2019-2020学年吉林省白城市通榆县第一中学高二上学期第三次月考数学（理）试题（解析版）

2019-2020学年吉林省白城市通榆县第一中学高二上学期第三次月考数学（理）试题（解析版）

‎2019-2020学年吉林省白城市通榆县第一中学高二上学期第三次月考数学（理）试题 一、单选题 ‎1．已知集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}，集合B={x|2x+1＞1}，则∁BA=（）‎ A．[3，+∞） B．（3，+∞） C．（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）‎ ‎【答案】A ‎【解析】因为，，所以；故选A.‎ ‎2．“”是“”的（　　　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充分必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】根据三角函数的性质结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．‎ ‎【详解】‎ 解：若，则，即充分性成立，‎ 若，解得，则必要性不成立，‎ 即，“”是“”的充分不必要条件，‎ 故选：．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键．‎ ‎3．已知命题，则命题的否定是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：根据含有量词的命题的否定的方法求解即可．‎ 详解：由含量词的命题的否定可得，命题的否定是“”．‎ 故选D．‎ 点睛：（1）否定全称命题和特称命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词；二是要否定结论．‎ ‎（2）含量词的命题的否定与命题的否定是不同的，解题时要注意二者的区别．‎ ‎4．某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有150、150、400、300名学生，为了解学生的就业倾向，用分层抽样的方法从该校这四个专业共抽取40名学生进行调查，应在丙专业抽取的学生人数为 A．6 B．12‎ C．18 D．16‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据四个专业各有的人数，得到本校的总人数，根据要抽取的人数，得到每个个体被抽到的概率，利用丙专业的人数乘以每个个体被抽到的概率，得到丙专业要抽取的人数．‎ ‎【详解】‎ 解：高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有150、150、400、300名学生 本校共有学生，‎ 用分层抽样的方法从该校这四个专业共抽取40名学生进行调查 每个个体被抽到的概率是，‎ 丙专业有400人，‎ 要抽取 故选：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查分层抽样方法，是一个基础题，解题的依据是在抽样过程中每个个体被抽到的概率是相等的，这种题目经常出现在高考卷中，属于基础题．‎ ‎5．如图是由容量为100的样本得到的频率分布直方图．其中前4组的频率成等比数列，后6组的频数成等差数列，设最大频率为a，在到之间的数据个数为b，则a，b的值分别为（ ）‎ A．，78‎ B．，83‎ C．，78‎ D．，83‎ ‎【答案】A ‎【解析】先根据直方图求出前2组的频数，根据前4组成等比数列求出第3和第4组的人数，从而求出后6组的人数，根据直方图可知间的频数最大，即可求出频率，根据等差数列的性质可求出公差，从而求出在4.6到5.0之间的学生数．‎ ‎【详解】‎ 解：由频率分布直方图知组矩为0.1，间的频数为．‎ 间的频数为．‎ 又前4组的频数成等比数列，公比为3．‎ 根据后6组频数成等差数列，且共有人．‎ 从而间的频数最大，且为，‎ ‎，‎ 设公差为，则．‎ ‎，从而．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查频率分布直方图的相关知识，以及等差数列和等比数列的应用等有关知识，直方图中的各个矩形的面积代表了频率，所以各个矩形面积之和为1，同时考查分析问题的能力，属于基础题．‎ ‎6．在一个口袋中装有5个黑球和3个白球，这些球除颜色外完全相同，从中摸出3个球，则摸出白球的个数多于黑球个数的概率为   ‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由在一个口袋中装有5个黑球和3个白球，这些球除颜色外完全相同知本题是一个古典概型，试验的总事件是从8个球中取3个球有种取法，从中摸出3个球，摸出白球的个数多于黑球个数，包括摸到2个白球，或摸到3个白球有种不同的取法，根据古典概型公式得到结果．‎ ‎【详解】‎ 解：由题意知本题是一个古典概型，‎ 在一个口袋中装有5个黑球和3个白球，这些球除颜色外完全相同．‎ 试验的总事件是从8个球中取3个球有种取法，‎ 摸出白球的个数多于黑球个数，包括摸到2个白球，或摸到3个白球有种不同的取法，‎ 摸出白球的个数多于黑球个数的概率等于，‎ 故选：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查古典概型的概率计算问题，属于基础题.‎ ‎7．正方形的四个顶点 分别在抛物线和上，如图所示，若将一个质点随机投入正方形ABCD中，则质点落在图中阴影区域的概率是 ( 　)‎ ‎[Failed to download image : http://192.168.0.10:8086/QBM/2018/11/15/2076084448534528/2076258896666624/STEM/96676665f3fe4229810577b12807c680.png]‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】利用几何槪型的概率公式求解.