数学理·甘肃省武威二中2017届高三上学期第一次月考数学试卷(理科) Word版含解析

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数学理·甘肃省武威二中2017届高三上学期第一次月考数学试卷(理科) Word版含解析

全*品*高*考*网, 用后离不了!2016-2017学年甘肃省武威二中高三(上)第一次月考数学试卷(理科)‎ ‎ ‎ 一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合A={x|0<x<4},B={x|x2+x﹣12≤0},则A∩B等于(  )‎ A.{x|0<x≤3} B.{x|3≤x<4} C.{x|0<x<4} D.{x|﹣4≤x<4}‎ ‎2. sinxdx的值为(  )‎ A. B.π C.1 D.2‎ ‎3.曲线y=x+ex在点(0,1)处的切线方程为(  )‎ A.2x+y﹣1=0 B.x+2y﹣1=0 C.2x﹣y+1=0 D.x﹣2y+1=0‎ ‎4.命题“若整数a、b中至少有一个是偶数,则ab是偶数”的逆否命题为(  )‎ A.若整数a,b中至多有一个偶数,则ab是偶数 B.若整数a,b都不是偶数,则ab不是偶数 C.若ab不是偶数,则整数a,b都不是偶数 D.若ab不是偶数,则整数a,b不都是偶数 ‎5.函数f(x)=2﹣在[0,1]上的最小值为(  )‎ A.0 B. C.1 D.‎ ‎6.已知m=log0.58,n=3.2﹣3,p=3.20.3,则实数m,n,p的大小关系为(  )‎ A.m<p<n B.m<n<p C.n<m<p D.n<p<m ‎7.“a=1”是“函数f(x)=x2+2ax﹣2在区间(﹣∞,﹣1]上单调递减”的(  )‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎8.已知函数y=f(x)的定义域为{x|x∈R,且x≠0},且满足f(x)﹣f(﹣x)=0,当x>0时,f(x)=lnx﹣x+1,则函数y=f(x)的大致图象为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎9.下列函数中,既是偶函数,又在(2,4)上单调递增的函数为(  )‎ A.f(x)=2x+x B.‎ C.f(x)=﹣x|x| D.‎ ‎10.已知使关于x的不等式+1≥﹣对任意的x∈(0,+∞)恒成立的实数m的取值集合为A,函数f(x)=的值域为B,则有(  )‎ A.B⊆∁RA B.A⊆∁RB C.B⊆A D.A⊆B ‎11.已知函数f(x)=(2k﹣1)lnx++2x,有以下命题:‎ ‎①当k=﹣时,函数f(x)在(0,)上单调递增;‎ ‎②当k≥0时,函数f(x)在(0,+∞)上有极大值;‎ ‎③当﹣<k<0时,函数f(x)在(,+∞)上单调递减;‎ ‎④当k<﹣时,函数f(x)在(0,+∞)上有极大值f(),有极小值f(﹣k).‎ 其中不正确命题的序号是(  )‎ A.①③ B.②③ C.①④ D.②④‎ ‎12.已知f(x)=,若方程f(x)﹣4ax=a(a≠0)有唯一解,则实数a的取值范围是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎ ‎ 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分,将答案填在答题纸上 ‎13.命题“∃x0∈R,sinx0+2x02>cosx0”的否定为  .‎ ‎14.若函数f(x)=ax(a>0且a≠1)在[﹣2,1]上的最大值为4,最小值为b,且函数g(x)=(2﹣7b)x是减函数,则a+b=  .‎ ‎15.满足的所有点M(x,y)构成的图形的面积为  .‎ ‎16.