2015届高考数学二轮专题训练：专题五 第1讲 空间几何体

2015届高考数学二轮专题训练：专题五 第1讲 空间几何体

第1讲　空间几何体 考情解读　1.以三视图为载体，考查空间几何体面积、体积的计算.2.考查空间几何体的侧面展开图及简单的组合体问题．‎ ‎1．四棱柱、直四棱柱、正四棱柱、正方体、平行六面体、直平行六面体、长方体之间的关系 ‎2．空间几何体的三视图 ‎(1)三视图的正(主)视图、侧(左)视图、俯视图分别是从物体的正前方、正左方、正上方看到的物体轮廓线的正投影形成的平面图形．‎ ‎(2)三视图排列规则：俯视图放在正视图的下面，长度与正视图一样；侧视图放在正视图的右面，高度和正视图一样，宽度与俯视图一样．‎ ‎(3)画三视图的基本要求：正俯一样长，俯侧一样宽，正侧一样高．看不到的线画虚线．‎ ‎3．直观图的斜二测画法 空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则：‎ ‎(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°(或135°)，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直．‎ ‎(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别平行于坐标轴．平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半．‎ ‎4．空间几何体的两组常用公式 ‎(1)柱体、锥体、台体的侧面积公式：‎ ‎①S柱侧＝ch(c为底面周长，h为高)；‎ ‎②S锥侧＝ch′(c为底面周长，h′为斜高)；‎ ‎③S台侧＝(c＋c′)h′(c′，c分别为上，下底面的周长，h′为斜高)；‎ ‎④S球表＝4πR2(R为球的半径)．‎ ‎(2)柱体、锥体和球的体积公式：‎ ‎①V柱体＝Sh(S为底面面积，h为高)；‎ ‎②V锥体＝Sh(S为底面面积，h为高)；‎ ‎③V台＝(S＋＋S′)h(不要求记忆)；‎ ‎④V球＝πR3.‎ 热点一　三视图与直观图 例1　某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(　　)‎ A. B．8‎ C. D．16‎ ‎(2)(2013·四川)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是(　　)‎ 思维启迪　(1)根据三视图确定几何体的直观图；(2)分析几何体的特征，从俯视图突破．‎ 答案　(1)B　(2)D 解析　(1)由三视图可知该几何体是底面为等腰直角三角形的直三棱柱，如图：‎ 则该几何体的体积V＝×2×2×4＝8.‎ ‎(2)由俯视图易知答案为D.‎ 思维升华　空间几何体的三视图是从空间几何体的正面、左面、上面用平行投影的方法得到的三个平面投影图，因此在分析空间几何体的三视图问题时，先根据俯视图确定几何体的底面，然后根据正视图或侧视图确定几何体的侧棱与侧面的特征，调整实线和虚线所对应的棱、面的位置，再确定几何体的形状，即可得到结果．‎ ‎　(1)(2013·课标全国Ⅱ)一个四面体的顶点在空间直角坐标系O－xyz中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到的正视图可以为(　　)‎ ‎(2)将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为(　　)‎ 答案　(1)A　(2)D 解析　(1)根据已知条件作出图形：四面体C1－A1DB，标出各个点的坐标如图(1)所示，可以看出正视图为正方形，如图(2)所示．故选A.‎ ‎(2)如图所示，点D1的投影为C1，点D的投影为C，点A的投影为B，故选D.‎ 热点二　几何体的表面积与体积 例2　(1)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(　　)‎ A.π B．2π C. D. ‎(2)如图，在棱长为6的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别在C1D1与C1B1上，且C1E＝4，C1F＝3，连接EF，FB，DE，则几何体EFC1－DBC的体积为(　　)‎ A．66 B．68‎ C．70 D．72‎ 思维启迪　(1)由三视图确定几何体形状；(2)对几何体进行分割．