‎ ‎【详解】‎ A（-1，-1），B（1，-1），C（1，1），D（-1，1），‎ ‎∴正方体的ABCD的面积S=2×2=4，‎ 根据积分的几何意义以及抛物线的对称性可知阴影部分的面积：‎ ‎ ‎ 则根据几何槪型的概率公式可得质点落在图中阴影区域的概率是 ‎ 故选A ‎【点睛】‎ 本题考查了几何槪型的概率的计算，考查了定积分的几何性质，利用定积分求阴影部分的面积是解决本题的关键.‎ ‎8．已知F是椭圆的左焦点，P为椭圆C上任意一点，点，则的最大值为　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意，设椭圆C的右焦点为，由已知条件推导出，利用Q，，P共线，可得取最大值．‎ ‎【详解】‎ 由题意，点F为椭圆的左焦点，，‎ 点P为椭圆C上任意一点，点Q的坐标为，‎ 设椭圆C的右焦点为，‎ ‎ ，‎ ‎，‎ ‎，即最大值为5，此时Q，，P共线，故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了椭圆的标准方程、定义及其简单的几何性质的应用，其中解答中熟记椭圆的标准方程、定义和简单的几何性质，合理应用是解答的关键，着重考查了转化思想以及推理与运算能力。‎ ‎9．椭圆的焦点为，椭圆上的点满足，则的面积是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】设，则，又，所以， ，故选A．‎ ‎10．点是双曲线：与圆：的一个交点，且，其中、分别为的左右焦点，则的离心率为 A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由a2+b2＝c2，知圆C2必过双曲线C1的两个焦点，，2∠PF1F2＝∠PF2F1，则|PF2|＝c，c，由此能求出双曲线的离心率．‎ ‎【详解】‎ ‎∵a2+b2＝c2，‎ ‎∴圆C2必过双曲线C1的两个焦点，，‎ ‎2∠PF1F2＝∠PF2F1，则|PF2|＝c，c，‎ 故双曲线的离心率为．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查双曲线的性质和应用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件．‎ ‎11．执行如图所示的程序框图，则程序输出的结果为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】依次运行如图给出的程序，可得；‎ ‎，所以输出的的值构成周期为4的数列．因此当时，．故程序输出的结果为．选C．‎ ‎12．已知双曲线E的中心为原点，是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点且AB的中点为，则双曲线E的渐近线的方程为  ‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意设出双曲线方程，，的坐标，利用作差法结合弦中点的坐标可得，即可得到所求渐近线方程．‎ ‎【详解】‎ 解：设双曲线的标准方程为，‎ 设，，，，‎ 则有，，‎ 两式作差得，‎ ‎，的中点为，‎ ‎，，，‎ 可得，‎ ‎，可得双曲线的渐近线方程为，‎ 故选：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查双曲线的简单性质，考查与弦中点有关的问题的求解方法，注意运用点差法，是中档题．‎ 二、填空题 ‎13．设一组数据的平均数是54，则这组数据的标准差等于______．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】∵数据的平均数是54，‎ ‎∴，‎ 解得，‎ 所以这组数据的方差为 ‎，‎ ‎∴标准差为．‎ 答案：2．‎ ‎14．若六进制数3m502(6),化为十进制数为4934,则m=___________；‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】.‎ ‎15．已知直线与相交于A，B两点，O是坐标原点，在弧AOB上求一点P，使的面积最大，则P的坐标为____ ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】要使得内接面积最大，则只须使得过点的切线与直线平行，由导数的性质能求出位于点处时，面积最大．‎ ‎【详解】‎ 解：要使得内接面积最大，则只须使得过点的切线与直线平行，‎ ‎，‎ ‎，‎ 直线斜率为2，‎ 过点的切线斜率，‎ 解得，则可得 即 位于点处时，面积最大．‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查抛物线标准方程，简单几何性质，直线与抛物线的位置关系等基础知识．考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．解题时要认真审题，注意导数性质的灵活运用．‎ ‎16．已知抛物线的准线为l，为一定点，设该抛物线上任一点P到l的距离为d，的最小值为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】求出抛物线的准线方程，过作，交于点，由，，三点共线时，取得最小值，即可得到所求最小值．‎ ‎【详解】‎ 解：抛物线的准线为，，‎ 过作，交于点，‎ 当，，三点共线时，取得最小值，‎ 且为．‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查抛物线的方程和性质，考查两点间的距离最短的运用，考查运算能力，属于基础题．