已知奇函数f(x)的定义域为R,且f(1﹣x)=f(1+x),当﹣2<x≤﹣1时,f(x)=﹣log(2+x),则函数y=2f(x)﹣1在(0,8)内的所有零点之和为  .‎ ‎ ‎ 三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)‎ ‎17.已知集合A={x|1<x≤5},集合B={x|≥0}.‎ ‎(1)求A∩B;‎ ‎(2)若集合C={x|a≤x≤4a﹣3},且C∪A=A,求实数a的取值范围.‎ ‎18.已知函数f(x)=ax3﹣x2(a>0),x∈[0,+∞).‎ ‎(1)若a=1,求函数f(x)在[0,1]上的最值;‎ ‎(2)若函数y=f'(x)的递减区间为A,试探究函数y=f(x)在区间A上的单调性.‎ ‎19.已知定义在[﹣1,1]上的函数f(x)的图象关于原点对称,且函数f(x)在[﹣1,1]上为减函数.‎ ‎(1)证明:当x1+x2≠0时,<0;‎ ‎(2)若f(m2﹣1)+f(m﹣1)>0,求实数m的取值范围.‎ ‎20.已知p:∃x∈(0,+∞),x2﹣2elnx≤m;q:函数y=()在[2,+∞)上单调递减.‎ ‎(1)若p∨q为假命题,求实数m的取值范围;‎ ‎(2)若p∨q为真命题,p∧q为假命题,求实数m的取值范围.‎ ‎21.已知函数f(x)=x3+x2﹣ax+1,且f'(1)=4.‎ ‎(1)求函数f(x)的极值;‎ ‎(2)当0≤x≤a+1时,证明:>x.‎ ‎22.某企业接到生产3000台某产品的A,B,C三种部件的订单,每台产品需要这三种部件的数量分别为2,2,1(单位:件).已知每个工人每天可生产A部件6件,或B部件3件,或C部件2件.该企业计划安排200名工人分成三组分别生产这三种部件,生产B部件的人数与生产A部件的人数成正比,比例系数为K(K为正整数).‎ ‎(1)设生产A部件的人数为x,分别写出完成A,B,C三种部件生产需要的时间;‎ ‎(2)假设这三种部件的生产同时开工,试确定正整数K的值,使完成订单任务的时间最短,并给出时间最短时具体的人数分组方案.‎ ‎ ‎ ‎2016-2017学年甘肃省武威二中高三(上)第一次月考数学试卷(理科)‎ 参考答案与试题解析 ‎ ‎ 一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合A={x|0<x<4},B={x|x2+x﹣12≤0},则A∩B等于(  )‎ A.{x|0<x≤3} B.{x|3≤x<4} C.{x|0<x<4} D.{x|﹣4≤x<4}‎ ‎【考点】交集及其运算.‎ ‎【分析】求出B中不等式的解集确定出B,找出A与B的交集即可.‎ ‎【解答】解:由B中不等式变形得:(x﹣3)(x+4)≤0,‎ 解得:﹣4≤x≤3,即B={x|﹣4≤x≤3},‎ ‎∵A={x|0<x<4},‎ ‎∴A∩B={x|0<x≤3},‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ ‎2. sinxdx的值为(  )‎ A. B.π C.1 D.2‎ ‎【考点】定积分.‎ ‎【分析】直接利用定积分公式求解即可.‎ ‎【解答】解: sinxdx=(﹣cosx)=﹣cosπ+cos0=2.‎ 故选:D.‎ ‎ ‎ ‎3.曲线y=x+ex在点(0,1)处的切线方程为(  )‎ A.2x+y﹣1=0 B.x+2y﹣1=0 C.2x﹣y+1=0 D.x﹣2y+1=0‎ ‎【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程.‎ ‎【分析】求函数的导数,利用导数的几何意义即可求切线方程.‎ ‎【解答】解:∵y=f(x)=x+ex,‎ ‎∴f'(x)=1+ex,‎ ‎∴在点(0,1)处切线斜率k=f'(0)=1+1=2,‎ ‎∴在点(0,1)处切线方程为y﹣1=2(x﹣0)=2x,‎ 即2x﹣y+1=0,‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ ‎4.