‎ 答案　(1)D　(2)A 解析　(1)由三视图知，原几何体是两个相同的圆锥的组合，∴V＝(×π×12)×2＝π.‎ ‎(2)如图，连接DF，DC1，那么几何体EFC1－DBC被分割成三棱锥D－EFC1及四棱锥D－CBFC1，那么几何体EFC1－DBC的体积为V＝××3×4×6＋××(3＋6)×6×6＝12＋54＝66.‎ 故所求几何体EFC1－DBC的体积为66.‎ 思维升华　(1)利用三视图求解几何体的表面积、体积，关键是确定几何体的相关数据，掌握应用三视图的“长对正、高平齐、宽相等”；(2)求不规则几何体的体积，常用“割补”的思想．‎ ‎　多面体MN－ABCD的底面ABCD为矩形，其正视图和侧视图如图，其中正视图为等腰梯形，侧视图为等腰三角形，则该多面体的体积是(　　)‎ A. B. C. D. 答案　D 解析　过M，N分别作两个垂直于底面的截面，将多面体分割成一个三棱柱和两个四棱锥，由正视图知三棱柱底面是等腰直角三角形，面积为S1＝×2×2＝2，高为2，所以体积为V1＝4，两个四棱锥为全等四棱锥，棱锥的体积为V1＝2××2×1×2＝，所以多面体的体积为V＝＋4＝，选D.‎ 热点三　多面体与球 例3　如图所示，平面四边形ABCD中，AB＝AD＝CD＝1，BD＝，BD⊥CD，将其沿对角线BD折成四面体ABCD，使平面ABD⊥平面BCD，若四面体ABCD的顶点在同一个球面上，则该球的体积为(　　)‎ A.π B．3π C.π D．2π 思维启迪　要求出球的体积就要求出球的半径，需要根据已知数据和空间位置关系确定球心的位置，由于△BCD是直角三角形，根据直角三角形的性质：斜边的中点到三角形各个顶点的距离相等，只要再证明这个点到点A的距离等于这个点到B，C，D的距离即可确定球心，进而求出球的半径，根据体积公式求解即可．‎ 答案　A 解析　如图，取BD的中点E，BC的中点O，‎ 连接AE，OD，EO，AO.‎ 由题意，知AB＝AD，所以AE⊥BD.‎ 由于平面ABD⊥平面BCD，AE⊥BD，‎ 所以AE⊥平面BCD.‎ 因为AB＝AD＝CD＝1，BD＝，‎ 所以AE＝，EO＝.‎ 所以OA＝.‎ 在Rt△BDC中，OB＝OC＝OD＝BC＝，‎ 所以四面体ABCD的外接球的球心为O，半径为.‎ 所以该球的体积V＝π()3＝π.故选A.‎ 思维升华　多面体与球接、切问题求解策略 ‎(1)涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解．‎ ‎(2)若球面上四点P，A，B，C构成的三条线段PA，PB，PC两两互相垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，则4R2＝a2＋b2＋c2求解．‎ ‎　(1)(2014·湖南)一块石材表示的几何体的三视图如图所示．将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于(　　)‎ A．1 B．2‎ C．3 D．4‎ ‎(2)一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的体积是________；若该几何体的所有顶点在同一球面上，则球的表面积是________．‎ 答案　(1)B　(2)　3π 解析　(1)由三视图可知该几何体是一个直三棱柱，如图所示．由题意知，当打磨成的球的大圆恰好与三棱柱底面直角三角形的内切圆相同时，该球的半径最大，故其半径r＝×(6＋8－10)＝2.因此选B.‎ ‎(2)由三视图可知，该几何体是四棱锥P－ABCD(如图)，其中底面ABCD是边长为1的正方形，PA⊥底面ABCD，且PA＝1，∴该四棱锥的体积为V＝×1×1×1＝.又PC为其外接球的直径，∴2R＝PC＝，则球的表面积为S＝4πR2＝3π.‎ ‎1．空间几何体的面积有侧面积和表面积之分，表面积就是全面积，是一个空间几何体中“暴露”在外的所有面的面积，在计算时要注意区分是“侧面积还是表面积”．多面体的表面积就是其所有面的面积之和，旋转体的表面积除了球之外，都是其侧面积和底面面积之和．‎ ‎2．在体积计算中都离不开空间几何体的“高”这个几何量(球除外)，因此体积计算中的关键一环就是求出这个量．在计算这个几何量时要注意多面体中的“特征图”和旋转体中的轴截面．‎ ‎3．一些不规则的几何体，求其体积多采用分割或补形的方法，从而转化为规则的几何体，而补形又分为对称补形(即某些不规则的几何体，若存在对称性，则可考虑用对称的方法进行补形)、还原补形(即还台为锥)和联系补形(某些空间几何体虽然也是规则几何体，不过几何量不易求解，可根据其所具有的特征，联系其他常见几何体，作为这个规则几何体的一部分来求解)．