‎ 三、解答题 ‎17．已知，，其中．‎ 若，且为真，求x的取值范围；‎ 若是的充分不必要条件，求实数m的取值范围．‎ ‎【答案】（1）‎ ‎（2）‎ ‎【解析】（1）分别解出关于，的不等式，根据为真，，都为真，求出的范围即可；‎ ‎（2）由是的充分不必要条件，即，其逆否命题为，求出的范围即可．‎ ‎【详解】‎ 解：由，解得，所以；‎ 又，因为，解得，所以．‎ ‎（1）当时，，‎ 又为真，，都为真，‎ 解得．‎ 所以的取值范围为．‎ ‎（2）由是的充分不必要条件，即，，表示“推不出” ‎ 其逆否命题为，，‎ 由于，，‎ 所以，．‎ 实数的取值范围为．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了充分、必要条件，考查复合命题的判断，属于中档题．‎ ‎18．节能减排以来，兰州市100户居民的月平均用电量单位：度，以分组的频率分布直方图如图．‎ 求直方图中x的值；‎ 求月平均用电量的众数和中位数；‎ 估计用电量落在中的概率是多少？‎ ‎【答案】（1）‎ ‎（2）224‎ ‎（3）0.55‎ ‎【解析】（1）由直方图的性质可得 ，解方程可得；‎ ‎（2）由直方图中众数为最高矩形上端的中点可得，可得中位数在，内，设中位数为，解方程可得；‎ ‎（3）月平均用电量在中的概率是．‎ ‎【详解】‎ 解：（1）依题意，‎ ‎   ，‎ 解得．‎ ‎（2）由图可知，最高矩形的数据组为，‎ 所以众数为．‎ 的频率之和为 ，‎ 依题意，设中位数为，则，‎ 解得，故中位数为．‎ ‎（3）由频率分布直方图可知，月平均用电量在中的概率是 ‎．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查频率分布直方图，涉及众数和中位数，考查学生的计算能力，属基础题．‎ ‎19．已知双曲线，直线 若直线l与双曲线C有两个不同的交点，求k的取值范围；‎ ‎ P为双曲线C右支上一动点，点A的坐标是，求的最小值．‎ ‎【答案】（1）‎ ‎（2）‎ ‎【解析】（1）联立直线与双曲线方程，利用方程组与两个交点，求出的范围．‎ ‎（2）设出的坐标，利用的表达式，求出最小值即可.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）由，整理得 所以，解得且 设，‎ 所以 因为，‎ 所以时，．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查直线与双曲线的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力．‎ ‎20．如图，直三棱柱中，底面为等腰直角三角形，是侧棱上一点.‎ ‎（1）若，求的值；‎ ‎（2）若，求直线与平面所成角的正弦值.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)建立空间直角坐标系，结合几何关系可得；‎ ‎(2)结合(1)中的空间直角坐标系和题意可得直线与平面所成角的正弦值为.‎ 试题解析：‎ ‎（1）以为坐标原点，以射线、、‎ 分别为、、轴建立空间直角坐标系， ‎ 如图所示，则,， ， ‎ 设，则 ，‎ ‎ ‎ 由得，即 解得， ‎ 故；‎ ‎(2) 因为，所以，‎ 设平面的一个法向量为，由得，‎ 所以， ‎ 则， ‎ 设直线与平面所成的角为,所以，‎ 所以直线与平面所成的角正弦值为.‎ ‎21．如图所示，在直三棱柱中，D点为棱AB的中点．‎ 求证：平面；‎ 若，，求二面角的余弦值；‎ 若，，两两垂直，求证：此三棱柱为正三棱柱．‎ ‎【答案】（1）见解析 ‎（2）‎ ‎（3）见解析 ‎【解析】（1）连接交于，连接，则是△的中位线，所以，即可证明平面；‎ ‎（2）过作于，连接，则，平面，可得为二面角的平面角；‎ ‎（3）作，，垂足分别为，，连接，，证明是等边三角形，又三棱柱是直三棱柱，即可证明结论．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）证明：连接交于，连接，则是△的中位线，所以 又 平面，平面 平面． ‎ ‎（2）解：过作于，连接，则平面，‎ 为二面角的平面角，设 由已知可得，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 即二面角的余弦值为．‎ ‎（3）证明：作，，垂足分别为，，连接，．‎ 由已知可得 平面，‎ 又 ，且，是平面内的两条相交直线，‎ 平面，‎ 同理 ‎ 又 直线，，都在平面内，，‎ 又，四边形是平行四边形，，‎ 又△，，‎ 同理，‎ 是等边三角形，又三棱柱是直三棱柱三棱柱 为正三棱柱． ‎ ‎【点睛】‎ 本题考查线面平行、垂直的证明，考查二面角的余弦值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．‎ ‎22．已知椭圆： 的离心率，且过点．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）如图，过椭圆的右焦点作两条相互垂直的直线交椭圆分别于，且满足， ，求面积的最大值．‎ ‎【答案】（1）；（2）时， 的面积取得最大值.‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)利用题意列出 的方程组，求得 的值即可求得椭圆的方程；‎ ‎(2)设出直线 的方程，联立直线与椭圆的方程，结合韦达定理求得 的值，则 ，最后利用均值不等式求解三角形面积的最大值即可.‎ 试题解析：‎ ‎（1）根据条件有，解得，所以椭圆．‎ ‎（2）根据， 可知， 分别为的中点，且直线斜率均存在且不为0，现设点，直线的方程为，不妨设，联立椭圆有，根据韦达定理得： ， ，‎ ‎， ，同理可得，‎ 所以面积，现令，‎ 那么，所以当， 时， 的面积取得最大值．‎