命题“若整数a、b中至少有一个是偶数,则ab是偶数”的逆否命题为(  )‎ A.若整数a,b中至多有一个偶数,则ab是偶数 B.若整数a,b都不是偶数,则ab不是偶数 C.若ab不是偶数,则整数a,b都不是偶数 D.若ab不是偶数,则整数a,b不都是偶数 ‎【考点】四种命题间的逆否关系.‎ ‎【分析】先否定原命题的题设做结论,再否定原命题的结论做题设,即得到原命题的逆否命题.‎ ‎【解答】解:命题“若整数a、b中至少有一个是偶数,则ab是偶数”的逆否命题“若ab不是偶数,则整数a,b都不是偶数“,‎ 故选:C ‎ ‎ ‎5.函数f(x)=2﹣在[0,1]上的最小值为(  )‎ A.0 B. C.1 D.‎ ‎【考点】利用导数求闭区间上函数的最值.‎ ‎【分析】求出函数的导数,根据x的范围,判断函数的单调性,从而求出函数的最小值即可.‎ ‎【解答】解:f′(x)=﹣x=,‎ ‎∵x∈[0,1],‎ ‎∴1﹣x≥0,‎ ‎∴f′(x)≥0,‎ ‎∴f(x)在[0,1]递增,‎ ‎∴f(x)min=f(0)=0,‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ ‎6.已知m=log0.58,n=3.2﹣3,p=3.20.3,则实数m,n,p的大小关系为(  )‎ A.m<p<n B.m<n<p C.n<m<p D.n<p<m ‎【考点】对数值大小的比较.‎ ‎【分析】根据对数以及指数函数的性质判断大小即可.‎ ‎【解答】解:∵m=log0.58<0,0<n=3.2﹣3<1,p=3.20.3>1,‎ ‎∴m<n<p,‎ 故选:B.‎ ‎ ‎ ‎7.“a=1”是“函数f(x)=x2+2ax﹣2在区间(﹣∞,﹣1]上单调递减”的(  )‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.‎ ‎【分析】利用二次函数的单调性可得a的取值范围,再利用简易逻辑的判定方法即可得出.‎ ‎【解答】解:函数f(x)=x2+2ax﹣2=(x+a)2﹣a2﹣2在区间(﹣∞,﹣1]内单调递减,‎ ‎∴a≥﹣1.‎ ‎∴“a=1”是“函数f(x)=x2+2ax﹣2在区间(﹣∞,﹣1]上单调递减的充分不必要条件.‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ ‎8.已知函数y=f(x)的定义域为{x|x∈R,且x≠0},且满足f(x)﹣f(﹣x)=0,当x>0时,f(x)=lnx﹣x+1,则函数y=f(x)的大致图象为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【考点】函数的图象.‎ ‎【分析】利用函数的奇偶性排除选项,然后利用特殊值判断点的坐标即可得到结果.‎ ‎【解答】解:函数y=f(x)的定义域为{x|x∈R,且x≠0},且满足f(x)﹣f(﹣x)=0,可知函数是偶函数,选项A、B错误,当x>0时,f(x)=lnx﹣x+1,当x=2时,f(2)=ln2﹣2+1<0,‎ 所以C错误,D正确.‎ 故选:D.‎ ‎ ‎ ‎9.下列函数中,既是偶函数,又在(2,4)上单调递增的函数为(  )‎ A.f(x)=2x+x B.‎ C.f(x)=﹣x|x| D.‎ ‎【考点】函数单调性的判断与证明;函数奇偶性的判断.‎ ‎【分析】利用偶函数的定义与函数的单调性即可判断出结论.‎ ‎【解答】解:利用偶函数的定义:在定义域内,满足f(﹣x)=f(x),即为偶函数,只有B,D满足,‎ 又在(2,4)上单调递增的函数为D.‎ 故选:D.‎ ‎ ‎ ‎10.已知使关于x的不等式+1≥﹣对任意的x∈(0,+∞)恒成立的实数m的取值集合为A,函数f(x)=的值域为B,则有(  )‎ A.B⊆∁RA B.A⊆∁RB C.B⊆A D.A⊆B ‎【考点】函数恒成立问题.