2018届二轮复习（文）数列学案（全国通用）

2018届二轮复习（文）数列学案（全国通用）

‎【2017年高考考纲解读】‎ 高考对本内容的考查主要有：‎ ‎(1)数列的概念是A级要求，了解数列、数列的项、通项公式、前n项和等概念，一般不会单独考查；‎ ‎(2)等差数列、等比数列是两种重要且特殊的数列，要求都是C级，熟练掌握等差数列、等比数列的概念、通项公式、前n项求和公式、性质等知识，理解其推导过程，并且能够灵活应用．‎ ‎(4)通过适当的代数变形后，转化为等差数列或等比数列的问题．‎ ‎(5)求数列的通项公式及其前n项和的基本的几种方法．‎ ‎(6)数列与函数、不等式的综合问题.‎ 试题类型可能是填空题，以考查单一性知识为主，同时在解答题中经常与不等式综合考查，构成压轴题．‎ ‎【重点、难点剖析】‎ ‎ 1．等差、等比数列的通项公式 等差数列{an}的通项公式为an＝a1＋(n－1)d＝am＋(n－m)d；等比数列{an}的通项公式为an＝a1qn－1＝amqn－m.‎ ‎2．等差、等比数列的前n项和 ‎(1)等差数列的前n项和为 Sn＝＝na1＋d.‎ 特别地，当d≠0时，Sn是关于n的二次函数，且常数项为0，即可设Sn＝an2＋bn(a，b为常数)．‎ ‎(2)等比数列的前n项和 Sn＝ 特别地，若q≠1，设a＝，‎ 则Sn＝a－aqn.‎ ‎3．等差数列、等比数列常用性质 ‎(1)若序号m＋n＝p＋q，在等差数列中，则有am＋an＝ap＋aq；特别的，若序号m＋n＝2p，则am＋an＝2ap；在等比数列中，则有am·an＝ap·aq；特别的，若序号m＋n＝2p，则am·an ‎＝a；‎ ‎(2)在等差数列{an}中，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…成等差数列，其公差为kd；其中Sn为前n项的和，且Sn≠0(n∈N*)；在等比数列{an}中，当q≠－1或k不为偶数时Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…成等比数列，其中Sn为前n项的和(n∈N*).‎ ‎4．数列求和的方法归纳 ‎(1)转化法：将数列的项进行分组重组，使之转化为n个等差数列或等比数列，然后应用公式求和；‎ ‎(2)错位相减法：适用于{an·bn}的前n项和，其中{an}是等差数列，{bn}是等比数列；‎ ‎(3)裂项法：求{an}的前n项和时，若能将an拆分为an＝bn－bn＋1，则a1＋a2＋…＋an＝b1－bn＋1；‎ ‎(4)倒序相加法：一个数列倒过来与原数列相加时，若有公因式可提，并且剩余的项的和容易求出，那么这样的数列求和可采用此法．其主要用于求组合数列的和．这里易忽视因式为零的情况；‎ ‎(5)试值猜想法：通过对S1，S2，S3，…的计算进行归纳分析，寻求规律，猜想出Sn，然后用数学归纳法给出证明．易错点：对于Sn不加证明；‎ ‎(6)并项求和法：先将某些项放在一起先求和，然后再求Sn.例如对于数列{an}：a1＝1，a2＝3，a3＝2，an＋2＝an＋1－an，可证其满足an＋6＝an，在求和时，依次6项求和，再求Sn.‎ ‎5．数列的应用题 ‎(1)应用问题一般文字叙述较长，反映的事物背景陌生，知识涉及面广，因此要解好应用题，首先应当提高阅读理解能力，将普通语言转化为数学语言或数学符号，实际问题转化为数学问题，然后再用数学运算、数学推理予以解决．‎ ‎(2)数列应用题一般是等比、等差数列问题，其中，等比数列涉及的范围比较广，如经济上涉及利润、成本、效益的增减，解决该类题的关键是建立一个数列模型{an}，利用该数列的通项公式、递推公式或前n项和公式.‎ ‎【题型示例】‎ 题型1、等差、等比数列中基本量的计算 ‎【例1】【2016年高考北京理数】已知为等差数列，为其前项和，若，，则_______..