湖南省岳阳市阳县一中汨罗市一中2019-2020学年高二上学期10月月考数学试题

湖南省岳阳市阳县一中汨罗市一中2019-2020学年高二上学期10月月考数学试题

‎2019年下学期高二年级岳汨第一次联考 数学试题 一.选择题：（本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1.不等式的解集为( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 解二次不等式求解即可 ‎【详解】由，可得，解得.‎ 故选D.‎ ‎【点睛】本题考查一元二次不等式的解法，准确计算是关键，是基础题 ‎2.命题：，的否定形式为（）‎ A. ， B. ， C. ， D. ，‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用全称命题的否定解答.‎ ‎【详解】因为命题：，，‎ 所以命题：，的否定形式为，.‎ 故选：B ‎【点睛】本题主要考查全称命题的否定，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.‎ ‎3.下列说法正确是（ ）‎ A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，则 D. 若，，则 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用不等式的性质或举反例的方法来判断各选项中不等式的正误.‎ ‎【详解】对于A选项，若且，则，该选项错误；‎ 对于B选项，取，，，，则，均满足，但，B选项错误；‎ 对于C选项，取，，则满足，但，C选项错误；‎ 对于D选项，由不等式的性质可知该选项正确，故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查不等式正误的判断，常用不等式的性质以及举反例的方法来进行验证，考查推理能力，属于基础题.‎ ‎4.高铁、扫码支付、共享单车、网购被称为中国“新四大发明”，为评估共享单车的使用情况，选了n座城市作试验基地，这n座城市共享单车的使用量（单位：人次/天）分别为x1，x2，…xn，下面给出的指标中可以用来评估共享单车使用量的稳定程度的是( )‎ A. x1，x2，…xn的平均数 B. x1，x2，…xn的标准差 C. x1，x2，…xn的最大值 D. x1，x2，…xn的中位数 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据平均数、标准差、中位数、最值的实际意义逐一判断即可.‎ ‎【详解】因为平均数、中位数、众数描述样本数据的集中趋势, 方差和标准差描述其波动大小.‎ 所以，表示一组数据的稳定程度的是方差或标准差．故选B．‎ ‎【点睛】本题主要考查平均数、标准差、中位数的实际意义，意在考查对基础知识掌握的熟练程度，以及灵活运用所学知识解答问题的能力，属于基础题.‎ ‎5.设等差数列的前n项和为，若则,=（ ）‎ A. 18 B. 36 C. 45 D. 60‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：，故选C.‎ 考点：等差数列的通项公式的性质、前项和公式.‎ ‎6.已知双曲线渐近线为，实轴长为，则该双曲线的方程为（）‎ A. B. 或 C. D. 或 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据条件下求出，然后讨论双曲线的焦点位置，结合双曲线的渐近线方程进行求解即可．‎ ‎【详解】双曲线的渐近线方程为，实轴长为4，‎ ‎，则，‎ 当双曲线的焦点在轴上时，设双曲线方程为，，‎ 此时，解得，‎ 双曲线方程为，‎ 当双曲线的焦点在轴上时，设双曲线方程为，，‎ 此时，解得，‎ 即双曲线的方程为：．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】本题考查双曲线的标准方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意双曲线性质的合理运用．同时要讨论双曲线的焦点位置．‎ ‎7.某校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为和，第一排和最后一排的距离为米（如图所示），旗杆底部与第一排在同一个水平面上.若国歌长度约为秒，要使国歌结束时国旗刚好升到旗杆顶部，升旗手升旗的速度应为（）（米/秒）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 结合题目中的图，根据题意求得角，利用正弦定理求得边，再根据直角三角形边角关系求出旗杆的高度即可求得答案．‎ ‎【详解】如图所示，‎ 依题意知，，‎ ‎，‎ 由正弦定理知，‎ ‎（米，‎ 在中，（米，‎ 国歌长度约为50秒，‎ 升旗手升旗的速度应为（米秒）．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】本题主要考查了解三角形的实际应用．此类问题的解决关键是建立数学模型，把实际问题转化成数学问题，利用所学知识解决问题．‎ ‎8.若不等式ax2+ax﹣1≤0的解集为实数集R，则实数a的取值范围为（　　）‎ A. 0≤a≤4 B. ﹣4＜a＜0 C. ﹣4≤a＜0 D. ﹣4≤a≤0‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 讨论和时，求出不等式的解集为时实数的取值范围．‎ ‎【详解】时，不等式化为，解集为实数集；‎ 时，应满足，‎ 所以，‎ 解得；‎ 综上，实数的取值范围是．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】本题考查了含有字母系数的不等式恒成立问题和二次不等式的恒成立问题，是基础题．‎ ‎9.马拉松是一项历史悠久的长跑运动，全程约千米.