四川省成都市成都市树德中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学（文）试题

四川省成都市成都市树德中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学（文）试题

高2018级高二上期11月阶段性测试数学（文科）‎ ‎（考试时间：120分钟，试卷满分：150分）‎ 第Ⅰ卷（选择题）‎ 一、选择题：本大题共12个小题．每小题只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1.与直线垂直的直线的倾斜角为（ ）．‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出直线的斜率,然后根据两直线垂直斜率之间的关系,可以求出与它垂直的直线的斜率,最后利用斜率与倾斜角之间的关系式,求出倾斜角即可.‎ ‎【详解】,所以该直线的斜率为,设与它垂直的直线的斜率为k,所以有,设与直线垂直的直线的倾斜角为,则有 ‎.‎ 故选：B ‎【点睛】本题考查了由直线方程求直线的斜率,考查了直线的斜率与直线的倾斜角之间的关系,考查了两直线垂直时斜率之间的关系,考查了数学运算能力.‎ ‎2.命题“若,则且”的等价命题是（ ）．‎ A. 若或,则 B. 若且,‎ C. 若,则或 D. 若,则且 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据原命题与逆否命题是等价命题,按照逆否命题的定义直接写出即可.‎ ‎【详解】因为原命题与逆否命题是等价命题,所以命题“若,则且 ‎”的等价命题是若或,则.‎ 故选：A ‎【点睛】本题考查了原命题的等价命题,本题考查了写出一个命题的逆否命题.‎ ‎3.若双曲线的一个顶点在抛物线的准线上，则该双曲线的离心率为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出抛物线的准线，这样可以求出的值，进而可以求出双曲线的离心率.‎ ‎【详解】∵抛物线的准线方程为，∴，则离心率，故本题选B.‎ ‎【点睛】本题考查了抛物线的准线方程、双曲线的离心率、双曲线的顶点坐标.‎ ‎4.如图，是民航部门统计的某年春运期间个城市出售的往返机票的平均价格以及相比上年同期变化幅度的数据统计图表，根据图表，下面叙述不正确的是（ ）‎ A. 深圳的变化幅度最小，北京的平均价格最高.‎ B. 深圳和厦门的平均价格同去年相比有所下降.‎ C. 平均价格从高到低居于前三位的城市为北京、深圳、广州.‎ D. 平均价格的涨幅从高到低居于前三位的城市为天津、西安、厦门.‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 分析】‎ 根据折线的变化率，得到相比去年同期变化幅度、升降趋势，逐一验证即可．‎ ‎【详解】由图可知，选项A、B、C都正确，对于D，因为要判断涨幅从高到低，而不判断变化幅度，所以错误．‎ 故选D．‎ ‎【点睛】本题考查了条形统计图的应用，从图表中准确获取信息是关键，属于中档题．‎ ‎5.下列说法正确的个数是（ ）．‎ ‎①“若,则,中至少有一个不小于2”的逆命题是真命题；‎ ‎②命题“设,若,则或”是一个真命题；‎ ‎③命题,,则是的必要不充分条件；‎ ‎④命题“,使得”的否定是：“，均有”．‎ A. 4 B. 3 C. 2 D. 1‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 说法①：按照逆命题的定义写出“若,则,中至少有一个不小于2”的逆命题,然后通过举特例可以判断该命题是不是真命题；‎ 说法②：根据原命题与逆否命题是等价命题,按逆否命题的定义写出命题“设,若,则或”的逆否命题,然后根据等式的性质可以判断该命题是不是真命题；‎ 说法③：按照必要不充分条件的定义,结合正弦函数的性质可以判断是不是的必要不充分条件；‎ 说法④：根据含存在量词的命题否定的定义就可以判断“,使得”的否定是不是：“，均有”．