四川省绵阳市2020届高三4月线上学习评估数学（理）试题 Word版含解析

四川省绵阳市2020届高三4月线上学习评估数学（理）试题 Word版含解析

www.ks5u.com 绵阳市2017级线上学习质量评估 理科数学 考试时间：2020年4月5日15:00—17:00‎ 注意事项：‎ ‎1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.‎ ‎2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.‎ ‎3.考试结束后，将答题卡交回.‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先化简集合B,再求得解.‎ ‎【详解】由题得或，‎ 所以.‎ 故选：C ‎【点睛】本题主要考查集合的交集运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.‎ ‎2.若则是的 （ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 26 -‎ 根据绝对值不等式的性质以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．‎ ‎【详解】因为等价于，‎ ‎∴“a>2”是“a<2或a>2”的充分不必要条件．‎ 故选A.‎ ‎【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，解不等式是解决本题的关键，比较基础．‎ ‎3.已知复数满足（是虚数），则复数在复平面内对应的点在（ ）‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴复数点为，位于第二象限．选B．‎ ‎4.从编号0，1，2，…，79的80件产品中，采用系统抽样的方法抽取容量是10的样本，若编号为58的产品在样本中，则该样本中产品的最大编号为（ ）‎ A. 72 B. 74 C. 76 D. 78‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据系统抽样的定义求出样本间隔即可得到结论．‎ ‎【详解】样本间隔为，设第一个号码为，‎ 编号为58的产品在样本中，则，‎ 则第一个号码为2，‎ 则最大的编号，‎ 故选：B ‎【点睛】本题主要考查系统抽样的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，求解样本间隔是解决本题的关键．‎ - 26 -‎ ‎5.已知双曲线的离心率为2，则双曲线的渐近线方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由双曲线的离心率为2，得到，进而得到，即可求得双曲线的渐近线的方程，得到答案.‎ ‎【详解】由题意，双曲线的渐近线方程为，‎ 又因为双曲线的离心率为2，即，即，‎ 所以，所以，‎ 所以双曲线的渐近线的方程为.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题主要考查了双曲线的离心率，以及双曲线的渐近线方程的求解，其中解答中熟记双曲线的标准方程及简单的几何性质是解答的关键，着重考查了计算能力，属于基础题.‎ ‎6.在（其中）的展开式中，的系数与的系数相同，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. 2‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求得二项展开式的通项为，根据的系数与的系数相同，得到关于的方程，即可求解.‎ - 26 -‎ ‎【详解】由题意，二项式的展开式的通项为，‎ 因为的系数与的系数相同，即且，‎ 即，解得.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题主要考查了二项式定理的应用，其中解答中熟练应用二项展开式的通项，列出关于的方程是解答的关键，着重考查了推理与计算能力.‎ ‎7.已知，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据三角函数的诱导公式和基本关系式，化简：，代入即可求解.‎ ‎【详解】由题意，根据三角函数的诱导公式和三角函数的基本关系式及二倍角公式，‎ 可得：‎ ‎.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题主要考查了三角函数的诱导公式和三角函数的基本关系式的化简求值，其中解答中熟练应用三角函数的诱导公式和基本关系式，化简为“齐次式”是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.‎ ‎8.圆被直线截得的劣弧所对的圆心角的大小为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D - 26 -‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 作出图象，由圆心到直线的距离为，求得，即可得到答案.