跑马拉松对运动员的身体素质和耐力是极大的考验，专业的马拉松运动员经过长期的训练，跑步时的步幅（一步的距离）一般略低于自身的身高，若某运动员跑完一次全程马拉松用了小时，则他平均每分钟的步数可能为（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出运动员每分钟跑米，再对运动员每分钟的跑步数分类讨论，排除答案即得解.‎ ‎【详解】解：千米＝米，小时＝分钟，故运动员每分钟跑米；‎ 若运动员每分钟跑步，，则运动员的身高超过米不太可能；‎ 若运动员每分钟跑步，，则运动员的身高稍超过米不太可能；‎ 若运动员每分钟跑步，，则运动员的身高超过米，基本符合实际，‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题主要考查推理证明，考查数据处理，属于基础题.‎ ‎10.设，分别是椭圆的左右焦点，点在椭圆上，且，若线段的中点恰在轴上，则椭圆的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由椭圆的定义有，即，，‎ 再结合题意运算即可得解.‎ ‎【详解】解：由定义得，又，所以，.因为线段的中点在轴上，为的中点，由三角形中位线平行于底边，得，所以，所以，所以.‎ 故选C.‎ ‎【点睛】本题考查了椭圆离心率的求法，属中档题.‎ ‎11.已知数列是是正项等比数列，且，则的值不可能是（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，设数列的公比为，则，由等比数列的通项公式结合基本不等式可得的值的范围，从而得出结论．‎ ‎【详解】数列是是正项等比数列，且，‎ 根据题意，数列是正项等比数列，设其公比为，则，‎ 则且，‎ 求得，故的值不可能是，‎ 故选：．‎ ‎【点睛】本题考查等比数列的性质以及应用，考查基本不等式的应用，涉及等比数列的通项公式，属于基础题．‎ ‎12.已知双曲线（a＞0，b＞0）的离心率为2，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，点M（-a，0），N（0，b），点P为线段MN上的动点，当取得最小值和最大值时，△PF1F2的面积分别为S1，S2，则=( )‎ A. 2‎ B. 4‎ C. 4‎ D. 8‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据离心率求得的值，由此求得线段所在直线方程，设出点的坐标，代入，利用二次函数求最值的方法求得取得最小值和最大值时对应的点的纵坐标，根据面积公式求得面积的比值.‎ ‎【详解】由于双曲线的离心率为，故.所以直线的方程为，设，焦点坐标为，将坐标代入并化简得，由于，故当时取得最小值，此时；当时取得最大值，此时.故.所以选B.‎ ‎【点睛】本小题主要考查双曲线的离心率，考查平面向量的数量积，考查二次函数求最值的方法，属于中档题.‎ 二.填空题：（本大题共5小题，每小题4分，满分20分）‎ ‎13.已知，的几组对应数据如表：‎ 根据上表利用最小二乘法求得回归直线方程中，那么________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出样本中心点的坐标，把中心点的坐标代入回归直线方程即得解.‎ ‎【详解】由题得，‎ ‎，‎ 所以样本中心点的坐标为（2,6），‎ 所以6=2.2×2+，所以=1.6.‎ 故答案为：1.6‎ ‎【点睛】本题主要考查回归方程的性质，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.‎ ‎14.已知抛物线，过焦点作直线与抛物线交于点，两点，若，则点的坐标为 _________．‎ ‎【答案】或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 如图所示，F（1，0）．由|AF|＝4，可得xA+1＝4，解得xA，代入抛物线方程可得yA．可得点A的坐标．‎ ‎【详解】如图所示，F（1，0）．‎ ‎∵|AF|＝4，∴xA+1＝4，解得xA＝3．‎ 代入抛物线方程可得，或．‎ 故点的坐标为或 故答案为：或 ‎ ‎【点睛】本题考查了抛物线的定义、标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎15.在中，内角，，所对的边分别为，，，若，且，则的面积为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据已知求出A的大小，再根据求出bc的值，最后求三角形的面积得解.‎ ‎【详解】因为，‎ 所以,‎ 所以,‎ 所以A=.‎ 因为，‎ 所以 所以bc=8.‎ 所以的面积为.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查余弦定理解三角形，考查平面向量的数量积，考查三角形的面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎16.已知数列的前项和为，且满足，则______‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对题目所给等式进行赋值，由此求得的表达式，判断出数列是等比数列，由此求得的值.‎ ‎【详解】解：，可得时，，‎ 时，，又，‎ 两式相减可得，即，上式对也成立，可得数列是首项为1，公比为的等比数列，可得．‎ ‎【点睛】本小题主要考查已知求，考查等比数列前项和公式，属于中档题.‎ 三、解答题：（本大题共6小题，满分70分。解答须写出文字说明.证明过程或演算步骤）‎ ‎17.已知集合，集合，.‎ ‎（1）若“”是真命题，求实数取值范围；‎ ‎（2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）解不等式即得a的取值范围；（2）先化简B,由题得是的真子集，解不等式组得解.‎ ‎【详解】解：（1）若“”是真命题，则，得.‎ ‎（2），‎ 若“”是“”的必要不充分条件，‎ 则是的真子集，‎ 即，即，得，‎ 即实数的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题主要考查元素与集合的关系，考查充要条件和集合的关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎18.