数学理卷·2018届宁夏石嘴山市第三中学高三上学期12月月考试题（解析版）

数学理卷·2018届宁夏石嘴山市第三中学高三上学期12月月考试题（解析版）

‎2017-2018学年度石嘴山三中12月月考数学理科试卷 考试时间：120分钟；命题人： 2017-12-11‎ 第I卷（选择题）‎ 一、选择题（每小题5分）‎ ‎1. 设， ， ，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由，得，则 ，故选C.‎ ‎2. 复数的共轭复数是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】，故选A.‎ ‎3. 命题“”是命题“直线与直线平行”的（ ）‎ A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 即不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】直线与直线平行，根据直线平行的充要条件得到： 最终得到故是充要条件。‎ 故答案选A。‎ ‎4. 《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今共织九十尺，问织几日？”，已知“日减功迟”的具体含义是每天比前一天少织同样多的布，则此问题的答案是（）‎ A. 10日 B. 20日 C. 30日 D. 40日 ‎【答案】B ‎【解析】由题意知，每天织布的数量组成等差数列，，，，设其公差为，则，故选C.‎ ‎5. 已知向量a与b的夹角是，且|a|＝1，|b|＝4，若(3a＋λb)⊥a，则实数λ＝（）‎ A. B. C. －2 D. 2‎ ‎【答案】A ‎【解析】由已知条件得向量垂直的点积运算为：‎ ‎∴．故答案为：．‎ 故选A。‎ ‎6. 已知，给出下列四个命题：（ ）‎ ‎ ‎ ‎ ‎ A. ， B. ， C. ， D. ， ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 不等式组的可行域如图，点，，故，为假命题； 点，， 故为假命题，为真命题；点，，故为真命题，可得选项正确，综上，正确的命题是，，故选D. ‎ ‎7. 已知定义在上的函数的周期为，当时， ，‎ 则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】∵定义在R上的函数f（x）的周期为6，‎ 当x∈[﹣3，3）时，﹣x+1，‎ f（﹣log23）+f（log212）= ‎ 因为 ‎ 故 ，两部分加到一起得到。‎ 故结果为C。‎ 点睛 ‎：本题考查了函数的周期性，指对函数的运算规律；根据函数表达式求值，一般是所代的值要在定义域内，不在定义域内的话要通过周期或者对称性转化到定义域上；再就是指对运算一般要化为同底之后再进行运算。‎ ‎8. 若某多面体的三视图(单位：cm)如图所示，则此多面体的体积是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由三视图可知该几何体为上部是一平放的直五棱柱，柱体高h=1．侧视图为其底面．‎ 底面多边形可看作边长为1的正方形截去直角边为的等腰直角三角形而得到，其面积S=1×1﹣**= 。‎ 所以几何体体积V=Sh=1×= 。‎ 故答案为：D。 ‎ ‎9. 把函数的图像向左平移个单位就得到了一个奇函数的图象，则的最小值是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】函数 ，向左平移后得到 是奇函数，则当x=0时，y=0,代入得到 ‎，则 此时的最小值是。‎ 故答案选C。‎ ‎10. 已知函数，则函数的大致图象为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题干条件可以发现函数的特征：函数y=f（x）是一个非奇非偶函数，图象不关于原点对称，故排除选项A、C，又当x=﹣1时，函数值等于0，故排除D，‎ 故选 B．‎ ‎11. 椭圆的左焦点为，直线与椭圆相交于点，当的周长最大时， 的面积是（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】设右焦点为，连接当直线过右焦点时，的周长最大，由椭圆的定义可得：的周长的最大值，，把代入椭圆标准方程得：，解得此时的面积 ‎，故选B.‎ ‎【方法点晴】本题主要考查椭圆的定义、椭圆的几何性质、三角形面积公式及圆锥曲线求最值，属于难题.解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法，本题就是利用椭圆的几何性质得到当直线过右焦点时，的周长最大，进而求解的.‎ ‎12. 给定方程：，给出下列4个结论：‎ ‎①该方程没有小于0的实数解；‎ ‎②该方程有无数个实数解；‎ ‎③该方程在内有且只有一个实数根；‎ ‎④若是方程的实数根，则. 