2020届二轮复习分类讨论的思想教案（全国通用）

2020届二轮复习分类讨论的思想教案（全国通用）

高考冲刺 分类讨论的思想 ‎【高考展望】‎ 数学中的分类讨论贯穿教材的各个部分，它不仅形式多样，而且具有很强的综合性和逻辑性.‎ 分类讨论是解决问题的一种逻辑方法，也是一种数学思想，这种思想对于简化研究对象，发展人的思维有着重要帮助，因此，有关分类讨论的数学命题在高考试题中占有重要位置。所谓分类讨论，就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，就需要对研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出每一类的结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答.实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学策略.分类讨论思想是一种重要的数学思想，它在人的思维发展中有着重要的作用，因此在近几年的高考试题中，他都被列为一种重要的思维方法来考察。‎ 分类讨论是每年高考必考的内容，高考对本专题的考察为：将有一道中档或中档偏上的题目，其求解思路直接依赖于分类讨论，特别关注以下方面：涉及指数、对数底的讨论，含参数的一元二次不等式、等比数列求和，由求等。‎ ‎【知识升华】‎ ‎1．分类讨论的常见情形 ‎（1）由数学概念引起的分类讨论：主要是指有的概念本身是分类的，在不同条件下有不同结论，则必须进行分类讨论求解，如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等.‎ ‎（2）由性质、定理、公式引起的分类讨论：有的数学定理、公式、性质是分类给出的，在不同条件下结论不一致，如二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，由a的正负而导致开口方向不确定，等比数列前n项和公式因公比q是否为1而导致公式的表达式不确定等.‎ ‎（3）由某些数学式子变形引起的分类讨论：有的数学式子本身是分类给出的，如ax2+bx+c＞0，a=0，a＜0，a＞0解法是不同的.‎ ‎（4）由图形引起的分类讨论：有的图形的类型、位置也要分类，如角的终边所在象限，点、线、面的位置关系等.‎ ‎（5）由实际意义引起的讨论：此类问题在应用题中常见.‎ ‎（6）由参数变化引起的讨论：所解问题含有参数时，必须对参数的不同取值进行分类讨论；含有参数的数学问题中，参变量的不同取值，使得变形受限导致不同的结果.‎ ‎2.分类的原则 ‎（1）每次分类的对象是确定的，标准是同一的；‎ 分类讨论问题的难点在于什么时候开始讨论，即认识为什么要分类讨论，又从几方面开始讨论，只有明确了讨论原因，才能准确、恰当地进行分类与讨论.这就要求我们准确掌握所用的概念、定理、定义，考虑问题要全面.‎ 函数问题中的定义域，方程问题中根之间的大小，直线与二次曲线位置关系中的判别式等等，常常是分类讨论划分的依据.‎ ‎（2）每次分类的对象不遗漏、不重复、分层次、不越级讨论.‎ 当问题中出现多个不确定因素时，要以起主导作用的因素进行划分，做到不重不漏，然后对划分的每一类分别求解，再整合后得到一个完整的答案.数形结合是简化分类讨论的重要方法.‎ ‎3.分类讨论的一般步骤 第一，明确讨论对象，确定对象的范围；‎ 第二，确定分类标准，进行合理分类，做到不重不漏；‎ 第三，逐类讨论，获得阶段性结果；‎ 第四，归纳总结，得出结论.‎ ‎4. 分类讨论应注意的问题 第一，按主元分类的结果应求并集.‎ 第二，按参数分类的结果要分类给出.‎ 第三，分类讨论是一种重要的解题策略，但这种分类讨论的方法有时比较繁杂，若有可能，应尽量避免分类.‎ ‎【典型例题】‎ 类型一、不等式中参数的讨论问题 ‎【例1】解关于的不等式：.‎ ‎【思路点拨】依据式子的特点，此题应先按对最高次项的系数是否为0来分类，然后对式子分解因式，并按两个根之间的大小关系来分类讨论.而对于与时，先写简单好作的.