‎ ‎【分析】集合A,分离参数求最值;集合B利用被开方数大于等于0求得,即可得出结论.‎ ‎【解答】解:由题意,m≤2lnx+x+.‎ 令y=2lnx+x+,则y′=,∴0<x<1时,y′<0,x>1时,y′>0,‎ ‎∴函数在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,‎ ‎∴x=1时,ymin=4,‎ ‎∴A=(﹣∞,4];‎ ‎∵函数f(x)=的值域为B=[﹣4,4],‎ ‎∴B⊆A.‎ 故选C.‎ ‎ ‎ ‎11.已知函数f(x)=(2k﹣1)lnx++2x,有以下命题:‎ ‎①当k=﹣时,函数f(x)在(0,)上单调递增;‎ ‎②当k≥0时,函数f(x)在(0,+∞)上有极大值;‎ ‎③当﹣<k<0时,函数f(x)在(,+∞)上单调递减;‎ ‎④当k<﹣时,函数f(x)在(0,+∞)上有极大值f(),有极小值f(﹣k).‎ 其中不正确命题的序号是(  )‎ A.①③ B.②③ C.①④ D.②④‎ ‎【考点】命题的真假判断与应用.‎ ‎【分析】求函数的导数,分别利用函数单调性和导数之间的关系进行判断即可.‎ ‎【解答】解:函数的定义域为(0,+∞),‎ 函数的导数f′(x)=﹣+2===,‎ ‎①当k=﹣时,f′(x)=≥0恒成立,则函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,‎ 则在(0,)上单调递增,故①正确;‎ ‎②当k≥0时,由f′(x)>0得x>,此时函数为增函数,‎ 由f′(x)<0,得0<x<,此时函数为减函数,即当x=时,函数f(x)存在极小值,‎ 即可函数f(x)在(0,+∞)上有极大值错误,故②错误;‎ ‎③当﹣<k<0时,则0<﹣k<,‎ 由f′(x)<0得﹣k<x<,‎ 由f′(x)>0得0<x<﹣k或x>,即函数f(x)在(,+∞)上单调递增;故③错误,‎ ‎④当k<﹣时,﹣k>,由f′(x)>0得0<x<或x>﹣k,此时函数单调递增,‎ 由f′(x)<0得<x<﹣k,即函数为减函数,‎ 即函数f(x)在(0,+∞)上有极大值f(),有极小值f(﹣k).故④正确,‎ 故不正确命题的序号②③,‎ 故选:B ‎ ‎ ‎12.已知f(x)=,若方程f(x)﹣4ax=a(a≠0)有唯一解,则实数a的取值范围是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【考点】根的存在性及根的个数判断.‎ ‎【分析】求出f(x)的表达式,画出函数图象,结合图象求出a的范围即可,‎ ‎【解答】解:令﹣1<x<0,则0<x+1<1,‎ 则f(x+1)=x+1,‎ 故f(x)=,‎ 如图示:‎ 由f(x)﹣4ax=a(a≠0),‎ 得:f(x)=a(4x+1),‎ 函数y=a(4x+1)恒过(﹣,0),‎ 故KAB==,‎ 若方程f(x)﹣4ax=a(a≠0)有唯一解,‎ 则4a≥,解得:a≥,‎ 当4ax+a=﹣1即图象相切时,‎ 根据△=0,解得:a=﹣1,‎ 故选:D.‎ ‎ ‎ 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分,将答案填在答题纸上 ‎13.命题“∃x0∈R,sinx0+2x02>cosx0”的否定为 ∀x∈R,sinx+2x2≤cosx .‎ ‎【考点】命题的否定.‎ ‎【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可.‎ ‎【解答】解:因为特称命题的否定是全称命题,所以,命题“∃x0∈R,sinx0+2x02>cosx0”的否定为:∀x∈R,sinx+2x2≤cosx.‎ 故答案为:∀x∈R,sinx+2x2≤cosx.‎ ‎ ‎ ‎14.