‎ ‎【详解】说法①：“若,则,中至少有一个不小于2”的逆命题是若,‎ 中至少有一个不小于2”,则,当时,显然满足,中至少有一个不小于2”,但是得不到,所以本说法是错误的；‎ 说法②：命题“设,若,则或”的逆否命题是若且则,显然是真命题,因此原命题也是真命题,所以本说法是正确的；‎ 说法③：当时，显然成立,但是不成立,故由不一定能推出成立,但是由成立,一定能推出,所以本说法是正确的；‎ 说法④：因为命题“,使得”的否定是：“，均有”,所以本说法是正确的.因此一共有3个说法是正确的.‎ 故选：B ‎【点睛】本题考查了必要不充分条件的判断,考查了写含存在量词的否定,考查了原命题、逆命题的真假.‎ ‎6.甲、乙、丙三人随机排成一排，乙站在中间的概率是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出甲、乙、丙三人随机排成一排的基本事件的个数，再求出乙站在中间的基本事件的个数，再求概率即可.‎ ‎【详解】解：三个人排成一排的所有情况有:甲乙丙,甲丙乙,乙甲丙,乙丙甲,丙乙甲,丙甲乙共6种，乙在中间有2种，所以乙在中间的概率为，‎ 故选B.‎ ‎【点睛】本题考查了古典概型，属基础题.‎ ‎7.为了解成都锦江区粮丰社区居民的家庭收入和年支出的关系,现随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：‎ 收入（万元）‎ 支出（万元）‎ 根据上表可得,的回归直线方程,其中,由此估计该社区一户收入为14万元,家庭年支出为（ ）．‎ A. 万元 B. 万元 C. 万元 D. 万元 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出,根据,,可以求出,最后把14代入中,求出家庭年支出.‎ ‎【详解】.‎ 因此有,所以,最后把14代入得,‎ ‎.‎ 故选：A ‎【点睛】本题考查了求几个数的平均数,本题考查了求线性回归方程,考查了线性回归方程的应用,考查了数学运算能力.‎ ‎8.已知在平面直角坐标系中,圆与圆交于点,两点,若（为坐标原点）,则实数的值为（ ）．‎ A. 2 B. 1 C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据相交圆的几何性质和等腰三角形的性质可知：在同一条直线上,得到的值,再检验两圆是否相交.‎ ‎【详解】因为圆与圆交于点,两点,所以直线垂直平分线段,又因为,所以点在线段的垂直平分线上,故在同一条直线上, 圆的圆心坐标为,半径为4, 圆的圆心坐标为,半径为1,所以直线的方程为,把的坐标代入,得,‎ 此时有符合题意.‎ 故选：C ‎【点睛】本题考查了两圆相交弦的性质,考查了等腰三角形的性质,考查了三点共线,考查了数学运算能力.‎ ‎9.已知抛物线的焦点为，准线为，是抛物线上位于第一象限内的一点，的延长线交于点，且，，则直线的方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意，求得是的中点，且，过作于点，由抛物线的定义，得直线的倾斜角为，设直线交轴于点，由及是的中点，得，解得，即,进而求解直线的方程.‎ ‎【详解】由题意，根据 ，，得是的中点，且.‎ 过作于点，‎ 则由抛物线的定义，得,所以，即直线的倾斜角为.‎ 设直线交轴于点，根据及是的中点，得.‎ 又，所以，即,‎ 因此直线的方程为，故选D.‎ ‎【点睛】本题主要考查了抛物线的定义，以及标准方程和几何性质的应用，其中解答中熟练应用抛物线的定义的转化作用，以及熟记抛物线的几何性质的应用是解答此类问题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.‎ ‎10.已知集合,,则在平面直角坐标中表示的平面区域的面积是（ ）．