‎ ‎【详解】由题意，设直线与圆交于两点，‎ 弦的中点为，则，如图所示，‎ 由圆的圆心坐标为，半径为，‎ 则圆心O到直线的距离为，‎ 在直角中，，所以，‎ 所以，‎ 即截得的劣弧所对的圆心角的大小为.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，其中解答中熟练应用圆的性质和点到直线的距离公式是解答的关键，着重考查了推理与计算能力.‎ ‎9.某木材加工厂需要加工一批球形滚珠.已知一块硬质木料的三视图如图所示，正视图和俯视图都是边长为的正方形，现将该木料进行切削、打磨，加工成球形滚珠，则能得到的最大滚珠的半径最接近（ ）‎ - 26 -‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意，该几何体为三棱柱，所以最大球的半径为侧视图直角三角形内切圆的半径．‎ ‎【详解】由题意，该几何体为三棱柱，所以最大球的半径为侧视图直角三角形内切圆的半径，‎ 则，‎ ‎．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】本题主要考查三视图，考查几何体的内切圆，考查学生的计算能力，属于基础题．‎ ‎10.2020年3月，国内新冠肺炎疫情得到有效控制，人们开始走出家门享受春光.某旅游景点为吸引游客，推出团体购票优惠方案如下表：‎ 购票人数 ‎1~50‎ ‎51~100‎ ‎100以上 门票价格 ‎13元/人 ‎11元/人 ‎9元/人 - 26 -‎ 两个旅游团队计划游览该景点.若分别购票，则共需支付门票费1290元；若合并成个团队购票，则需支付门票费990元，那么这两个旅游团队的人数之差为（ ）‎ A. 20 B. 30 C. 35 D. 40‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据990不能被13整除，得到两个部门的人数之和为，然后结合门票价格和人数之间的关系，建立方程组，即可求解.‎ ‎【详解】由题意，990不能被13整除，所以两个部门的人数之和为，‎ ‎（1）若，则，可得，……(1)‎ 由共需支付门票为1290元，可知,………(2)‎ 联立方程组，可得（舍去）；‎ ‎（2）若，则，可得，……(3)‎ 由共需支付门票为1290元，可知，可得，…(4)‎ 联立方程组可得，‎ 所以两个部门的人数之差为.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题主要考查了函数的实际应用问题，其中解答中认真审题，结合门票价格和人数之间的关系，建立方程组是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.‎ ‎11.如图，中，，且，是的外接圆直径，则（ ）‎ A. 1 B. 2 C. D. ‎ ‎【答案】A - 26 -‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 作辅助线如图所示，求出，再求出，最后利用数量积公式求解.‎ ‎【详解】‎ 作辅助线如图所示，.‎ 因为，所以.‎ ‎,所以.‎ 由垂径定理得,‎ 所以.‎ 在Rt△ADE中，由中位线定理得.‎ ‎.‎ ‎.‎ 故选：A ‎【点睛】本题主要考查平面向量的数量积计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎12.已知集合，若对于任意，存在，使得成立，则称集合是“集合”.给出下列5个集合：‎ ‎①；②；③；‎ ‎④；⑤.‎ 其中是“集合”的所有序号是（ ）‎ A. ②③ B. ①④⑤ C. ③⑤ D. ①②④‎ - 26 -‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据集合是“集合”，即满足曲线上过任意一点与原点的直线，都存在过另一点与原点的直线垂直，逐项判定，即可求解.‎ ‎【详解】由题意，集合是“集合”，即满足曲线上过任意一点与原点的直线，都存在过另一点与原点的直线垂直，‎ 对于①中，，假设集合是“集合”，则存在两点，满足，即，方程无解，所以假设不成立，所以集合不是“集合”；‎ 对于②中，函数，则，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，且当时，，图象如图所示，‎ 结合图象，可得对于时不存在，此时不存在一点，使得成立，‎ 所以集合不是是“集合”；‎ 对于③中，集合的图象表示一个在轴上方的半圆，‎ 如图所示，根据圆的性质，可得对任意一点，总是存在一点，使得成立，‎ 所以集合是“集合”；‎ - 26 -‎ 对于④中，函数，当点时，‎ 若，则不成立，‎ 所以集合不是“集合”；‎ 对于⑤中，函数，‎ 设，则直线的方程为，‎ 则过原点且与垂直的直线方程为，‎ 直线与函数的图象必有交点，‎ 所以集合是“集合”.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题主要考查了集合是“集合”的新定义及应用，其中解答中理解对于任意，存在，使得成立，以及熟练应用函数的基本性质和图象是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13.