若函数f(x)=ax(a>0且a≠1)在[﹣2,1]上的最大值为4,最小值为b,且函数g(x)=(2﹣7b)x是减函数,则a+b= 1 .‎ ‎【考点】函数与方程的综合运用.‎ ‎【分析】根据指数函数的图象及性质求其在[﹣2,1]的最值关系,再由g(x)=(2﹣7b)x是减函数,2﹣7b<0,求出a、b的值即可.‎ ‎【解答】解:由题意,函数g(x)=(2﹣7b)x是减函数;‎ ‎∴2﹣7b<0,‎ 解得b>;‎ 根据指数函数的图象及性质可知:‎ 当a>1时,函数f(x)=ax在[﹣2,1]上是在增函数,‎ 则有a﹣2=b,a=4,‎ 解得:b=,不满足题意,故a≠4;‎ 当1>a>0时,函数f(x)=ax在[﹣2,1]上是减函数,‎ 则有a﹣2=4,a=b,‎ 解得:a=,b=,满足题意,‎ 故a+b=1.‎ 故答案为:1.‎ ‎ ‎ ‎15.满足的所有点M(x,y)构成的图形的面积为  .‎ ‎【考点】简单线性规划的应用.‎ ‎【分析】画出可行域,求出A,B坐标,利用定积分求解区域的面积即可.‎ ‎【解答】解:满足的所有点M(x,y)构成的图形如图:,可得A(2,3),B(,0).‎ 所求区域的面积为:‎ ‎=‎ ‎==.‎ 故答案为:.‎ ‎ ‎ ‎16.已知奇函数f(x)的定义域为R,且f(1﹣x)=f(1+x),当﹣2<x≤﹣1时,f(x)=﹣log(2+x),则函数y=2f(x)﹣1在(0,8)内的所有零点之和为 12 .‎ ‎【考点】抽象函数及其应用.‎ ‎【分析】求出f(x)的对称轴和周期,做出f(x)的函数图象,根据函数的对称性得出答案.‎ ‎【解答】解:∵f(x)是奇函数,f(1﹣x)=f(1+x),‎ ‎∴f(x+1)=f(1﹣x)=﹣f(x﹣1),‎ f(x+3)=f(﹣1﹣x)=﹣f(x+1),‎ ‎∴f(x﹣1)=f(x+3),‎ ‎∴f(x)的周期为4,‎ 又f(1﹣x)=f(1+x),f(x)是奇函数,‎ ‎∴f(x)关于直线x=1对称,f(x)根与原点对称,‎ 做出f(x)的函数图象如图所示:‎ 令y=2f(x)﹣1=0得f(x)=,‎ 由图象可知f(x)=共有4个解,分别关于x=1和x=5对称,‎ 设4个解分别为x1,x2,x3,x4,则x1+x2=2,x3+x4=10,‎ ‎∴x1+x2+x3+x4=12.‎ 故答案为12.‎ ‎ ‎ 三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)‎ ‎17.已知集合A={x|1<x≤5},集合B={x|≥0}.‎ ‎(1)求A∩B;‎ ‎(2)若集合C={x|a≤x≤4a﹣3},且C∪A=A,求实数a的取值范围.‎ ‎【考点】交集及其运算;并集及其运算.‎ ‎【分析】(1)求出B中不等式的解集确定出B,找出A与B的交集即可;‎ ‎(2)由C与A的并集为A,得到C为A的子集,分C为空集与不为空集两种情况求出a的范围即可.‎ ‎【解答】解:(1)由B中不等式变形得:(2x﹣5)(x﹣6)≥0,‎ 解得:x≤或x>6,即B={x|x≤或x>6},‎ ‎∵A={x|1<x≤5},‎ ‎∴A∩B={x|1<x≤};‎ ‎(2)∵C∪A=A,∴C⊆A,‎ ‎①当4a﹣3<a,即a<1时,C=∅,满足题意;‎ ‎②当4a﹣3≥a,即a≥1时,要使C⊆A,则有,‎ 解得:1<a≤2,‎ 综上所述,实数a的取值范围为(﹣∞,1)∪(1,2].‎ ‎ ‎ ‎18.已知函数f(x)=ax3﹣x2(a>0),x∈[0,+∞).‎ ‎(1)若a=1,求函数f(x)在[0,1]上的最值;‎ ‎(2)若函数y=f'(x)的递减区间为A,试探究函数y=f(x)在区间A上的单调性.‎ ‎【考点】变化的快慢与变化率;利用导数研究函数的单调性.‎ ‎【分析】(1)根据导数和函数的最值的关系即可求出,‎ ‎(2)根据导数和函数的单调性即可求求出.