎ ‎【考点】离散型随机变量及其分布列;离散型随机变量的期望与方差.‎ ‎【分析】(1)求解得a=0.03,由最高矩形中点的横坐标为20,可估计盒子中小球重量的众数约为20‎ 根据平均数值公式求解即可.‎ ‎(2)X~B(3,),根据二项分布求解P(X=0),P(X=1),P(X=2)=,P(X=3),列出分布列,求解数学期望即可.‎ ‎【解答】解:(1)由题意得,(0.02+0.032+a+0.018)×10=1‎ 解得a=0.03;‎ 又由最高矩形中点的横坐标为20,‎ 可估计盒子中小球重量的众数约为20,‎ 而50个样本小球重量的平均值为:‎ ‎=0.2×10+0.32×20+0.3×30+0.18×40=24.6(克)‎ 故估计盒子中小球重量的平均值约为24.6克.‎ ‎(2)利用样本估计总体,该盒子中小球的重量在[5,15]内的0.2;‎ 则X~B(3,),‎ X=0,1,2,3;‎ P(X=0)=×()3=;‎ P(X=1)=×()2×=;‎ P(X=2)=×()×()2=;‎ P(X=3)=×()3=,‎ ‎∴X的分布列为:‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 即E(X)=0×=.‎ ‎ ‎ ‎21.已知函数f(x)=x+alnx在x=1处的切线与直线x+2y=0垂直,函数g(x)=f(x)+x2﹣bx.‎ ‎(1)求实数a的值;‎ ‎(2)若函数g(x)存在单调递减区间,求实数b的取值范围;‎ ‎(3)设x1,x2(x1<x2)是函数g(x)的两个极值点,若b≥,求g(x1)﹣g(x2)的最小值.‎ ‎【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数研究函数的极值.‎ ‎【分析】(1)求导数,利用导数的几何意义能求出实数a的值.‎ ‎(2)由题意知g′(x)<0在(0,+∞)上有解,即x++1﹣b<0有解,由此能求出实数b的取值范围.‎ ‎(3)g(x1)﹣g(x2)=ln﹣(﹣),由此利用构造成法和导数性质能求出g(x1)﹣g(x2)的最小值.‎ ‎【解答】解:(1)∵f(x)=x+alnx,‎ ‎∴f′(x)=1+,‎ ‎∵f(x)在x=1处的切线l与直线x+2y=0垂直,‎ ‎∴k=f′(x)|x=1=1+a=2,‎ 解得a=1.‎ ‎(2)∵g(x)=lnx+﹣(b﹣1)x,‎ ‎∴g′(x)=,x>0,‎ 由题意知g′(x)<0在(0,+∞)上有解,‎ 即x++1﹣b<0有解,‎ ‎∵定义域x>0,‎ ‎∴x+≥2,‎ x+<b﹣1有解,‎ 只需要x+的最小值小于b﹣1,‎ ‎∴2<b﹣1,解得实数b的取值范围是{b|b>3}.‎ ‎(3)∵g(x)=lnx+﹣(b﹣1)x,‎ ‎∴g′(x)==0,∴x1+x2=b﹣1,x1x2=1‎ ‎∴g(x1)﹣g(x2)=ln﹣(﹣)‎ ‎∵0<x1<x2,‎ ‎∴设t=,0<t<1,‎ 令h(t)=lnt﹣(t﹣),0<t<1,‎ 则h′(t)=﹣<0,‎ ‎∴h(t)在(0,1)上单调递减,‎ 又∵b≥,∴(b﹣1)2≥,‎ ‎∵0<t<1,∴4t2﹣17t+4≥0,‎ ‎∴0<t≤,h(t)≥h()=﹣2ln2,‎ 故所求的最小值为﹣2ln2.‎ ‎ ‎ ‎22.已知函数,对任意的x∈(0,+∞),满足,‎ 其中a,b为常数.‎ ‎(1)若f(x)的图象在x=1处切线过点(0,﹣5),求a的值;‎ ‎(2)已知0<a<1,求证:;‎ ‎(3)当f(x)存在三个不同的零点时,求a的取值范围.‎ ‎【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程;函数的零点与方程根的关系;导数在最大值、最小值问题中的应用.‎ ‎【分析】(1)由求得a=b,代入原函数求得则f′(1),再求出f(1)由直线方程点斜式求得切线方程,代入(0,﹣5)求得a=﹣2;‎ ‎(2)求出=,令g(x)=(0<x<1),利用导数求得g(x)在(0,1)上为减函数,则由g(x)>g(1)>0得答案;‎ ‎(3)求出函数f(x)=lnx﹣ax+的导函数,分析可知当a≤0时,f′(x)>0,f(x)为(0,+∞)上的增函数,不符合题意;‎ 当a>0时,由△>0求得a的范围.进一步求得导函数的两个零点,分别为,则x1<1,x2>1,由f(x)在(x1,1)上递增,得f(x1)<f(1)=0,再由,可得存在,使得f(x0)=0,结合,f(1)=0,可得使f(x)存在三个不同的零点时的实数a的取值范围是(0,).‎ ‎【解答】(1)解:由,且,‎ 得,即,‎ ‎∴a=b.‎ 则f(x)=lnx﹣ax+,∴,‎ 则f′(1)=1﹣2a,‎ 又f(1)=0,‎ ‎∴f(x)的图象在x=1处的切线方程为y﹣0=(1﹣2a)(x﹣1),即y=(1﹣2a)x﹣1+2a.‎ ‎∵(0,﹣5)在切线上,∴﹣5=﹣1+2a,即a=﹣2;‎ ‎(2)证明:∵f(x)=lnx﹣ax+,‎ ‎∴=,‎ 令g(x)=(0<x<1),‎ 则=<0.‎ ‎∴g(x)在(0,1)上为减函数,‎ ‎∵x∈(0,1)时,g(x)>g(1)=2ln1﹣+2﹣ln2=.‎ ‎∴0<a<1时,;‎ ‎(3)由f(x)=lnx﹣ax+,得=.‎ 当a=0时,,f(x)为(0,+∞)上的增函数,不符合题意;‎ 当a<0时,,f(x)为(0,+∞)上的增函数,不符合题意;‎ 当a>0时,由△=1﹣4a2>0,得0.‎ 则当x∈(0,),()时,f′(x)<0;‎ 当x∈()时,f′(x)>0.‎ 设,则x1<1,x2>1,‎ ‎∵f(x)在(x1,1)上递增,∴f(x1)<f(1)=0,‎ 又,∴存在,使得f(x0)=0,‎ 又,f(1)=0,‎ ‎∴f(x)恰有三个不同的零点.‎ 综上,使f(x)存在三个不同的零点时的实数a的取值范围是(0,).‎ ‎ ‎ ‎2016年11月4日
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