‎ A. B. C. D. 8‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 在同一直角坐标第内画出集合所表示平面图形,再判断表示的平面区域的形状,最后求出面积.‎ ‎【详解】,表示的平面区域如下图阴影部分：‎ 所以阴影部分的面积为.‎ 故选：B ‎【点睛】本题考查了集合交集运算表示的图形的面积计算,考查了不等式表示平面区域问题,考查了数学运算能力.‎ ‎11.点、为椭圆长轴的端点，、为椭圆短轴的端点，动点满足，若面积的最大值为8，面积的最小值为1，则椭圆的离心率为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求得定点M的轨迹方程，可得，，解得a，b即可.‎ ‎【详解】设，，.‎ ‎∵动点满足，则，化简得.‎ ‎∵面积的最大值为8，面积的最小值为1，‎ ‎∴，，解得，，‎ ‎∴椭圆的离心率为.‎ 故选D.‎ ‎【点睛】本题考查了椭圆离心率，动点轨迹的求解方法，考查了分析问题解决问题的能力，属于中档题．‎ ‎12.双曲线的左、右焦点分别为、,过点作直线交双曲线的右支于、两点,且,则的内切圆半径等于（ ）．‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据双曲线的定义和勾股定理可以计算出的值,最后再根据直角三角形内切圆半径公式和双曲线的定义可以求出的内切圆半径.‎ ‎【详解】因为,所以,而,可得 ‎,根据直角三角形内切圆半径,可得的内切圆半径等于 ‎.‎ 故选：D ‎【点睛】本题考查了双曲线的定义,考查了勾股定理的应用,考查了直角三角形内切圆的半径公式,考查了数学运算能力.‎ 第Ⅱ卷（非选择题）‎ 二、填空题：本大题共4个小题，请将答案直接填在答题卡的相应横线上．‎ ‎13.某协会有200名会员,现要从中抽取40名会员作样本,采用系统抽样法等间距样本，将全体会员随机按编号,并按编号顺序平均分为40组（号,号,…,号）,若第1组抽出的号码为3,则第6组抽出的号码是______．‎ ‎【答案】28‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据组数可以求出每组的人数,再根据第1组抽出的号码为3,这样就可以求出第组的号码,让代入求值即可.‎ ‎【详解】有200名会员,现要从中抽取40名会员作样本,因此每组5人,又因为第1组抽出的号码为3,所以第组的号码为,当时，可得28.‎ 故答案为：28‎ ‎【点睛】本题考查了系统抽样时计算抽出的号码问题,考查了数学运算能力.‎ ‎14.已知实数x，y满足则z＝x－2y的最大值为_________．‎ ‎【答案】5‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得结论.‎ ‎【详解】‎ 画出表示的可行域，如图，‎ 由可得，‎ 将变形为，‎ 平移直线，‎ 由图可知当直经过点时，‎ 直线在轴上的截距最小，‎ 取最大值，最大值为，‎ 最大值为5，故答案为5.‎ ‎【点睛】本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.‎ ‎15.已知点是双曲线右支上一点,,分别是双曲线的左右焦点,为的内心,若,则双曲线的离心率为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设出的内切圆的半径,利用三角形面积公式、双曲线的定义、离心率的公式可以求出双曲线的离心率的值.‎ ‎【详解】设的内切圆的半径为,‎ ‎.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查了双曲线的定义,考查了双曲线的离心率公式,考查了三角形面积公式,考查了数学运算能力.‎ ‎16.