的内角，，所对边分别为，，，已知.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若，，求.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)利用正弦定理化简即得C的值；（2）直接利用余弦定理得到a的方程，解方程即得解.‎ ‎【详解】解：（1）因为，根据正弦定理可得，‎ 又，从而，由于，所以.‎ ‎（2）根据余弦定理，而，，.‎ 代入整理可得，解得，或（舍去），所以.‎ ‎【点睛】本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎19.华为手机作为华为公司三大核心业务之一，2018年的销售量跃居全球第二名，某机构随机选取了100名华为手机的顾客进行调查，并将这人的手机价格按照，，…分成组，制成如图所示的频率分布直方图，其中是的倍.‎ ‎（1）求，的值；‎ ‎（2）求这名顾客手机价格的平均数（同一组中的数据用该组区间的中间值作代表）；‎ ‎（3）利用分层抽样的方式从手机价格在和的顾客中选取人，并从这人中随机抽取人进行回访，求抽取的人手机价格在不同区间的概率.‎ ‎【答案】（1），（2）（元）（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）解方程组即得解；（2）利用频率分布直方图中平均数的公式计算即得这名顾客手机价格的平均数.（3）利用古典概型的概率公式求抽取的人手机价格在不同区间的概率.‎ ‎【详解】解：（1）由已知得，‎ 解得，.‎ ‎（2）平均数 ‎（元）‎ ‎（3）由已知得从手机价格为中抽取人，设为，，，，‎ 在手机价格为中抽人，设为，，‎ 从这人中任意取人，共有种抽法，分别为：‎ ‎，，，，，，，，，，，，，，，‎ 其中抽取的人的手机价格在不同区间的有种，‎ 抽取的人手机价格在不同区间的概率：‎ ‎【点睛】本题主要考查频率分布直方图的计算，考查平均数的计算和古典概型的概率的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎20.已知椭圆C的中心为坐标原点O，焦点F1，F2在x轴上，椭圆C短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，且椭圆C短轴长为2．‎ ‎（1）求椭圆C的标准方程．‎ ‎（2）P为椭圆C上一点，且∠F1PF2＝，求△PF1F2的面积．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由已知可得关于的方程组，求得的值，即可得到椭圆的方程；‎ ‎（2）在中，由已知结合椭圆的定义及余弦定理和三角形的面积公式，即可求解．‎ ‎【详解】(1)设椭圆的标准方程为，‎ ‎∵椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，且椭圆短轴长为2，‎ ‎∴，解得，，‎ ‎∴椭圆的标准方程为．‎ ‎（2）由椭圆定义知 ①‎ 又∠，由余弦定理得 ②‎ 联立①②解得 ‎ 所以三角形的面积 ‎【点睛】本题主要考查了椭圆的定义的应用，标准方程的求解，以及几何性质的应用，其中解答熟练应用椭圆的焦点三角形，以及余弦定理和三角形的面积公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．‎ ‎21.已知数列是公比大于1的等比数列，，且是与的等差中项．‎ I.求数列的通项公式；‎ II.设，为数列的前n项和，记，证明：．‎ ‎【答案】I.；II.见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ I.根据等差中项性质得到，再根据等比数列通项公式构造方程求得，从而可求得通项公式；II.根据求得，利用等差数列求和公式得到；再根据裂项相消法求得，根据证得结论.‎ ‎【详解】I.由题意得：‎ 设数列公比为，则，即 解得：（舍去）或 则 ‎ II.由I.得：，可知为首项为，公差为的等差数列 则 ‎ ‎ ‎ 即 ‎【点睛】本题考查等比数列通项公式的求解、裂项相消法求解数列的前项和问题，关键是能够确定需求和的数列的通项公式符合裂项相消法的形式，从而使问题得以解决.‎ ‎22.已知点，直线：，为平面上的动点，过点作直线的垂线，垂足为，且满足．‎ ‎（1）求动点的轨迹的方程；‎ ‎（2）过点作直线与轨迹交于，两点，为直线上一点，且满足，若的面积为，求直线的方程．‎ ‎【答案】（1）；（2）或 ‎【解析】‎ 分析：（1）设，则，利用，即可求解轨迹的方程； ‎ ‎（II）设的方程为，联立方程组，求得，又由，得到点，在利用弦长公式和点到直线的距离公式，即可表达的面积，求得的值，进而得到直线的方程；‎ 详解：（1）设，则，‎ ‎，， ‎ ‎，，即轨迹的方程为. ‎ ‎（2）法一：显然直线的斜率存在，设的方程为，‎ 由，消去可得：，‎ 设，，，‎ ‎ ，，‎ 即 ‎ ‎，‎ ‎，即 ‎ ，，即， ‎ ‎ ，‎ ‎ 到直线的距离，‎ ‎，解得，‎ 直线的方程为或． ‎ ‎ 法2：（Ⅱ）设,AB的中点为 则 直线的方程为，‎ 过点A,B分别作，因为为AB 的中点，‎ 所以中，‎ 故是直角梯形的中位线，可得，从而 点到直线的距离为：‎ 因为E点在直线上，所以有，从而 ‎ 由解得 所以直线的方程为或．‎ 点睛：本题主要考查抛物线的标准方程与几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题,通过联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系，得到“目标函数”的解析式，确定函数的性质进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出，本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.‎ ‎ ‎ ‎ ‎