【数学】2018届一轮复习人教A版7-1　不等关系与不等式　学案

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【数学】2018届一轮复习人教A版7-1　不等关系与不等式　学案

‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎1．两个实数比较大小的方法 ‎(1)作差法 (a，b∈R)；‎ ‎(2)作商法 (a∈R，b>0)．‎ ‎2．不等式的基本性质 性质 性质内容 特别提醒 对称性 a>b⇔bb，b>c⇒a>c ‎⇒‎ 可加性 a>b⇔a＋c>b＋c ‎⇔‎ 可乘性 ⇒ac>bc 注意c的符号 ⇒acb＋d ‎⇒‎ 同向同正可乘性 ⇒ac>bd ‎⇒‎ 可乘方性 a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥1)‎ a，b同为正数 可开方性 a>b>0⇒>(n∈N，n≥2)‎ ‎3.不等式的一些常用性质 ‎(1)倒数的性质 ‎①a>b，ab>0⇒<.‎ ‎②a<0b>0,0.‎ ‎④0b>0，m>0，则 ‎①<；>(b－m>0)．‎ ‎②>；<(b－m>0)．‎ ‎【思考辨析】‎ 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)‎ ‎(1)两个实数a，b之间，有且只有a>b，a＝b，a1，则a>b.(　×　)‎ ‎(3)一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数，不等号方向不变．(　×　)‎ ‎(4)一个非零实数越大，则其倒数就越小．(　×　)‎ ‎(5)a>b>0，c>d>0⇒>.(　√　)‎ ‎(6)若ab>0，则a>b⇔<.(　√　)‎ ‎1．设a B.> C．|a|>－b D.> 答案　B 解析　由题设得a不成立．‎ ‎2．(教材改编)若a，b都是实数，则“－>0”是“a2－b2>0”的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案　A 解析　－>0⇒> ‎⇒a>b⇒a2>b2，‎ 但由a2－b2>0⇏－>0.‎ ‎3．若a，b∈R，且a＋|b|<0，则下列不等式中正确的是(　　)‎ A．a－b>0 B．a3＋b3>0‎ C．a2－b2<0 D．a＋b<0‎ 答案　D 解析　由a＋|b|<0知，a<0，且|a|>|b|，‎ 当b≥0时，a＋b<0成立，‎ 当b<0时，a＋b<0成立，∴a＋b<0.故选D.‎ ‎4．如果a∈R，且a2＋a<0，则a，a2，－a，－a2的大小关系是________________．‎ 答案　a<－a2－1，∴－a21且2a<1，‎ ‎∴a<2b·a＝2a(1－a)＝－2a2＋2a ‎＝－22＋<.‎ 即a<2ab<，‎ 又a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1－2ab>1－＝，‎ 即a2＋b2>，‎ a2＋b2－b＝(1－b)2＋b2－b＝(2b－1)(b－1)，‎ 又2b－1>0，b－1<0，∴a2＋b2－b<0，‎ ‎∴a2＋b2N C．M＝N D．不确定 ‎(2)若a＝，b＝，c＝，则(　　)‎ A．a0，即M－N>0.‎ ‎∴M>N.‎ ‎(2)方法一　易知a，b，c都是正数，＝ ‎＝log8164<1，‎ 所以a>b；‎ ＝＝log6251 024>1，‎ 所以b>c.即ce时，函数f(x)单调递减．‎ 因为e<3<4<5，所以f(3)>f(4)>f(5)，‎ 即cB ‎(2)若a＝1816，b＝1618，则a与b的大小关系为________．‎ 答案　(1)B　(2)a0,1618>0，‎ ‎∴1816<1618.即aac B．c(b－a)<0‎ C．cb20‎ ‎(2)若<<0，则下列不等式：‎ ‎①a＋b|b|；③a0.‎ 由b>c得ab>ac一定成立．