已知函数则_____.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用分段函数的解析式一步一步的求值.‎ - 26 -‎ ‎【详解】由题得.‎ 故答案为：2‎ ‎【点睛】本题主要考查分段函数求值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.‎ ‎14.已知，，且，则当且仅当_____时，取得最小值______.‎ ‎【答案】 (1). 2 (2). 8‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由，可得，得到，再利用换元法和基本不等式，即可求解.‎ ‎【详解】由题意，，，且，‎ 可得，则，所以，‎ 令，所以，‎ 则，‎ 当且仅当时，即时，即时，等号成立，‎ 所以取得最小值为8.‎ 故答案为：2 8‎ ‎【点睛】本题主要考查了基本不等式的应用，其中解答中合理利用换元法构造基本不等式的使用条件，结合基本不等式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.‎ ‎15.为准确把握市场规律，某公司对其所属商品售价进行市场调查和模型分析，发现该商品一年内每件的售价按月近似呈的模型波动（为月份），已知3月份每件售价达到最高90元，直到7月份每件售价变为最低50元.则根据模型可知在10月份每件售价约为_____.（结果保留整数）‎ ‎【答案】84‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 26 -‎ 根据题意，可得当时，函数有最大值为90；当时，函数有最小值50，再利用正弦函数的最值，联列方程组，解之可得，．根据函数的周期，结合题意得到，最后用函数取最大值时对应的值，可得，从而可以确定的解析式，再求10月份每件售价.‎ ‎【详解】月份达到最高价90元，7月份价格最低为50元，‎ 当时，函数有最大值为90；当时，函数有最小值50，‎ ‎，可得，‎ 又函数的周期，‎ 由，得，‎ 当时，函数有最大值，‎ ‎，即，得，‎ 的解析式为：．‎ 所以 故答案为： 84‎ ‎【点睛】本题根据一个实际问题的研究，着重考查了由的部分图象确定其解析式的知识点，考查了数学应用能力，属于中档题．‎ ‎16.在棱长为1正方体中，点分别为线段、的中点，则点到平面的距离为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出，再利用求出点A到平面EFC的距离得解.‎ - 26 -‎ ‎【详解】‎ 由题得 所以,‎ 所以.‎ 设点到平面的距离为，则,‎ 所以，‎ 所以.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查空间点到平面距离的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.‎ ‎（一）必考题：共60分.‎ ‎17.已知数列满足，，且是等差数列.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）设的前项和为，求.‎ - 26 -‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设等差数列的公差为，求出，即得；（2）利用错位相减法求.‎ ‎【详解】（1）设等差数列的公差为，‎ 由题意得，即，‎ 解得，‎ ‎，‎ 即 ‎（2），‎ ‎，‎ 两式相减可得，‎ ‎，‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题主要考查等差数列的通项，考查了错位相减法求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎18.3月底，我国新冠肺炎疫情得到有效防控，但海外确诊病例却持续暴增，防疫物资供不应求，某医疗器械厂开足马力，日夜生产防疫所需物品.已知该厂有两条不同生产线和生产同一种产品各10万件，为保证质量，现从各自生产的产品中分别随机抽取20件，进行品质鉴定，鉴定成绩的茎叶图如下所示：‎ 该产品的质量评价标准规定：鉴定成绩达到的产品，质量等级为优秀；鉴定成绩达到 - 26 -‎ 的产品，质量等级为良好；鉴定成绩达到的产品，质量等级为合格.将这组数据的频率视为整批产品的概率.‎ ‎（1）从等级为优秀的样本中随机抽取两件，记为来自机器生产的产品数量，写出的分布列，并求的数学期望；‎ ‎（2）请完成下面质量等级与生产线产品列联表，并判断能不能在误差不超过0.05的情况下，认为产品等级是否达到良好以上与生产产品的生产线有关.