其中正确结论的个数是（ ）‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：作函数和的图象，显然是增函数，且当时，，而是周期函数，且，，因此与的图象有无数个交点，即方程有无数个实数解，②正确；当时，，方程无解，也不是方程的解，④正确；从图象上看，时，两图象有一个交点，即方程有一解，因此①错，③正确．故选C．‎ 考点：函数的的零点，方程的解．‎ ‎【名师点睛】本题考查函数图象的综合应用，考查数形结合思想．在解决方程的根的个数问题时，通常把方程根的个数与函数图象交点个数问题进行转化，转化时要注意简单化原则，本题直接作函数图象几乎不可能，可把方程的解转化为函数和的图象的交点问题，通过作出函数图象，观察结论，得出图象交点变化规律．‎ 二、填空题（每小题5分）‎ ‎13. 若等比数列的前5项的乘积为1， ，则数列的公比为________ .‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】由等比数列的性质可得：，‎ 结合：有：.‎ 即数列的公比为2.‎ 点睛：熟练掌握等比数列的一些性质可提高解题速度，历年高考对等比数列的性质考查较多，主要是考查“等积性”，题目“小而巧”且背景不断更新．解题时要善于类比并且要能正确区分等差、等比数列的性质，不要把两者的性质搞混．‎ ‎14. 已知抛物线上横坐标为 3 的点到其焦点的距离为 4，则_____.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】抛物线y2=2px（p＞0）的准线方程为： ，‎ ‎∵抛物线y2=2px（p＞0）上横坐标为3的点到焦点的距离等于4，‎ ‎∴根据抛物线的定义可知， ‎ ‎∴p=2.‎ 故答案为2.‎ ‎15. 已知平面向量与是共线向量且，则_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意可得向量反向，故：m（2m+1）﹣3×2=0，‎ 解得，或m=；‎ 当m=时，，不满足题意，‎ 当时，，满足题意，‎ ‎∴||=2 ．‎ 即 .‎ ‎16. 刘徽（约公元 225 年—295 年）是魏晋时期伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基人之一，他的杰作《九章算术注》和《海岛算经》是中国宝贵的古代数学遗产. 《九章算术·商功》中有这样一段话：“斜解立方，得两壍堵. 斜解壍堵，其一为阳马，一为鳖臑.” 刘徽注：“此术臑者，背节也，或曰半阳马，其形有似鳖肘，故以名云.” 其实这里所谓的“鳖臑（biē nào）”，就是在对长方体进行分割时所产生的四个面都为直角三角形的三棱锥. 如图，在三棱锥中， 垂直于平面，垂直于，且 ，则三棱锥的外接球的球面面积为__________.‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】由条件知道垂直于平面，垂直于，故AB垂直于，从而得到垂直于面ABC，故三角形ABD和三角形ACD都是直角三角形，则外接球球心在AD的中点上，记作O点，‎ ‎ 表面积是 ‎ 故结果为： ‎ 三、解答题 ‎17. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a－c＝b，‎ sinB＝sinC.‎ ‎(1)求cosA的值；‎ ‎(2)求cos 的值．‎ ‎【答案】(1) (2) .‎ ‎【解析】试题分析：（1）先根据正弦定理得b＝ c.再利用余弦定理求cosA的值；（2）根据同角三角函数关系得sinA，根据二倍角公式得cos2A，sin2A，最后根据两角差余弦公式求结果 试题解析：(1)在△ABC中，由sinB＝sinC.可得b＝ c. ‎ 又由a－c＝b，有a＝2c. ‎ 所以cosA＝ ‎ ‎(2)在△ABC中，由cosA＝，可得sinA＝. ‎ 于是，cos2A＝2cos2A－1＝－，sin2A＝2sinA·cosA＝.‎ 所以cos.‎ ‎18. 某花店每天以每枝元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝元的价格出售.如果当天卖不完，剩下的玫瑰花做垃圾处理.‎ ‎（1）若花店一天购进枝玫瑰花，求当天的利润（单位：元）关于当天需求量（单位：枝， ）的函数解析式.‎ ‎（2）花店记录了天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：‎ 日需求量 频数 假设花店在这天内每天购进枝玫瑰花，求这天的日利润（单位：元）的平均数.‎ ‎【答案】(1) ;(2)157.1元.‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据卖出一枝可得利润元,卖不出一枝可得赔本元，以花店一天购进枝玫瑰花为分点即可建立分段函数；（2）根据表格中的数据，讨论需求量得到这天的日利润的平均数，利用天的销售量除以即可得到结论. 