‎ ‎4．长方体的外接球 ‎(1)长、宽、高分别为a、b、c的长方体的体对角线长等于外接球的直径，即＝2R；‎ ‎(2)棱长为a的正方体的体对角线长等于外接球的直径，即a＝2R.‎ 真题感悟 ‎1．(2014·北京)在空间直角坐标系Oxyz中，已知A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，D(1,1，)．若S1，S2，S3分别是三棱锥D－ABC在xOy，yOz，zOx坐标平面上的正投影图形的面积，则(　　)‎ A．S1＝S2＝S3 B．S2＝S1且S2≠S3‎ C．S3＝S1且S3≠S2 D．S3＝S2且S3≠S1‎ 答案　D 解析　如图所示，△ABC为三棱锥在坐标平面xOy上的正投影，所以 S1＝×2×2＝2.‎ 三棱锥在坐标平面yOz上的正投影与△DEF(E，F分别为OA，BC的中点)全等，‎ 所以S2＝×2×＝.‎ 三棱锥在坐标平面xOz上的正投影与△DGH(G，H分别为AB，OC的中点)全等，‎ 所以S3＝×2×＝.‎ 所以S2＝S3且S1≠S3.故选D.‎ ‎2．(2014·江苏)设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1，S2，体积分别为V1，V2.若它们的侧面积相等，且＝，则的值是________．‎ 答案　 解析　设两个圆柱的底面半径和高分别为r1，r2和h1，h2，由＝，‎ 得＝，则＝.‎ 由圆柱的侧面积相等，得2πr1h1＝2πr2h2，‎ 即r1h1＝r2h2，则＝，‎ 所以＝＝.‎ 押题精练 ‎1．把边长为的正方形ABCD沿对角线BD折起，连接AC，得到三棱锥C－ABD，其正视图、俯视图均为全等的等腰直角三角形(如图所示)，则其侧视图的面积为(　　)‎ A. B. C．1 D. 答案　B 解析　在三棱锥C－ABD中，C在平面ABD上的投影为BD的中点O，∵正方形边长为，∴AO＝OC＝1，∴侧视图的面积为S△AOC＝×1×1＝ ‎.‎ ‎2．在三棱锥A－BCD中，侧棱AB，AC，AD两两垂直，△ABC，△ACD，△ABD的面积分别为，，，则三棱锥A－BCD的外接球体积为(　　)‎ A.π B．2π C．3π D．4π 答案　A 解析　如图，以AB，AC，AD为棱把该三棱锥扩充成长方体，则该长方体的外接球恰为三棱锥的外接球，‎ ‎∴三棱锥的外接球的直径是长方体的体对角线长．‎ 据题意解得 ‎∴长方体的体对角线长为＝，‎ ‎∴三棱锥外接球的半径为.‎ ‎∴三棱锥外接球的体积为V＝π·()3＝π.‎ ‎(推荐时间：50分钟)‎ 一、选择题 ‎1．已知正三棱锥V－ABC的正视图和俯视图如图所示，则该三棱锥的侧视图的面积为(　　)‎ A．2 B．4‎ C．6 D．8‎ 答案　C 解析　如图，作出正三棱锥V－ABC的直观图，取BC边的中点D，连接VD，AD，作VO⊥AD于O.‎ 结合题意，可知正视图实际上就是△VAD，于是三棱锥的棱长VA＝4，从俯视图中可以得到底面边长为2，侧视图是一个等腰三角形，此三角形的底边长为2 ‎，高为棱锥的高VO.‎ 由于VO＝ ＝2.‎ 于是侧视图的面积为×2×2＝6，故选C.‎ ‎2．右图是棱长为2的正方体的表面展开图，则多面体ABCDE的体积为(　　)‎ A．2 B. C. D. 答案　D 解析　多面体ABCDE为四棱锥，利用割补法可得其体积V＝4－＝，选D.‎ ‎3．如图，某几何体的正视图和俯视图都是矩形，侧视图是平行四边形，则该几何体的体积为(　　)‎ A．15＋3 B．9 C．30＋6 D．18 答案　B 解析　由三视图知几何体是一个底面为3的正方形，高为的斜四棱柱，所以V＝Sh＝3×3×＝9.‎ ‎4．已知正四棱锥的底面边长为2a，其侧(左)视图如图所示．当正(主)视图的面积最大时，该正四棱锥的表面积为(　　)‎ A．8 B．8＋8 C．8 D．4＋8 答案　B 解析　由题意可知该正四棱锥的直观图如图所示，其主视图与左视图相同，设棱锥的高为h，则a2＋h2＝4.故其主视图的面积为S＝·2a·h＝ah≤＝2，即当a＝h＝时，S最大，此时该正四棱锥的表面积 S表＝(2a)2＋4××2a×2‎ ‎＝8＋8，故选B.‎ ‎5．某几何体的三视图如图所示，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，侧视图是半径为1的半圆，该几何体的体积为(　　)‎ A.π B.π C.π D.