已知椭圆的右焦点为,其关于直线的对称点 在椭圆上,则______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据对称性可以求出直线的方程,这样可以求出直线与直线的交点,利用中点坐标公式可以求出点坐标,把点坐标代入椭圆方程中,可以求出的值,最后利用三角形面积公式求出的值.‎ ‎【详解】由题意可知：直线垂直平分直线,所以直线的斜率为,因此它的方程为 ‎,将两直线方程联立：,由中点坐标坐标可得 点坐标为：,代入椭圆方程中得：‎ ‎.‎ 因此可知点坐标为,而,所以.‎ 故答案：‎ ‎【点睛】本题考查了点关于直线对称的应用,考查了代入思想,考查了三角形面积公式,考查了数学运算能力.‎ 三、解答题（本大题共6小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17.已知圆与直线相切于点,且圆心在直线上．‎ ‎(1)求圆的方程；‎ ‎(2)已知直线经过原点,并且被圆截得的弦长为2,求直线的方程．‎ ‎【答案】(1)；(2)直线的方程为或.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)设出圆心坐标,根据圆的切线性质可以得到方程,解方程即可求出所设参数,最后求出圆的方程；‎ ‎(2)根据直线是否存在斜率进行分类求解,根据垂径定理结合点到直线距离公式可以求出斜率,进而求出直线方程.‎ ‎【详解】(1)设圆心为，‎ ‎∴,化简得．‎ 所以圆心,．圆的方程．‎ ‎(2)由垂径定理知．‎ ‎①不存在时,,满足条件；‎ ‎②存在时,设,,得,所以．‎ 综上,直线的方程为或．‎ ‎【点睛】本题考查了求圆的标准方程,考查了圆弦长公式,考查了数学运算能力.‎ ‎18.设命题实数满足；命题曲线表示双曲线．‎ ‎(1)若,若为假命题,为真命题,求的取值范围；‎ ‎(2)若是的必要不充分条件,求实数的取值范围．‎ ‎【答案】(1)或；(2).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)求出当命题均为真命题时, 的取值范围,最后根据为假命题,为真命题,判断出命题的真假,最后结合数轴求出的取值范围；‎ ‎(2)问题等价于是的必要不充分条件,利用集合关系,求出实数的取值范围 ‎【详解】.‎ ‎(1)；．‎ 由题意知,假真或．‎ 综上,或．‎ ‎(2)由条件得是的必要不充分条件,‎ ‎∴,即，‎ 所以．‎ ‎【点睛】本题考查了已知命题的真假求参数取值范围问题,考查了已知充分不必要条件求参数取值范围问题.‎ ‎19.为了纪念“一带一路”倡议提出五周年,某城市举办了一场知识竞赛,为了了解市民对“一带一路”知识的掌握情况,从回收的有效答卷中按青年组和老年组各随机抽取了40份答卷,发现成绩都在内,现将成绩按区间,,,，进行分组,绘制成如下的频率分布直方图．‎ 青年组 中老年组 ‎(1)利用直方图估计青年组的中位数和老年组的平均数；‎ ‎(2)从青年组,的分数段中,按分层抽样的方法随机抽取5份答卷,再从中选出3份答卷对应的市民参加政府组织的座谈会,求选出的3位市民中有2位来自分数段的概率．‎ ‎【答案】(1)中位数为80，平均数为(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据中位数使得左右两边的面积相等,可以确定中位数,再根据在频率分布直方图计算平均数的方法计算即可求出平均数；‎ ‎(2) 求邮青年组,的分数段中答卷的份数,再求出抽取比例,最后确定两段中分别抽取的答卷份数, 记中的3位市民为,,,中的2位市民为,,列出可能出现的情况,最后求出选出的3位市民中有2位来自分数段的概率．‎ ‎【详解】解：(1)由青年组的频率分布直方图可知,前3个小矩形的面积和为,后2个小矩形的面积和为,所以中位数为80．‎ 中老年组成绩的平均数为．‎ ‎(2)青年组,的分数段中答卷分别为12份,8份,‎ 抽取比例为,所以两段中分别抽取的答卷分别为3份,2份．‎ 记中的3位市民为,,,中的2位市民为,,‎ 则从中选出3位市民，共有不同选法种数10种：‎ ‎,,,,‎ ‎,,,,,．