‎ ‎【解析】‎ ‎（1）当时，原不等式化为一次不等式：，∴；‎ ‎（2）当时，原不等式变为：，‎ ‎①若，则原不等式化为 ‎∵，∴，∴不等式解为或，‎ ‎②若，则原不等式化为，‎ ‎（ⅰ）当时，，不等式解为，‎ ‎（ⅱ）当时，，不等式解为；‎ ‎（ⅲ）当时，，不等式解为，‎ 综上所述，原不等式的解集为：‎ 当时，解集为；‎ 当时，解集为{x|x＞1}；‎ 当时，解集为；‎ 当时，解集为；‎ 当时，解集为.‎ 总结升华：‎ 这是一个含参数a的不等式，一定是二次不等式吗？不一定，故首先对二次项系数a分类：（1）a≠0（2）a=0，对于（2），不等式易解；对于（1），又需再次分类：a>0或a<0，因为这两种情形下，不等式解集形式是不同的；不等式的解是在两根之外，还是在两根之间。而确定这一点之后，又会遇到1与谁大谁小的问题，因而又需作一次分类讨论。故而解题时，需要作三级分类。‎ 举一反三：‎ ‎【变式】解关于的不等式:（）.‎ ‎【解析】原不等式可分解因式为: ，‎ ‎（下面按两个根与的大小关系分类）‎ ‎（1）当，即或时，不等式为或，不等式的解集为：；‎ ‎（1）当，即时，不等式的解集为：；‎ ‎（2）当，即或时，不等式的解集为：；‎ 综上所述，原不等式的解集为：‎ 当或时，；‎ 当时，；‎ 当或时，.‎ ‎【例2】解不等式>0 (a为常数，a≠－)‎ ‎【思路点拨】含参数的不等式，参数a决定了‎2a＋1的符号和两根－‎4a、‎6a的大小，故对参数a分四种情况a>0、a＝0、－0时，a>－； －‎4a<‎6a时，a>0 。‎ 所以分以下四种情况讨论：‎ 当a>0时，(x＋‎4a)(x－‎6a)>0，解得：x<－‎4a或x>‎6a；‎ 当a＝0时，x>0，解得：x≠0；‎ 当－0，解得: x<‎6a或x>－‎4a；‎ 当a>－时，(x＋‎4a)(x－‎6a)<0，解得： ‎6a0时，x<－‎4a或x>‎6a；当a＝0时，x≠0；当－－‎4a；当a>－时，‎6a3，不满足题意；‎ ‎(2)当，则，此时，x∈(-1，+∞)时，‎ 即f(x)<3，满足题意为所求.‎ 综上，.‎ ‎【例4】已知函数(),.‎ ‎(1)若曲线与曲线在它们的交点(1,)处具有公共切线,求的值;‎ ‎(2)当时,求函数的单调区间,并求其在区间上的最大值.‎ ‎【思路点拨】(1) 根据曲线y=f（x）与曲线y=g（x）在它们的交点（1，c）处具有公共切线，可知切点处的函数值相等，切点处的斜率相等，故可求a、b的值。‎ ‎(2)利用分类讨论的方法对参数a进行讨论求解。‎ ‎【解析】(1)由为公共切点可得:,则,, ‎ ‎,则,,① ‎ 又,,,即,代入①式可得:. ‎ ‎(2),设 ‎ 则,令,解得:,; ‎ ‎,, ‎ 原函数在单调递增,在单调递减,在上单调递增 ‎ ‎①若,即时,最大值为; ‎ ‎②若,即时,最大值为 ‎ ‎③若时,即时,最大值为. ‎ 综上所述:当时,最大值为;当时,最大值为. ‎ ‎【总结升华】此题应该说是导数题目中较为常规的类型题目,考查的切线、单调性、极值以及最值的问题都是课本中要求的重点内容,也是学生掌握比较好的知识点. ‎ 举一反三：‎ ‎【变式】设，‎ ‎（1）利用函数单调性的意义，判断f(x)在（0，+∞）上的单调性；‎ ‎（2）记f(x)在00，ax1·x2>0‎ ‎∴当00，‎ 即f(x2)>f(x1)，则f(x)在区间（，+∞）单调递增.‎ ‎（2）因为01，即00 (n＝1，2，3…)．‎ ‎(1)求q的取值范围；‎ ‎(2)设bn＝an＋2－an＋1，记{bn}的前n项和为Tn，试比较Sn与Tn的大小．‎ ‎【思路点拨】(1)根据条件列出关于q的不等式，注意分类讨论．(2)能否判断{bn}为特殊数列进而求和作差、作商比较大小．‎ ‎【解析】(1)∵{an}是等比数列，Sn>0，可得a1＝S1>0，q≠0，‎ 当q＝1时，Sn＝na1>0；‎ 当q≠1时，Sn＝，即 (n＝1,2,3，…)，‎ 上式等价于①　(n＝1,2,3，…)‎ 或② (n＝1,2,3，…)，‎ 解①式得q>1；‎ 解②式，由于n可为奇数、可为偶数，故－10且－10，所以 当－12时，Tn－Sn>0，即Tn>Sn；‎ 当－bn；当n=10时，Sn=bn；当n≥11时，Sn

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