‎ ‎(2)因为<<0，所以b0，‎ 所以a＋b0>b>－a，cbc；②＋<0；③a－c>b－d；④a(d－c)>b(d－c)中成立的个数是(　　)‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ 答案　C 解析　方法一　∵a>0>b，c0，‎ ‎∴ad0>b>－a，∴a>－b>0，‎ ‎∵c－d>0，‎ ‎∴a(－c)>(－b)(－d)，‎ ‎∴ac＋bd<0，∴＋＝<0，故②正确．‎ ‎∵c－d，‎ ‎∵a>b，∴a＋(－c)>b＋(－d)，‎ ‎∴a－c>b－d，故③正确．‎ ‎∵a>b，d－c>0，∴a(d－c)>b(d－c)，‎ 故④正确，故选C.‎ 方法二　取特殊值．‎ 题型三　不等式性质的应用 命题点1　应用性质判断不等式是否成立 例3　已知a>b>0，给出下列四个不等式：‎ ‎①a2>b2；②2a>2b－1；③>－；④a3＋b3>2a2b.‎ 其中一定成立的不等式为(　　)‎ A．①②③ B．①②④‎ C．①③④ D．②③④‎ 答案　A 解析　方法一　由a>b>0可得a2>b2，①成立；‎ 由a>b>0可得a>b－1，而函数f(x)＝2x在R上是增函数，‎ ‎∴f(a)>f(b－1)，即2a>2b－1，②成立；‎ ‎∵a>b>0，∴>，‎ ‎∴()2－(－)2‎ ‎＝2－2b＝2(－)>0，‎ ‎∴>－，③成立；‎ 若a＝3，b＝2，则a3＋b3＝35,2a2b＝36，‎ a3＋b3<2a2b，④不成立．‎ 故选A.‎ 方法二　令a＝3，b＝2，‎ 可以得到①a2>b2，②2a>2b－1，③>－均成立，而④a3＋b3>2a2b不成立，故选A.‎ 命题点2　求代数式的取值范围 例4　已知－1 B．a2bn ‎(2)设a>b>1，c<0，给出下列三个结论：‎ ‎①>；②acloga(b－c)．‎ 其中所有正确结论的序号是(　　)‎ A．① B．①②‎ C．②③ D．①②③‎ 答案　(1)C　(2)D 解析　(1)(特值法)取a＝－2，b＝－1，逐个检验，可知A，B，D项均不正确；‎ C项，<⇔|b|(|a|＋1)<|a|(|b|＋1)‎ ‎⇔|a||b|＋|b|<|a||b|＋|a|⇔|b|<|a|，‎ ‎∵ab>1知<，‎ 又c<0，∴>，①正确；‎ 构造函数y＝xc，‎ ‎∵c<0，∴y＝xc在(0，＋∞)上是减函数，‎ 又a>b>1，∴acb>1，c<0，∴a－c>b－c>1，‎ ‎∴logb(a－c)>loga(a－c)>loga(b－c)，③正确．‎ ‎7．利用不等式变形求范围 典例　设f(x)＝ax2＋bx，若1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，则f(－2)的取值范围是________．‎ 错解展示 解析　由已知得 ‎①＋②得3≤2a≤6，∴6≤4a≤12，‎ 又由①可得－2≤－a＋b≤－1，③‎ ‎②＋③得0≤2b≤3，∴－3≤－2b≤0，‎ 又f(－2)＝4a－2b，∴3≤4a－2b≤12，‎ ‎∴f(－2)的取值范围是[3,12]．‎ 答案　[3,12]‎ 现场纠错 解析　方法一　由 得 ‎∴f(－2)＝4a－2b＝3f(－1)＋f(1)．‎ 又∵1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，‎ ‎∴5≤3f(－1)＋f(1)≤10，故5≤f(－2)≤10.‎ 方法二　由 确定的平面区域如图阴影部分所示，‎ 当f(－2)＝4a－2b过点A(，)时，‎ 取得最小值4×－2×＝5，‎ 当f(－2)＝4a－2b过点B(3,1)时，‎ 取得最大值4×3－2×1＝10，‎ ‎∴5≤f(－2)≤10.‎ 答案　[5,10]‎ 纠错心得　在求式子的范围时，如果多次使用不等式的可加性，式子中的等号不能同时取到，会导致范围扩大.‎ ‎1．已知a>b，c>d，且c，d不为0，那么下列不等式成立的是(　　)‎ A．ad>bc B．ac>bd C．a－c>b－d D．