2021届新高考版高考数学一轮复习精练:§7-2 平面向量的数量积及向量的综合应用(试题部分)
§7.2 平面向量的数量积及向量的综合应用
基础篇固本夯基
【基础集训】
考点一 平面向量的数量积
1.已知向量AB=(1,2),AC=(-3,1),则AB·BC=( )
A.6 B.-6 C.-1 D.1
答案 B
2.已知向量m=(1,2),n=(2,3),则m在n方向上的投影为( )
A.13 B.8 C.855 D.81313
答案 D
考点二 平面向量数量积的应用
3.已知单位向量e1,e2的夹角为θ,且tan θ=22,若向量m=2e1-3e2,则|m|=( )
A.9 B.10 C.3 D.10
答案 C
4.△ABC是边长为2的等边三角形,向量a,b满足AB=2a,AC=2a+b,则向量a,b的夹角为( )
A.30° B.60° C.120° D.150°
答案 C
5.已知|a|=10,a·b=-5302,且(a-b)·(a+b)=-15,则向量a与b的夹角θ为( )
A.2π3 B.3π4 C.5π6 D.π3
答案 C
6.已知向量a=(m,2),b=(2,-1),且a⊥b,则|2a-b|a·(a+b)等于( )
A.-53 B.1 C.2 D.54
答案 B
7.已知点P(-1,3),O为坐标原点,点Q是圆O:x2+y2=1上一点,且OQ·PQ=0,则|OP+OQ|=( )
A.3 B.5 C.7 D.7
答案 C
8.已知平面向量a,b,c满足|a|=|b|=1,a⊥(a-2b),(c-2a)·(c-b)=0,则|c|的最大值与最小值的和为( )
A.0 B.3 C.2 D.7
答案 D
综合篇知能转换
【综合集训】
考法一 求向量模的方法
1.(2019甘肃静宁一中第三次模拟)已知向量a=(2,1),a·b=10,|a+b|=52,则|b|=( )
A.2 B.5 C.2 D.5
答案 D
2.(2018重庆4月调研测试(二诊))已知向量a,b满足|a-b|=3且b=(0,-1),若向量a在向量b方向上的投影为-2,则|a|=( )
A.2 B.23 C.4 D.12
答案 A
3.(2019豫北名校期末联考,7)已知向量a=(-1,2),b=(3,-6),若向量c满足c与b的夹角为120°,c·(4a+b)=5,则|c|=( )
A.25 B.5 C.2 D.1
答案 A
考法二 求平面向量夹角的方法
4.(2018云南玉溪模拟,4)已知向量a=(1,1),2a+b=(4,2),则向量a,b夹角的余弦值为( )
A.31010 B.-31010 C.22 D.-22
答案 C
5.(2019吉林长春质量监测(一),6)已知平面向量a、b满足|a|=|b|=1,若(2a-b)·b=0,则向量a、b的夹角为( )
A.30° B.45° C.60° D.120°
答案 C
6.(2017山东,12,5分)已知e1,e2是互相垂直的单位向量.若3e1-e2与e1+λe2的夹角为60°,则实数λ的值是 .
答案 33
7.(2018河南安阳二模,15)已知在△OAB中,OA=OB=2,AB=23,动点P位于线段AB上,则当PA·PO取最小值时,向量PA与PO的夹角的余弦值为 .
答案 -217
应用篇知行合一
【应用集训】
1.(2015福建,9,5分)已知AB⊥AC,|AB|=1t,|AC|=t.若点P是△ABC所在平面内的一点,且AP=AB|AB|+4AC|AC|,则PB·PC的最大值等于( )
A.13 B.15 C.19 D.21
答案 A
2.(2018广东广州华南师大附中月考,10)如图,半径为1的扇形AOB中,∠AOB=2π3,P是弧AB上的一点,且满足OP⊥OB,M,N分别是线段OA,OB上的动点,则PM·PN的最大值为( )
A.22 B.32 C.1 D.2
答案 C
3.(2019河南十所名校尖子生第二次调研,15)已知A,B,C均位于同一单位圆O上,且BA·BC=|AB|2,若PB·PC=3,则|PA+PB+PC|的取值范围为 .
答案 [5,7]
【五年高考】
考点一 平面向量的数量积
1.(2019课标Ⅱ,3,5分)已知AB=(2,3),AC=(3,t),|BC|=1,则AB·BC=( )
A.-3 B.-2 C.2 D.3
答案 C
2.(2018课标Ⅱ,4,5分)已知向量a,b满足|a|=1,a·b=-1,则a·(2a-b)=( )
A.4 B.3 C.2 D.0
答案 B
3.(2019天津,14,5分)在四边形ABCD中,AD∥BC,AB=23,AD=5,∠A=30°,点E在线段CB的延长线上,且AE=BE,则BD·AE= .