‎ ‎【解答】解:(1)依题意,f'(x)=3x2﹣x=x(3x﹣1),‎ 当时,f'(x)<0,‎ 当时,f'(x)>0,‎ 所以当时,‎ 函数f(x)有最小值,‎ 又,故函数f(x)在[0,1]上的最大值为,最小值为,‎ ‎(2)依题意,f'(x)=3ax2﹣x,因为(3ax2﹣x)′=6ax﹣1<0,‎ 所以f'(x)的递减区间为.‎ 当时,f'(x)=3ax2﹣x=x(3ax﹣1)<0,‎ 所以f(x)在f'(x)的递减区间上也递减.‎ ‎ ‎ ‎19.已知定义在[﹣1,1]上的函数f(x)的图象关于原点对称,且函数f(x)在[﹣1,1]上为减函数.‎ ‎(1)证明:当x1+x2≠0时,<0;‎ ‎(2)若f(m2﹣1)+f(m﹣1)>0,求实数m的取值范围.‎ ‎【考点】抽象函数及其应用;函数单调性的判断与证明;函数单调性的性质.‎ ‎【分析】(1)结合已知中函数的单调性,分x1+x2>0时和x1+x2<0时两种情况讨论,可证得当x1+x2≠0时,<0;‎ ‎(2)若f(m2﹣1)+f(m﹣1)>0,则f(m2﹣1)>f(1﹣m),则﹣1≤m2﹣1<1﹣m≤1,解得答案.‎ ‎【解答】证明:(1)∵定义在[﹣1,1]上的函数f(x)的图象关于原点对称,且函数f(x)在[﹣1,1]上为减函数.‎ 当x1+x2>0时,x1>﹣x2,f(x1)<f(﹣x2)=﹣f(x2),即f(x1)+f(x2)<0,‎ 此时<0;‎ 当x1+x2<0时,x1<﹣x2,f(x1)>f(﹣x2)=﹣f(x2),即f(x1)+f(x2)>0,‎ 此时<0;‎ 综上可得:当x1+x2≠0时,<0;‎ 解:(2)若f(m2﹣1)+f(m﹣1)>0,‎ 则f(m2﹣1)>﹣f(m﹣1)=f(1﹣m),‎ 故﹣1≤m2﹣1<1﹣m≤1,‎ 解得:m∈(﹣2,1),‎ ‎∴实数m的取值范围为 (﹣2,1).‎ ‎ ‎ ‎20.已知p:∃x∈(0,+∞),x2﹣2elnx≤m;q:函数y=()在[2,+∞)上单调递减.‎ ‎(1)若p∨q为假命题,求实数m的取值范围;‎ ‎(2)若p∨q为真命题,p∧q为假命题,求实数m的取值范围.‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性;复合命题的真假.‎ ‎【分析】分别求出p,q为真时m的范围,(1)根据p,q都为假,求出m的范围是空集;(2)根据p,q一真一假,得到关于m的不等式组,解出即可.‎ ‎【解答】解:设f(x)=x2﹣2elnx,(x>0),‎ 若∃x∈(0,+∞),x2﹣2elnx≤m,‎ 则只需m≥f(x)min即可,‎ 由f′(x)=,‎ 令f′(x)>0,解得:x>,‎ 令f′(x)<0,解得:0<x<,‎ ‎∴f(x)在(0,)递减,在(,+∞)递增,‎ ‎∴f(x)min=f()=0,故m≥0,‎ 故p:m≥0;‎ 若函数y=()在[2,+∞)上单调递减,‎ 则y=2x2﹣mx+2在[2,+∞)递增,‎ 则对称轴x=﹣≤2,解得:m≤8,‎ 故q:m≤8;‎ ‎(1)若p∨q为假命题,则p假q假,‎ 则,无解;‎ ‎(2)若p∨q为真命题,p∧q为假命题,‎ 则p,q一真一假,‎ 故或,‎ 解得:m>8或m<0.‎ ‎ ‎ ‎21.已知函数f(x)=x3+x2﹣ax+1,且f'(1)=4.‎ ‎(1)求函数f(x)的极值;‎ ‎(2)当0≤x≤a+1时,证明:>x.‎ ‎【考点】利用导数研究函数的极值;导数在最大值、最小值问题中的应用.‎ ‎【分析】(1)求出函数的导数,求出a的值,解关于导函数的不等式,求出函数的单调区间,从而求出函数的极值即可;‎ ‎(2)令,通过求导得到函数的单调性,通过讨论x的范围证出结论即可.