2019-2020学年四川省成都市高二上学期期末数学（理）试题（解析版）

2019-2020学年四川省成都市高二上学期期末数学（理）试题（解析版）

‎2019-2020学年四川省成都市高二上学期期末数学（理）试题 一、单选题 ‎1．某同学在7天内每天阅读课外书籍的时间（单位：分钟）用茎叶图表示如图所示，图中左列表示时间的十位数，右列表示时间的个位数。则该同学这7天每天阅读课外书籍的时间（单位：分钟）的中位数为（ ）‎ A．72 B．74 C．75 D．76‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据茎叶图中的数据，按照从小到大的顺序一一列举出来，即可得解．‎ ‎【详解】‎ 解：根据茎叶图可知，阅读课外书籍的时间分别为：、、、、、、‎ 其中中位数为：‎ 故选：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查茎叶图的应用，属于基础题.‎ ‎2．命题“，”的否定是（ ）‎ A．， B．，‎ C．， D．，‎ ‎【答案】A ‎【解析】利用全称命题的否定是特称命题写出结果判断即可．‎ ‎【详解】‎ 解：命题“，”为全称命题，故其否定为：，.‎ 故选：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查命题的否定，全称命题和特称命题，属于基础题．‎ ‎3．双曲线的渐近线方程为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】令双曲线方程的右边为0，两侧开方，整理后就得到双曲线的渐近线方程．‎ ‎【详解】‎ 解：双曲线标准方程为，‎ 其渐近线方程是，‎ 整理得．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查双曲线的简单性质的应用，令标准方程中的“1”为“0”即可求出渐近线方程．属于基础题．‎ ‎4．在空间直角坐标系Oxyz中，y轴上一点M到点P（1，0，2）和点Q（1，-3，1）的距离相等，则点M的坐标为(‎ A．（0，-2，0） B．（0，-1，0） C．（0，1，0） D．（0，2，0）‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据题意，设出点的坐标，利用，求出的坐标．‎ ‎【详解】‎ 解：根据题意，设点，，，‎ ‎，‎ ‎，‎ 即，‎ ‎，‎ 点．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了空间直角坐标系中两点间的距离公式的应用问题，属于基础题．‎ ‎5．圆与圆的位置关系为（ ）‎ A．相离 B．内切 C．外切 D．相交 ‎【答案】D ‎【解析】由两圆的方程可得圆心坐标及其半径，判断圆心距与两圆的半径和差的关系即可得出．‎ ‎【详解】‎ 解：圆的圆心，半径；‎ 圆的圆心，半径．‎ ‎，．‎ 两圆相交．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了判断两圆的位置关系的方法，属于基础题．‎ ‎6．如图是统计某样本数据得到的频率分布直方图.已知该样本容量为300，根据此样本的频率分布直方图，估计样本数据落在[10，18）内的频数为（ ）‎ A．36 B．48 C．120 D．144‎ ‎【答案】D ‎【解析】首先计算出频率，再由样本容量为300，即可求出频数.‎ ‎【详解】‎ 解：样本数据落在包括两段和 其频率为 又样本容量为 故频数为 故选：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查频率直方图的应用，属于基础题.‎ ‎7．若m为实数，则“”是“曲线C：表示双曲线”的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】根据方程表示双曲线求出的范围，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．‎ ‎【详解】‎ 解：若方程表示双曲线，‎ 则，得，‎ 由可以得到，故充分性成立；‎ 由推不出，故必要性不成立；‎ 则“”是“方程表示双曲线”的充分不必要条件，‎ 故选：．