答案 -1
考点二 平面向量数量积的应用
4.(2019课标Ⅰ,7,5分)已知非零向量a,b满足|a|=2|b|,且(a-b)⊥b,则a与b的夹角为( )
A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π6
答案 B
5.(2016课标Ⅲ,3,5分)已知向量BA=12,32,BC=32,12,则∠ABC=( )
A.30° B.45° C.60° D.120°
答案 A
6.(2016北京,4,5分)设a,b是向量.则“|a|=|b|”是“|a+b|=|a-b|”的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
答案 D
7.(2017课标Ⅱ,12,5分)已知△ABC是边长为2的等边三角形,P为平面ABC内一点,则PA·(PB+PC)的最小值是( )
A.-2 B.-32 C.-43 D.-1
答案 B
8.(2018天津,8,5分)如图,在平面四边形ABCD中,AB⊥BC,AD⊥CD,∠BAD=120°,AB=AD=1.若点E为边CD上的动点,则AE·BE的最小值为( )
A.2116 B.32 C.2516 D.3
答案 A
9.(2016山东,8,5分)已知非零向量m,n满足4|m|=3|n|,cos
=13.若n⊥(tm+n),则实数t的值为( )
A.4 B.-4 C.94 D.-94
答案 B
10.(2015安徽,8,5分)△ABC是边长为2的等边三角形,已知向量a,b满足AB=2a,AC=2a+b,则下列结论正确的是( )
A.|b|=1 B.a⊥b C.a·b=1 D.(4a+b)⊥BC
答案 D
11.(2019课标Ⅲ,13,5分)已知a,b为单位向量,且a·b=0,若c=2a-5b,则cos= .
答案 23
12.(2016课标Ⅰ,13,5分)设向量a=(m,1),b=(1,2),且|a+b|2=|a|2+|b|2,则m= .
答案 -2
13.(2019江苏,12,5分)如图,在△ABC中,D是BC的中点,E在边AB上,BE=2EA,AD与CE交于点O.若AB·AC=6AO·EC,则ABAC的值是 .
答案 3
14.(2017天津,13,5分)在△ABC中,∠A=60°,AB=3,AC=2.若BD=2DC,AE=λAC-AB(λ∈R),且AD·AE=-4,则λ的值为 .
答案 311
教师专用题组
考点一 平面向量的数量积
1.(2014课标Ⅱ,3,5分)设向量a,b满足|a+b|=10,|a-b|=6,则a·b=( )
A.1 B.2 C.3 D.5
答案 A
2.(2016天津,7,5分)已知△ABC是边长为1的等边三角形,点D,E分别是边AB,BC的中点,连接DE并延长到点F,使得DE=2EF,则AF·BC的值为( )
A.-58 B.18 C.14 D.118
答案 B
3.(2015四川,7,5分)设四边形ABCD为平行四边形,|AB|=6,|AD|=4.若点M,N满足BM=3MC,DN=2NC,则AM·NM=( )
A.20 B.15 C.9 D.6
答案 C
4.(2013课标Ⅱ,13,5分)已知正方形ABCD的边长为2,E为CD的中点,则AE·BD= .
答案 2
5.(2018上海,8,5分)在平面直角坐标系中,已知点A(-1,0)、B(2,0),E、F是y轴上的两个动点,且|EF|=2,则AE·BF的最小值为 .
答案 -3
6.(2015湖北,11,5分)已知向量OA⊥AB,|OA|=3,则OA·OB= .
答案 9
7.(2015天津,14,5分)在等腰梯形ABCD中,已知AB∥DC,AB=2,BC=1,∠ABC=60°.动点E和F分别在线段BC和DC上,且BE=λBC,DF=19λDC,则AE·AF的最小值为 .