‎ ‎【解答】解:(1)依题意,f'(x)=3x2+2x﹣a,f'(1)=3+2﹣a=4,a=1,‎ 故f'(x)=3x2+2x﹣1=(3x﹣1)(x+1),‎ 令f'(x)>0,则x<﹣1或; 令f'(x)<0,则,‎ 故当x=﹣1时,函数f(x)有极大值f(﹣1)=2,‎ 当时,函数f(x)有极小值…‎ 证明:(2)由(1)知a=1,令,‎ 则,‎ 可知φ(x)在(0,1)上单调递增,在(1,2)上单调递减,令g(x)=x.‎ ‎①当x∈[0,1]时,φ(x)min=φ(0)=1,g(x)max=1,‎ 所以函数φ(x)的图象在g(x)图象的上方.‎ ‎②当x∈[1,2]时,函数φ(x)单调递减,‎ 所以其最小值为最大值为2,而,‎ 所以函数φ(x)的图象也在g(x)图象的上方.‎ 综上可知,当0≤x≤a+1时,…‎ ‎ ‎ ‎22.某企业接到生产3000台某产品的A,B,C三种部件的订单,每台产品需要这三种部件的数量分别为2,2,1(单位:件).已知每个工人每天可生产A部件6件,或B部件3件,或C部件2件.该企业计划安排200名工人分成三组分别生产这三种部件,生产B部件的人数与生产A部件的人数成正比,比例系数为K(K为正整数).‎ ‎(1)设生产A部件的人数为x,分别写出完成A,B,C三种部件生产需要的时间;‎ ‎(2)假设这三种部件的生产同时开工,试确定正整数K的值,使完成订单任务的时间最短,并给出时间最短时具体的人数分组方案.‎ ‎【考点】函数模型的选择与应用.‎ ‎【分析】(1)设完成A,B,C三种部件生产需要的时间分别为T1(x),T2(x),T3(x),则可得,,;‎ ‎(2)完成订单任务的时间为f(x)=max{T1(x),T2(x),T3(x)},其定义域为,可得T1(x),T2(x)为减函数,T3(x)为增函数,T2(x)=T1(x),分类讨论:①当k=2时,T2(x)=T1(x),f(x)=max{T1(x),T3(x)}=max{},利用基本不等式求出完成订单任务的最短时间;②当k≥3时,T2(x)<T1(x),记,为增函数,φ(x)=max{T1(x),T(x)}f(x)=max{T1(x),T3(x)}≥max{T1(x),T(x)}=max{},利用基本不等式求出完成订单任务的最短时间;③当k<2时,k=1,f(x)=max{T2(x),T3(x)}=max{},利用基本不等式求出完成订单任务的最短时间,从而问题得解.‎ ‎【解答】解:(1)设写出完成A,B,C三种部件生产需要的时间分别为T1(x),T2(x),T3(x)‎ ‎∴,,‎ 其中x,kx,200﹣(1+k)x均为1到200之间的正整数 ‎(2)完成订单任务的时间为f(x)=max{T1(x),T2(x),T3(x)},其定义域为 ‎∴T1(x),T2(x)为减函数,T3(x)为增函数,T2(x)=T1(x)‎ ‎①当k=2时,T2(x)=T1(x),f(x)=max{T1(x),T3(x)}=max{}‎ ‎∵T1(x),T3(x)为增函数,∴当时,f(x)取得最小值,此时x=‎ ‎∵,,,f(44)<f(45)‎ ‎∴x=44时,完成订单任务的时间最短,时间最短为 ‎②当k≥3时,T2(x)<T1(x),‎ 记,为增函数,φ(x)=max{T1(x),T(x)}‎ f(x)=max{T1(x),T3(x)}≥max{T1(x),T(x)}=max{}‎ ‎∵T1(x)为减函数,T(x)为增函数,∴当时,φ(x)取得最小值,此时x=‎ ‎∵,,‎ ‎∴完成订单任务的时间大于 ‎③当k<2时,k=1,f(x)=max{T2(x),T3(x)}=max{}‎ ‎∵T2(x)为减函数,T3(x)为增函数,∴当时,φ(x)取得最小值,此时x=‎ 类似①的讨论,此时完成订单任务的时间为,大于 综上所述,当k=2时,完成订单任务的时间最短,此时,生产A,B,C三种部件的人数分别为44,88,68.‎ ‎ ‎ ‎2016年12月15日
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