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合双曲线方程的特点求出的取值范围 是解决本题的关键．‎ ‎8．某人午睡醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台整点报时，他等待的时间不多于15分钟的概率是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】【详解】‎ 想听电台整点报时，时间不多于15分钟的概率可理解为:‎ 一条线段长为60，其中听到整点报时的时间不多于15分钟为线段长为15．‎ 则由几何概型，化为线段比得：,故选C.‎ ‎9．某校学生会为了解高二年级600名学生课余时间参加中华传统文化活动的情况（每名学生最多参加7场）.随机抽取50名学生进行调查，将数据分组整理后，列表如下：‎ 参加场数 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8%‎ ‎10%‎ ‎20%‎ ‎26%‎ ‎18%‎ m%‎ ‎4%‎ ‎2%‎ 占调查人数的百分比 则以下四个结论中正确的是（ ）‎ A．表中m的数值为10‎ B．估计该年级参加中华传统文化活动场数不高于2场的学生约为108人 C．估计该年级参加中华传统文化活动场数不低于4场的学生约为216人 D．若采用系统抽样方法进行调查，从该校高二600名学生中抽取容量为30的样本，则分段间隔为15‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据系统抽样的定义分别进行判断即可．‎ ‎【详解】‎ 解：，得，故错误，‎ ‎ 活动次数不高于2场的学生约，即约为168人，故错误，‎ ‎ 参加传统文化活动次数不低于4场的学生为人，故是正确的；‎ ‎ 中的分段间隔应为，故错误，‎ 故选：．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查命题的真假判断，结合系统抽样的定义进行判断是解决本题的关键．‎ ‎10．设点A（4，5），抛物线的焦点为F，P为抛物线上与直线AF不共线的一点，则△PAF周长的最小值为（ ）‎ A．18 B．13 C．12 D．7‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据抛物线的定义可知，则即可得解.‎ ‎【详解】‎ 解：因为抛物线，故焦点准线方程为：，过作垂直与准线交准线于，过作垂直与准线交准线于 根据抛物线的定义可知 故选：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查抛物线的定义的应用，属于基础题.‎ ‎11．某中学在每年的春节后都会组织高一学生参加植树活动.为保证树苗的质量，在植树前都会对树苗进行检测.现从某种树苗中随机抽测了10株树苗，测量出的高度（i=1，2，3，…，10）（单位：厘米）分别为37，21，31，20，29，19，32，23，25，33.计算出抽测的这10株树苗高度的平均值，将这10株树苗的高度依次输入程序框图进行运算，则输出的S的值为（ ）‎ A．25 B．27 C．35 D．37‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据流程图的含义可知表示10株树苗高度的方差，是描述树苗高度离散程度的量，根据方差公式解之可得．‎ ‎【详解】‎ 解：由，‎ 由程序框图看出，程序所执行的是求这组数据的方差，‎ 所以，这组数据的方差为：‎ ‎．‎ 故选：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查程序流程图的理解，方差的计算，属于基础题.‎ ‎12．设椭圆C：（00，b>0）的左，右焦点分别为，，点P在双曲线C的右支上，且，点Q是内一点，且满足，（S表示三角形的面积），的角平分线与直线x=a相交于点M，且（），则双曲线C的离心率为______.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】设双曲线的右顶点为，的内切圆与，，相切的切点分别为、、，根据切线长定理可得 ‎，又，所以与重合，从而的内切圆的圆心在直线上，‎ 从而根据，，求得、的关系，即可得到离心率.