全品教学网...全品教学网...全品教学网...全品教学网...全品教学网...全品教学网...全品教学网...‎ 试题解析：（1）当日需求量时，利润，‎ 当日需求量时，利润，‎ 所以.‎ ‎（2）当时，利润；当时，利润；‎ 当时，利润；当时，利润；‎ 当时，利润；当时，利润；‎ 当时，利润；‎ 所以日利润的平均数（元）.‎ ‎19. 如图，在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形， ，侧棱，点分别为棱的中点， 的重心为，直线垂直于平面.‎ ‎（1）求证：直线平面；‎ ‎（2）求二面角的余弦.‎ ‎【答案】(1)见解析；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）证线面平行，直接找线线平行即可，构造平行四边形，证明平行于DE，即可得到线线平行，进而得到线面平行。（2）建系，分别求出两个半平面的法向量，根据公式得到法向量的夹角，从而得到二面角的大小。‎ ‎(1) 连结 ，则在三角形中为中位线，于是，‎ 因为为中点，所以平行且等于. 所以在平行四边形中，平行于 因为在平面 上，所以平行于平面 ‎（2）分别以为轴建立空间直角坐标系 设，则 因为垂直于平面，所以有，‎ 解得，所以 面的法向量，面的法向量为 所以 结合图形知，二面角的预先为.‎ ‎20. 已知椭圆： 的左、右焦点分别为 且离心率为， 为椭圆上三个点， 的周长为，线段的垂直平分线经过点.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）求线段长度的最大值.‎ ‎【答案】（1）；（2）最大值为4.‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据焦三角形的的特点得到周长是，，最终解出方程组得到方程；（2）线段的垂直平分线经过点，可得到，最终得到，再由弦长公式得到，二元化一元，得到式子的范围即可。‎ ‎（1），‎ ‎,‎ 所以椭圆的方程为.‎ ‎（2）当斜率不存在时，最大值为 当斜率存在时，设：‎ 联立与得：，‎ 中点坐标为 因为的垂直平分线经过点，所以（若为0，则中垂线为轴，这与题意不符）‎ 化简得：‎ 所以 所以最大值为4.‎ 点睛：圆锥曲线的大题一般第一问都是求曲线方程，第二问求一些最值范围问题；或者证明定值定点问题；求参数范围问题；做这些题目时要注意，一是转化题目中的条件，比如：垂直平分，实质就是斜率的关系；二是注意计算中能否因式分解，提公因式等技巧。‎ ‎21. 已知函数.‎ ‎（1）若，求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（2）若曲线与直线只有一个交点，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1) 切线方程为;(2) 实数的取值范围为.‎ ‎【解析】试题分析：（1）求点处的切线方程，只要求出导数，则有切线方程为；（2）曲线与直线只有一个交点，说明关于的方程只有一个实根，不可能是根，因此方程可转化为方程只有一个实根，这样问题又转化为函数的图象与直线只有一个交点，因此只要研究函数的单调性，极值，函数值变化情况，作出简图就可得出结论．‎ 试题解析：（1），，，所以切线方程为.‎ ‎（2）曲线与直线只有一个交点，等价于关于的方程只有一个实根.‎ 显然，所以方程只有一个实根.‎ 设函数，则.‎ 设，，为增函数，又.‎ 所以当时，，为增函数；‎ 当时，，为减函数；‎ 当时，，为增函数；‎ 所以在时取极小值.‎ 又当趋向于时，趋向于正无穷；‎ 又当趋向于负无穷时，趋向于负无穷；‎ 又当趋向于正无穷时，趋向于正无穷.所以图象大致如图所示：‎ 所以方程只有一个实根时，实数的取值范围为.‎ 考点：导数的几何意义，方程的解与函数图象交点问题的相互转化，导数的综合应用．‎ ‎【名师点睛】本题考查导数的综合应用，考查学生的等价转化思想，在解决函数方程的根的个数问题时，通常把方程根的个数与函数图象交点个数问题进行转化，通过作出函数图象，指导我们写出解题过程，得出结论，只是在转化时要注意从简原则，一般情况下有参数变化的应该是直线，而函数是固定不变，这样便于研究参数变量时，图象交点个数的变化规律．‎ ‎22. 已知函数，且的解集为.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若为正数，且，求证.‎ ‎【答案】(1) (2)见解析.‎ ‎【解析】试题分析：（1）含有绝对值得含参不等式，零点分区间去掉绝对值，分情况求出解析式，根据图像就能解决了；（2）已知第一问中求出m是定值，根据均值不等式，用三次，保证每一次等号都能同时成立即可。‎ ‎（1），‎ 设，则当时，；‎ 当时，；‎ 当时，‎ 所以.‎ ‎（2）‎ 由柯西不等式，‎ 所以.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