‎ ‎ 【答案】6‎ ‎【举一反三】 (2015·江苏，11)设数列{an}满足a1＝1，且an＋1－an＝n＋1(n∈N*)，则数列前10项的和为________．‎ ‎【答案】　 ‎【解析】　∵a1＝1，an＋1－an＝n＋1，∴a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，an－an－1＝n，将以上n－1个式子相加得an－a1＝2＋3＋…＋n＝，即an＝，令bn＝，故bn＝＝2，故S10＝b1＋b2＋…＋b10＝2＝.‎ ‎【变式探究】(1)(2014·全国大纲卷)等比数列{an}中，a4＝2，a5＝5，则数列{lg an}的前8项和等于(　　)‎ A．6 B．‎5 C．4 D．3‎ ‎(2)(2014·北京)若等差数列{an}满足a7＋a8＋a9>0，a7＋a10<0，则当n＝________时，{an}的前n项和最大．‎ ‎【命题意图】(1)本题主要考查等比数列的性质、对数的运算．‎ ‎(2)本题主要考查等差数列的性质，意在考查考生灵活应用等差数列的性质解决问题的能力．‎ ‎【答案】(1)C　(2)8‎ ‎【解析】(1)lg a1＋lg a2＋…＋lg a8＝lg(a1·a2·…·a8)＝lg(a4·a5)4＝lg(2×5)4＝4，故选C.‎ ‎(2)∵数列{an}是等差数列，且a7＋a8＋a9＝‎3a8>0，∴a8>0.又a7＋a10＝a8＋a9<0，∴a9<0，∴当n＝8时，其前n项和最大．$来&源：ziyuanku.com ‎【变式探究】设数列{an}是公差不为0的等差数列，Sn为其前n项的和，满足：a＋a＝a＋a，S7＝7.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式及前n项的和Sn；‎ ‎(2)设数列{bn}满足bn＝2an，其前n项的和为Tn，当n为何值时，有Tn＞512.‎ ‎ ‎ ‎(2)由(1)得an＝2n－7，所以bn＝2an＝22n－7，‎ 又＝＝4(n≥2)，b1＝‎2a1＝，‎ 所以{bn}是首项为，公比为4的等比数列，‎ 所以它的前n项和Tn＝＝(4n－1)，于是由Tn＞512，‎ 得4n＞3×47＋1，所以n≥8时，有Tn＞512.‎ ‎【规律方法】求等差、等比数列通项与前n项和，除直接代入公式外，就是用基本量法，要注意对通项公式与前n项和公式的选择．‎ ‎【变式探究】 已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝3，是公比为2的等比数列．　‎ ‎(1)证明：{an}是等比数列，并求其通项；‎ ‎(2)设数列{bn}满足bn＝log3an，其前n项和为Tn，当n为何值时，有Tn≤2 012?‎ ‎ $来&源：ziyuanku.com ‎(2)解　由(1)得an＝3·22n－2，所以bn＝log2(3·22n－2)‎ ‎＝log23＋2(n－1)，所以{bn}是首项为log23，公差为2的等差数列，前n项和为Tn＝nlog23＋n(n－1)，于是由n2＜nlog23＋n(n－1)≤2 012，得n＜，又n∈N*，所以1≤n≤44，即n＝1,2,3，…，44时，Tn≤2 012. ‎ 题型2、与等差、等比数列有关的最值问题 ‎【例2】【2016高考新课标1卷】设等比数列满足a1+a3=10,a2+a4=5,则a‎1a2 …an的最大值为 ．‎ ‎【答案】64‎ ‎【解析】设等比数列的公比为，由得，解得.所以，于是当或时，取得最大值.‎ ‎【举一反三】 (2015·四川，16)设数列{an}(n＝1，2，3，…)的前n项和Sn满足Sn＝2an－a1，且a1，a2＋1，a3成等差数列．‎ ‎ (1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎ (2)记数列的前n项和为Tn，求使得|Tn－1|＜成立的n的最小值．