答案 2918
考点二 平面向量数量积的应用
8.(2018浙江,9,4分)已知a,b,e是平面向量,e是单位向量.若非零向量a与e的夹角为π3,向量b满足b2-4e·b+3=0,则|a-b|的最小值是( )
A.3-1 B.3+1 C.2 D.2-3
答案 A
9.(2016四川,10,5分)在平面内,定点A,B,C,D满足|DA|=|DB|=|DC|,DA·DB=DB·DC=DC·DA=-2,动点P,M满足|AP|=1,PM=MC,则|BM|2的最大值是( )
A.434 B.494 C.37+634 D.37+2334
答案 B
10.(2017浙江,10,4分)如图,已知平面四边形ABCD,AB⊥BC,AB=BC=AD=2,CD=3,AC与BD交于点O.记I1=OA·OB,I2=OB·OC,I3=OC·OD,则( )
A.I10,若对任意的实数λ,|a-λb|的最小值为3,则此时|a-b|=( )
A.1 B.2 C.2 D.3
答案 D
9.(2020届浙江杭州二中开学考,8)如图,已知等腰梯形ABCD中,AB=2DC=4,AD=BC=5,E是DC的中点,F是线段BC上的动点,则EF·BF的最小值是( )
A.0 B.-95 C.-45 D.1
答案 B
二、多项选择题(每题5分,共15分)
10.(2020届山东德州一中开学考,12)已知e1,e2是两个单位向量,λ∈R时,|e1+λe2|的最小值为32,则下列结论正确的是( )
A.e1,e2的夹角是π3 B.e1,e2的夹角是π3或2π3
C.|e1+e2|=1或3 D.|e1+e2|=1或32
答案 BC
11.(改编题)已知非零向量e1,e2,a,b满足a=2e1-e2,b=ke1+e2(k∈R),则以下结论正确的是( )
A.若e1与e2不共线,a与b共线,则k=-2
B.若e1与e2不共线,a与b共线,则k=2
C.存在k,使得a与b不共线,e1与e2共线
D.不存在k,使得a与b不共线,e1与e2共线
答案 AD
12.(2020届百师联盟期中联考)已知向量a=(sin α,cos α),b=(1,2),则下列命题正确的是( )
A.若a∥b,则tan α=12
B.若a⊥b,则tan α=12
C.若f(α)=a·b取得最大值,则tan α=12
D.|a-b|的最大值为5+1
答案 ACD
三、填空题(每题5分,共20分)
13.(2020届皖江名校联盟八月摸底,13)已知向量a=(2,3),b=(-1,m),且a与(a+b)垂直,则m= .
答案 -113
14.(2020届浙江超级全能生第一次联考,13)已知单位向量e1,e2的夹角为60°,则|e1+2e2|= ,|e1+λe2|(λ∈R)的最小值为 .
答案 7;32
15.(2018新疆乌鲁木齐地区第一次诊断)在△ABC中,CA=2CB=2,CA·CB=-1,O是△ABC的外心,若CO=xCA+yCB,则x+y= .
答案 136
16.(2020届北京一零一中学开学考,9)已知菱形ABCD的边长为1,∠B=60°,点E,F分别是边AB,BC的中点,则AF·DE的值为 .
答案 38
四、解答题(共20分)
17.(原创题)已知单位向量a,b,在下列条件①|a+b|= ;②|a-b|= ;③a·(a-b)= 中选择一个条件 ,并在“ ”处填上适当的数,使得a·b的夹角为π3.
解析 若选条件①,∵=π3,
∴|a+b|=(a+b)2=a2+2a·b+b2=1+2×1×1×12+1=3,故填3,反之亦成立.此处填条件①;3.
若选条件②,∵|a|=|b|=1,且=π3,∴|a-b|=a2-2a·b+b2=1-2×1×1×12+1=1,反之亦成立,故填条件②;1.
若选条件③,∵|a|=|b|=1,=π3,∴a·(a-b)=a2-a·b=1-1×1×12=12,反之亦成立,
故填条件③;12.以上三种每一种结果均可.
18.(2020届福建泉州实验中学第一次月考,18)已知a=(x,1),b=(4,-2).
(1)若a∥b,求x的值;
(2)当a⊥b时,求|2a-b|;
(3)若a与b所成角为钝角,求x的取值范围.
解析 本题主要考查平面向量的平行,垂直及夹角问题的求解,考查的核心素养是数学运算与逻辑推理.
(1)∵a=(x,1),b=(4,-2),a∥b,
∴x·(-2)-1×4=0,∴x=-2.
(2)∵a⊥b,∴a·b=4x-2=0,解得x=12,∴a=12,1,2a-b=212,1-(4,-2)=(-3,4),
∴|2a-b|=(-3)2+42=5.
(3)∵a与b所成角为钝角,∴a·b<0,且a与b不共线.
由a·b=(x,1)·(4,-2)=4x-2<0得x<12,
由a与b不共线,得-2x-4≠0,得x≠-2,∴a与b所成角为钝角时,x的取值范围是xx<12,且x≠-2.