‎ ‎【详解】‎ 解：设双曲线的右顶点为，由双曲线的定义知，在双曲线右支上 设的内切圆与，，相切的切点分别为、、‎ 又，所以与重合，从而的内切圆的圆心在直线上，‎ 所以是的内心，设的内切圆的半径为 所以 又 即 则 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查双曲线的定义，双曲线的简单几何性质，属于难题.‎ 三、解答题 ‎17．一个不透明的箱子中装有大小形状相同的5个小球，其中2个白球标号分别为，，3个红球标号分别为，，，现从箱子中随机地一次取出两个球.‎ ‎（1）求取出的两个球都是白球的概率；‎ ‎（2）求取出的两个球至少有一个是白球的概率.‎ ‎【答案】（1）‎ ‎（2）‎ ‎【解析】（1）用列举法能求出从中摸两个球，即可求出取出的两个球都是白球的概率．‎ ‎（2）由（1）列出至少有一个是白球的基本事件数，再根据古典概型的概率公式计算可得.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）从装有5个球的箱子中任意取出两个小球包含的基本事件有 ‎，，，，，，，，，，共10种情况. ‎ 记“取出的两个球都是白球”为事件D.‎ 易知事件D包含的基本事件有，共1种情况. ‎ ‎∴. ‎ ‎（2）记“取出的两个球至少有一个是白球”为事件E.易知事件E包含的基本事件有 ‎，，，，，，，共7种情况. ‎ ‎∴.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查古典概型的概率计算问题，属于基础题.‎ ‎18．已知动点P到点M（-3，0）的距离是点P到坐标原点O的距离的2倍，记动点P的轨迹为曲线C.‎ ‎（1）求曲线C的方程；‎ ‎（2）若直线与曲线C相交于A，B两点，求的值.‎ ‎【答案】（1）‎ ‎（2）‎ ‎【解析】（1）设动点坐标，由几何条件转化为代数方程即可；‎ ‎（2）求出圆心到直线的距离，再由勾股定理即可求出弦长.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）设.由题，知 ‎ ‎∴. ‎ ‎∴.‎ ‎∴曲线C的方程为. ‎ ‎（2）由题，曲线C的圆心到直线的距离为 ‎. ‎ ‎∴.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查求动点的轨迹方程，直线与圆相交弦长的计算，属于基础题.‎ ‎19．已知椭圆C：（a>b>0）的左，右焦点分别为，，‎ ‎，经过点的直线（不与x轴重合）与椭圆C相交于A，B两点，的周长为8.‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）经过椭圆C上的一点Q作斜率为，（，）的两条直线分别与椭圆C相交于异于Q点的M，N两点。若M，N关于坐标原点对称，求的值.‎ ‎【答案】（1）‎ ‎（2）‎ ‎【解析】（1）依题意可得，，即可求出、的值，即可得出椭圆方程.‎ ‎（2）利用点差法，设，，则代入椭圆方程，两式作差变形即可.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）∵，‎ ‎∴. ‎ ‎∵的周长为8，‎ ‎∴，. ‎ ‎∵，∴. ‎ ‎∴椭圆C的方程为. ‎ ‎（2）设，，∴，，. ‎ ‎∴，.‎ 两式相减，得. ‎ ‎∵，，∴. ‎ ‎∴.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查求椭圆的标准方程，以及点差法的应用，属于基础题.‎ ‎20．‎ 某学校高一数学兴趣小组对学生每周平均体育锻炼小时数与体育成绩优秀（体育成绩满分100分，不低于85分称优秀）人数之间的关系进行分析研究，他们从本校初二，初三，高一，高二，高三年级各随机抽取了40名学生，记录并整理了这些学生周平均体育锻炼小时数与体育成绩优秀人数，得到如下数据表：‎ 初二 初三 高一 高二 高三 周平均体育锻炼小时数工（单位：小时）‎ ‎14‎ ‎11‎ ‎13‎ ‎12‎ ‎9‎ 体育成绩优秀人数y（单位：人）‎ ‎35‎ ‎26‎ ‎32‎ ‎26‎ ‎19‎ 该兴趣小组确定的研究方案是：先从这5组数据中选取3组数据求线性回归方程，再用剩下的2组数据进行检验.