‎ ‎【规律方法】上述两种求An最值的方法都是运用函数思想．法一是直接研究子数列{a2n}．法二是研究An＝(19n＋2－2n＋1)的单调性求其最值．‎ ‎【变式探究】已知等差数$来&源：ziyuanku.com列{an}的首项a1≠0，公差d≠0，由{an}的部分项组成的数列ab1，ab2，…，abn，…为等比数列，其中b1＝1，b2＝2，b3＝6.‎ ‎(1)求数列{bn}的通项公式bn；‎ ‎(2)若数列{bn}的前n项和为Sn，求Sn的值；‎ ‎(3)求An＝Sn－的最小值．‎ 题型3、等差、等比数列的探求问题 ‎【例3】【2016高考江苏卷】已知是等差数列，是其前项和.若，则的值是 ▲ .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由得，因此 ‎ 【举一反三】(2015·安徽，14)已知数列{an}是递增的等比数列，a1＋a4＝9，a2a3＝8，则数列{an}的前n项和等于________．‎ ‎【答案】　2n－1‎ ‎【解析】　由等比数列性质知a2a3＝a1a4，又a2a3＝8，a1＋a4＝9，所以联立方程解得或又数列{an}为递增数列，∴a1＝1，a4＝8，从而a1q3＝8，∴q＝2.‎ ‎∴数列{an}的前n项和为Sn＝＝2n－1.‎ ‎【变式探究】 (2014·广东)设数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn＝2nan＋1－3n2－4n，n∈N*，且S3＝15.‎ ‎(1)求a1，a2，a3的值；‎ ‎(2)求数列{an}的通项公式．‎ ‎【命题意图】本题主要考查赋值法、数列前n项和Sn与通项an之间的关系、构造新数列等，考查考生的运算求解能力．‎ ‎【审题策略】(1)反复利用递推公式Sn＝2nan＋1－3n2－4n，Sn－Sn－1＝an(n≥2)进行递推．‎ ‎(2)由前三项a1，a2，a3归纳猜想出数列{an}的通项公式，再用数学归纳法证明．‎ 解得2ak＋1＝4k＋6，‎ ‎∴ak＋1＝2(k＋1)＋1，即当n＝k＋1时，结论成立．‎ 由①②知，∀n∈N*，an＝2n＋1.‎ ‎【变式探究】已知数列{an}是各项均不为0的等差数列，Sn为其前n项和，且满足a＝S2n－1，令bn＝，数列{bn}的前n项和为Tn.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式及数列{bn}的前n项和Tn；‎ ‎(2)是否存在正整数m，n(1＜m＜n)，使得T1，Tm，Tn成等比数列？若存在，求出所有的m，n的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎ (2)法一　T1＝，Tm＝，Tn＝，若T1，Tm，Tn成等比数列，则2＝，即＝.由＝，可得＝＞0，即－‎2m2‎＋‎4m＋1＞0，∴1－＜m＜1＋.‎ 又m∈N*，且m＞1，所以m＝2，此时n＝12.‎ 因此，当且仅当m＝2，n＝12时，数列{Tn}中的T1，Tm，Tn成等比数列．‎ 法二　因为＝＜，故＜，即‎2m2‎－‎4m－1＜0，‎ ‎∴1－＜m＜1＋，(以下同上)．‎ ‎【规律方法】在一定条件下，判断某种数学对象是否存在，解答此类问题一般先假设要求(或证)的结论是存在的，然后利用有关概念、公理、定理、法则推理下去，如果畅通无限，则存在；如果推理过程中，有限或发生矛盾，则说明不存在．‎ 题型四、数列与恒成立问题 ‎【例4】【2016高考江苏卷】（本小题满分16分）‎ 记.对数列和的子集T，若,定义;若，定义.例如：时，‎ ‎.现设是公比为3的等比数列，且当时，.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）对任意正整数，若，求证：；‎ ‎（3）设,求证：.‎ ‎【答案】（1）（2）详见解析（3）详见解析 ‎【解析】‎ ‎（3）下面分三种情况证明.