a＋c>b＋d 答案　D 解析　由不等式的同向可加性得a＋c>b＋d.‎ ‎2．(2016·包头模拟)若6y>z，x＋y＋z＝0，则下列不等式成立的是(　　)‎ A．xy>yz B．xz>yz C．xy>xz D．x|y|>z|y|‎ 答案　C 解析　∵x>y>z且x＋y＋z＝0，∴x>0，z<0，‎ 又y>z，∴xy>xz.‎ ‎4．设a，b∈R，则“(a－b)·a2<0”是“ab，则ac2>bc2‎ B．若>，则a>b C．若a3>b3且ab<0，则> D．若a2>b2且ab>0，则< 答案　C 解析　当c＝0时，可知A不正确；‎ 当c<0时，可知B不正确；‎ 对于C，由a3>b3且ab<0，知a>0且b<0，‎ 所以>成立，C正确；‎ 当a<0且b<0时，可知D不正确．‎ ‎7．若a>b>0，则下列不等式中一定成立的是(　　)‎ A．a＋>b＋ B.> C．a－>b－ D.> 答案　A 解析　取a＝2，b＝1，排除B与D；另外，函数f(x)＝x－是(0，＋∞)上的增函数，但函数g(x)＝x＋在(0,1]上递减，在[1，＋∞)上递增，所以，当a>b>0时，f(a)>f(b)必定成立，即a－>b－⇔a＋>b＋，但g(a)>g(b)未必成立，故选A.‎ ‎8．若a>b>0，则下列不等式一定不成立的是(　　)‎ A.< B．log2a>log2b C．a2＋b2≤2a＋2b－2 D．b<<0(由a>b>0，a，b不能同时为1)，‎ ‎∴a2＋b2－2a－2b＋2>0，∴a2＋b2>2a＋2b－2，‎ ‎∴C项一定不成立．‎ ‎9．若不等式(－2)na－3n－1－(－2)n<0对任意正整数n恒成立，则实数a的取值范围是(　　)‎ A. B. C. D. 答案　D 解析　当n为奇数时，2n(1－a)<3n－1,1－a<×n恒成立，只需1－a<×1，∴a>.当n为偶数时，2n(a－1)<3n－1，a－1<×n恒成立，只需a－1<×2，∴a<.‎ 综上，0，bc－ad>0，则－>0；‎ ‎②若ab>0，－>0，则bc－ad>0；‎ ‎③若bc－ad>0，－>0，则ab>0.‎ 其中正确的命题是________．‎ 答案　①②③‎ 解析　∵ab>0，bc－ad>0，‎ ‎∴－＝>0，∴①正确；‎ ‎∵ab>0，又－>0，即>0，‎ ‎∴bc－ad>0，∴②正确；‎ ‎∵bc－ad>0，又－>0，即>0，‎ ‎∴ab>0，∴③正确．故①②③都正确．‎ ‎11．已知a＝log23＋log2，b＝log29－log2，c＝log32，则a，b，c的大小关系是________．‎ 答案　a＝b>c 解析　∵a＝log23＋log2＝log23，‎ b＝log29－log2＝log23，‎ ‎∴a＝b，‎ 又a＝log23>1，c＝log32<1，‎ ‎∴a>c，故a＝b>c.‎ ‎12．设a>b>c>0，x＝，y＝，z＝，则x，y，z的大小关系是________．(用“>”连接)‎ 答案　z>y>x 解析　方法一　y2－x2＝2c(a－b)>0，∴y>x.‎ 同理，z>y，∴z>y>x.‎ 方法二　令a＝3，b＝2，c＝1，则x＝，y＝，‎ z＝，故z>y>x.‎ ‎*13.某单位组织职工去某地参观学习需包车前往．甲车队说：“如果领队买一张全票，其余人可享受7.5折优惠．”乙车队说：“你们属团体票，按原价的8折优惠．”这两个车队的原价、车型都是一样的，试根据单位去的人数比较两车队的收费哪家更优惠．‎ 解　设该单位职工有n人(n∈N*)，全票价为x元/人，坐甲车需花y1元，坐乙车需花y2元，‎ 则y1＝x＋x·(n－1)‎ ‎＝x＋nx，‎ y2＝nx.‎ 所以y1－y2＝x＋nx－nx ‎＝x－nx ‎＝x(1－)．‎ 当n＝5时，y1＝y2；‎ 当n>5时，y1y2.‎ 因此当单位去的人数为5人时，两车队收费同等优惠；‎ 当单位去的人数多于5人时，甲车队收费更优惠；‎ 当单位去的人数少于5人时，乙车队收费更优惠．‎
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