‎ ‎（1）若选取的是初三，高一，高二的3组数据，请根据这3组数据，求出y关于x的线性回归方程；‎ ‎（2）若由线性回归方程得到的估计数据与所选取的检验数据的误差均不超过1，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（1）中所得到的线性回归方程是否可靠？‎ 参考数据：，.‎ 参考公式：，.‎ ‎【答案】（1）‎ ‎（2）可靠 ‎【解析】（1）根据条件计算出、，从而求出，，即可求出回归方程.‎ ‎（2）代入回归方程计算可得.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）∵， ‎ ‎. ‎ ‎. ‎ ‎. ‎ ‎∴y关于x的线性回归方程为. ‎ ‎（2）当时，，. ‎ 当时，，. ‎ 由此分析，（1）中得到的线性回归方程是可靠的.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查回归方程的计算以及其应用，属于基础题.‎ ‎21．已知动圆M与直线相切，且与圆外切，记动圆M的圆心轨迹为曲线C.‎ ‎（1）求曲线C的方程；‎ ‎（2）若直线l与曲线C相交于A，B两点，且（O为坐标原点），证明直线l经过定点H，并求出H点的坐标.‎ ‎【答案】（1）‎ ‎（2）H（6,0），证明见解析 ‎【解析】（1）根据抛物线的定义即可求解；‎ ‎（2）设，，直线l的方程为，联立方程，消去，列出韦达定理，根据即可得到方程，解得.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）因为已知动圆与直线相切，且与圆外切，‎ 所以动圆的圆心到点的距离与动圆的圆心到直线的距离相等. ‎ ‎∴动圆的圆心的轨迹是以为焦点的抛物线. ‎ ‎∴曲线的方程. ‎ ‎（2）∵直线l与曲线相交于A，B两点，∴直线l的斜率不为0.‎ 设，，直线l的方程为.‎ 由，消去，得. ‎ ‎∴，即. ‎ ‎∴，.‎ ‎∵，∴.‎ ‎∴. ‎ ‎∴，满足. ‎ ‎∴直线l的方程为.‎ ‎∴直线l过定点H（6,0）.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查抛物线的定义，直线与抛物线的应用，属于基础题.‎ ‎22．在平面直角坐标系中，以坐标原点为中心，以坐标轴为对称轴的帮圆C经过点M（2，1），N.‎ ‎（1）求椭圆C的标准方程；‎ ‎（2）经过点M作倾斜角互补的两条直线，分别与椭圆C相交于异于M点的A，B两点，当△AMB面积取得最大值时，求直线AB的方程.‎ ‎【答案】（1）‎ ‎（2）或 ‎【解析】（1）设椭圆C的方程为（，，）.‎ 根据椭圆过两点，代入得到方程组，解得.‎ ‎（2）由直线AM，BM，AB的斜率存在，故.设它们的斜率分别为，，k.‎ 设，，直线AB的方程为 ‎.联立直线与椭圆方程，消元列出韦达定理，由.即. 即可解得，或.分别代入检验，再用弦长公式及点到直线的距离公式，表示出三角形的面积，利用基本不等式求最值.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）设椭圆C的方程为（，，）. ‎ ‎∵点和N在椭圆C上，‎ ‎∴.解得. ‎ ‎∴椭圆C的标准方程为. ‎ ‎（2）∵点A，B为椭圆上异于M的两点，且直线AM，BM的倾斜角互补，‎ ‎∴直线AM，BM，AB的斜率存在.设它们的斜率分别为，，k.‎ 设，，直线AB的方程为.‎ ‎∴.‎ ‎∴. ‎ 由，消去y，得.‎ 由，得.‎ ‎∴，. ‎ ‎∴.‎ ‎∴. ‎ ‎∴.‎ ‎∴，或. ‎ ‎∵点A，B为椭圆上异于M的两点，‎ ‎∴当时，直线AB的方程为，不合题意，舍去.‎ ‎∴直线AB的斜率为. ‎ ‎∵，点M到直线AB的距离为， ‎ ‎∴的面积为. ‎ 当且仅当时，的面积取得最大值，此时. ‎ ‎∵，满足.‎ ‎∴直线AB的方程为或.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查椭圆的标准方程的计算，直线与椭圆的综合应用，属于中档题.‎