‎ ‎①若是的子集，则.‎ ‎②若是的子集，则.‎ ‎③若不是的子集，且不是的子集.‎ 综合①②③得，.‎ ‎【举一反三】 已知数列{an}满足a1＝1，a2＝－1，当n≥3，n∈N*时，－＝.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)是否存在k∈N*，使得n≥k时，不等式Sn＋(2λ－1)an＋8λ≥4对任意实数λ∈0,1]恒成立？若存在，求出k的最小值；若不存在，请说明理由．‎ ‎【解析】　(1)∵当n≥3时，n∈N*时，‎ －＝＝3，‎ ‎∴＝.∴当n≥2时，是常数列．‎ ‎∴n≥2时，＝＝2，an＝2n－5.‎ ‎∴an＝ ‎(2)Sn＝ 当n＝1时，不等式Sn＋(2λ－1)an＋8λ≥4可化为λ≥，不满足条件．‎ 当n≥2时，Sn＋(2λ－1)an＋8λ≥4可化为2(2n－1)λ＋n2－6n＋5≥0.‎ 令f(λ)＝2(2n－1)λ＋n2－6n＋5，由已知得，‎ f(λ)≥0对于λ∈0,1]恒成立，‎ 当且仅当化简得， 解得，n≤1或n≥5.‎ ‎∴满足条件的k存在，k的最小值为5.$来&源：ziyuanku.com ‎【规律方法】数列通项公式的还原方法比较多样，可以构造特殊数列，也可以立足于运算、归纳，最后补充证明．‎ ‎【变式探究】设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，＝an＋1－n2－n－，n∈N*.‎ ‎(1)求a2的值；‎ ‎(2)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(3)证明：对一切正整数n，有＋＋…＋<.‎ 所以对一切正整数n，有＋＋…＋<.‎ 题型五、数列与函数的问题 例5、 (2015·湖北，18)设等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，等比数列{bn}的公比为q，已知b1＝a1，b2＝2，q＝d，S10＝100.‎ ‎(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；‎ ‎(2)当d>1时，记cn＝，求数列{cn}的前n项和Tn.‎ ‎【变式探究】(2014·四川)设等差数列{an}的公差为d，点(an，bn)在函数f(x)＝2x的图象上(n∈N*)．‎ ‎(1)若a1＝－2，点(a8,4b7)在函数f(x)的图象上，求数列{an}的前n项和Sn；‎ ‎(2)若a1＝1，函数f(x)的图象在点(a2，b2)处的切线在x轴上的截距为2－ ‎，求数列的前n项和Tn.‎ ‎【命题意图】本题主要考查等差数列与等比数列的概念、等差数列与等比数列的通项公式与前n项和公式、导数的几何意义等基础知识，考查考生的运算求解能力．‎ ‎【解析】(1)由已知，b7＝‎2a7，b8＝‎2a8＝4b7，‎ 有‎2a8＝4×‎2a7＝‎2a7＋2.‎ 解得d＝a8－a7＝2.‎ 所以Sn＝na1＋d＝－2n＋n(n－1)＝n2－3n.‎ ‎(2)函数f(x)＝2x在(a2，b2)处的切线方程为y－‎2a2＝(‎2a2 ln 2)(x－a2)，‎ ‎【感悟提升】‎ ‎1．数列与函数的综合问题主要有以下两类 ‎(1)已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题；‎ ‎(2)已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要充分利用数列的范围、公式、求和方法对式子化简变形．‎ ‎2．解题时要注意数列与函数的内在联系，灵活运用函数的思想方法求解，在问题的求解过程中往往会遇到递推数列，因此掌握递推数列的常用解法有助于该类问题的解决．Ziyuanku.comZiyuanku.com ‎ ‎