‎ 其中,有2位来自的有3种：,,．‎ 所以所求概率．‎ ‎【点睛】本题考查了在频率分布直方图确定中位数和平均数的方法,考查了分层抽样的方法,考查了古典概型概率的求法.‎ ‎20.已知是抛物线上一点，为的焦点．‎ ‎（1）若，是上两点，证明：，，依次成等比数列．‎ ‎（2）若直线与交于，两点，且，求线段的垂直平分线在轴上的截距．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由在抛物线上，求出抛物线方程；根据抛物线焦半径公式可得，，的长度，从而证得依次成等比数列；（2）将直线代入抛物线方程，消去，根据韦达定理求解出，从而可得中点坐标和垂直平分线斜率，从而求得垂直平分线所在直线方程，代入求得结果.‎ ‎【详解】（1）是抛物线上一点 ‎ ‎ 根据题意可得：，，‎ ‎，，依次成等比数列 ‎（2）由，消可得 ‎，‎ ‎ ‎ 设的中点 ‎，‎ 线段的垂直平分线的斜率为 故其直线方程为 当时，‎ ‎【点睛】本题考查抛物线的几何性质、直线与抛物线综合问题，关键在于能够通过直线与抛物线方程联立，得到韦达定理的形式，从而准确求解出斜率.‎ ‎21.已知椭圆的离心率为,直线过椭圆的右焦点．‎ ‎(1)求椭圆的方程；‎ ‎(2)若不过椭圆上顶点的直线与椭圆交于,两点,且．求证：直线恒过定点,并求出该定点．‎ ‎【答案】(1)；(2)证明见解析,过定点.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据直线过椭圆的右焦点可以求出的值,再根据离心率的公式求出 的值,根据之间的关系求出,最后写出椭圆方程即可；‎ ‎(2)求出上顶点的坐标,设,,利用斜率公式化简等式,最后将直线方程与椭圆方程联立,根据根与系数关系,最后得到,进而可以确定直线恒过定点,也就求出该定点的坐标.‎ ‎【详解】解：(1)，,,椭圆的方程为；‎ ‎(2)上顶点,设,,‎ ‎,‎ 即．①‎ 联立直线和椭圆得,‎ ‎,代入①式得,,‎ ‎∴恒过定点．‎ ‎【点睛】本题考查了求椭圆标准方程,考查了直线与椭圆的位置关系,考查了直线过定点的判断,考查了数学运算能力.‎ ‎22.已知抛物线与轴交于点,直线与抛物线交于点，两点．直线,分别交椭圆于点、（,与不重合）‎ ‎(1)求证：；‎ ‎(2)若,求直线的斜率的值；‎ ‎(3)若为坐标原点,直线交椭圆于，，若,且,则是否为定值？若是,求出定值；若不是,请说明理由．‎ ‎【答案】(1)证明见解析；(2)；(3)是定值,为定值10.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1) 直线和抛物线方程联立,根据根与系数关系、斜率公式可以计算出,也就证明出；‎ ‎(2)设出直线的斜率,直线的斜率,求出它们的直线方程,通过解一元二次方程组求出,的坐标,最后利用面积公式求出的表达式,同理求出的表达式,最后求出直线的斜率的值；‎ ‎(3) 设,,根据余弦定理和,可以得到又,.通过对两个等式进行移项相乘和两个等式相加,最后可以求出的值为定值.‎ ‎【详解】解：(1)由题意知,直线的方程为．‎ 由得,‎ 设，，则，是上述方程的两个实根，‎ 于是,．‎ 又点的坐标为，‎ 所以 故,即．‎ ‎(2)设直线的斜率为，则直线的方程为，‎ 由，解得，或，则点的坐标为．‎ 又直线的斜率为，同理可得点的坐标为．‎ 于是，．‎ 由得,‎ 解得或，则点的坐标为．‎ 又直线的斜率为,同理可得点的坐标．‎ 于是,．‎ 因此，．‎ 由题意知,解得或．‎ 又由点,的坐标可知,,所以．‎ ‎(3)设,,四边形为平行四边形，‎ 由余弦定理有,‎ ‎,‎ 两式相加得．‎ 又．‎ 又,，‎ 上面两式移项相乘得,‎ 上面两式相加得．‎ 所以．‎ 因此为定值10．‎ ‎【点睛】本题考查了直线与椭圆、抛物线的位置关系,考查了椭圆中定值问题,考查了数学运算能力和等式恒等变形能力.‎ ‎ ‎