π 答案　A 解析　三视图复原的几何体是圆锥沿轴截面截成两部分，然后把截面放在平面上，底面相对接的图形，圆锥的底面半径为1，母线长为2，故圆锥的高为h＝＝.易知该几何体的体积就是整个圆锥的体积，即V圆锥＝πr2h＝π×12×＝π.故选A.‎ ‎6．(2014·大纲全国)正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为(　　)‎ A. B．16π C．9π D. 答案　A 解析　如图，设球心为O，半径为r，‎ 则Rt△AOF中，(4－r)2＋()2＝r2，‎ 解得r＝，‎ ‎∴该球的表面积为4πr2＝4π×()2＝π.‎ 二、填空题 ‎7．有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形(如图所示)，∠ABC＝45°，AB＝AD＝1，DC⊥BC，则这块菜地的面积为________．‎ 答案　2＋ 解析　如图，在直观图中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，‎ 则在Rt△ABE中，AB＝1，∠ABE＝45°，∴BE＝.‎ 而四边形AECD为矩形，AD＝1，‎ ‎∴EC＝AD＝1，∴BC＝BE＋EC＝＋1.‎ 由此可还原原图形如图．‎ 在原图形中，A′D′＝1，A′B′＝2，B′C′＝＋1，且A′D′∥B′C′，A′B′⊥B′C′，‎ ‎∴这块菜地的面积为S＝(A′D′＋B′C′)·A′B′‎ ‎＝×(1＋1＋)×2＝2＋.‎ ‎8．如图，侧棱长为2的正三棱锥V－ABC中，∠AVB＝∠BVC＝∠CVA＝40°，过A作截面△AEF，则截面△AEF的周长的最小值为____________．‎ 答案　6‎ 解析　沿着侧棱VA把正三棱锥V－ABC展开在一个平面内，如图．‎ 则AA′即为截面△AEF周长的最小值，且∠AVA′＝3×40°＝120°.‎ 在△VAA′中，由余弦定理可得AA′＝6，故答案为6.‎ ‎9．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为线段AA1，B1C上的点，则三棱锥D1－EDF的体积为______．‎ 答案　 解析　‎ ‎＝××1×1×1＝.‎ ‎10．已知矩形ABCD的面积为8，当矩形周长最小时，沿对角线AC把△ACD折起，则三棱锥D－ABC的外接球的表面积等于________．‎ 答案　16π 解析　设矩形的两邻边长度分别为a，b，则ab＝8，此时2a＋2b≥4＝8，当且仅当a＝b＝2时等号成立，此时四边形ABCD为正方形，其中心到四个顶点的距离相等，均为2，无论怎样折叠，其四个顶点都在一个半径为2的球面上，这个球的表面积是4π×22＝16π.‎ 三、解答题 ‎11．已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图是一个底边长为6、高为4的等腰三角形．‎ ‎(1)求该几何体的体积V；‎ ‎(2)求该几何体的侧面积S.‎ 解　由已知可得，该几何体是一个底面为矩形，高为4，顶点在底面的投影是矩形中心的四棱锥E－ABCD.‎ ‎(1)V＝×(8×6)×4＝64.‎ ‎(2)四棱锥E－ABCD的两个侧面EAD，EBC是全等的等腰三角形，且BC边上的高h1＝ ＝4；‎ 另两个侧面EAB，ECD也是全等的等腰三角形，AB边上的高h2＝ ＝5.‎ 因此S＝2×(×6×4＋×8×5)＝40＋24.‎ ‎12．如图，在Rt△ABC中，AB＝BC＝4，点E在线段AB上．过点E作EF∥BC交AC于点F，将△AEF沿EF折起到△PEF的位置(点A与P重合)，使得∠PEB＝30°.‎ ‎(1)求证：EF⊥PB；‎ ‎(2)试问：当点E在何处时，四棱锥P—EFCB的侧面PEB的面积最大？并求此时四棱锥P—EFCB的体积．‎ ‎(1)证明　∵EF∥BC且BC⊥AB，‎ ‎∴EF⊥AB，即EF⊥BE，EF⊥PE.又BE∩PE＝E，‎ ‎∴EF⊥平面PBE，又PB⊂平面PBE，‎ ‎∴EF⊥PB.‎ ‎(2)解　设BE＝x，PE＝y，则x＋y＝4.‎ ‎∴S△PEB＝BE·PE·sin∠PEB ‎＝xy≤2＝1.‎ 当且仅当x＝y＝2时，S△PEB的面积最大．‎ 此时，BE＝PE＝2.‎ 由(1)知EF⊥平面PBE，‎ ‎∴平面PBE⊥平面EFCB，‎ 在平面PBE中，作PO⊥BE于O，则PO⊥平面EFCB.‎ 即PO为四棱锥P—EFCB的高．‎ 又PO＝PE·sin 30°＝2×＝1.‎ SEFCB＝×(2＋4)×2＝6.‎ ‎∴VP—BCFE＝×6×1＝2.‎ ‎ ‎