‎ 生产线的产品 生产线的产品 合计 良好以上 合格 合计 附：‎ ‎010‎ ‎0.05‎ ‎0.01‎ ‎0.005‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎【答案】（1）分布列见解析， （2）列联表见解析；不能 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据题意，求得随机变量的可能取值为0，1，2，求得相应的概率，列出随机变量的分布列，利用期望的公式，即可求解；‎ ‎（2）由已知可得，得出列联表，利用公式求得的值，结合附表，即可求解.‎ ‎【详解】（1）从图可知，样本中优秀的产品有2件来自生产线，3件来自生产线；‎ 所以的可能取值为0，1，2.‎ - 26 -‎ ‎，，.‎ 即的分布列为：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎0.1‎ ‎0.6‎ ‎0.3‎ ‎.‎ ‎（2）由已知可得，列联表为 生产线的产品 生产线的产品 合计 良好以上 ‎6‎ ‎12‎ ‎18‎ 合格 ‎14‎ ‎8‎ ‎22‎ 合计 ‎20‎ ‎20‎ ‎40‎ ‎，‎ 所以不能在误差不超过0.05的情况下，认为产品等级是否达到良好以上与生产产品的生产线有关.‎ ‎【点睛】本题主要考查了离散型随机变量分布列及数学期望，以及独立性检验的应用，其中解答中认真审题，准确计算是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及计算能力.‎ ‎19.如图，在四棱锥中，底面是菱形，，是边的中点.平面平面，，.线段上的点满足.‎ - 26 -‎ ‎（1）证明：面；‎ ‎（2）求直线与平面所成角的正弦值.‎ ‎【答案】（1）见解析 （2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）连接交于，连接，根据相似三角形和比例关系，证得，再利用线面平行的判定定理，即可证得平面；‎ ‎（2）以为坐标原点，分别为轴建立空间直角坐标系，得到向量和平面的法向量，利用向量的夹角公式，即可求解.‎ ‎【详解】（1）证明：连接交于，连接，‎ 因为是菱形，且是的中点，所以，且，‎ 又由已知，于是，所以，‎ 又平面，平面，所以平面.‎ ‎（2）作的中点，连接，则，知在平面内.‎ 又由题知，，于是，‎ 因为平面平面，平面平面，平面，‎ 所以平面，故，，‎ 在菱形中，，所以，‎ 以为坐标原点，分别为轴建立空间直角坐标系，不妨设，‎ 因为，，‎ 所以为正三角形，，‎ 于是，，，，‎ 所以，.‎ 由，且，可得，故，‎ - 26 -‎ 由，知平面，‎ 所以是平面的一个法向量，‎ 则，‎ 故直线与平面所成角的正弦值为.‎ ‎【点睛】本题考查了线面平行的判定与证明，以及空间角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，通过严密推理是线面位置关系判定的关键，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.‎ ‎20.已知椭圆的离心率为，动直线与椭圆交于点，与轴交于点.为坐标原点，是中点.‎ ‎（1）若，求的面积；‎ ‎（2）若试探究是否存在常数，使得是定值？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】（1） （2）存在；‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用椭圆的几何性质，求得椭圆的方程，当时，直线的方程为，联立方程，求得的坐标，结合面积公式，即可求解；‎ - 26 -‎ ‎（2）设，，联立求得，，再利用向量的数量积的运算公式，化简，得到常数时，得出定值，得到结论.‎ ‎【详解】（1）由题意，椭圆的离心率为，‎ 所以，解得，‎ 所以椭圆的方程为，‎ 当时，直线的方程为，即，‎ 设，，‎ 联立消去，整理得，解得，，‎ 可得，，‎ 所以的面积为.‎ ‎（2）设，，则，，‎ 联立得，‎ 其判别式，所以，，‎ 从而 - 26 -‎ ‎，‎ 所以当时，，‎ 即为定值，‎ 故存在常数，使得为定值.‎ ‎【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程的求解、及直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用,解答此类题目，通常联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.‎ ‎21.已知函数.‎ ‎（1）试讨论的单调性；‎ ‎（2）若函数在定义域上有两个极值点，试问：是否存在实数，使得？‎ ‎【答案】（1）见解析 （2）存在；‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求得函数的导数，结合基本不等式，分类讨论，即可得出函数的单调区间；‎ ‎（2）由函数在定义域上有两个极值点，即方程在上有两个不相等的实数根，转化为方程在上有两个不相等实数根，结合二次函数的性质，求得，令，即可求解.‎ - 26 -‎ ‎【详解】（1）由题意，函数的定义域为，‎ 则，‎ 因为，当且仅当，即时取“等号”，‎ 所以，‎ 当时，在上恒成立，则此时在上单调递增，‎ 当时，，‎ 令，解得，，‎ 由，‎ 而，故.‎ 由可得或，‎ 即此时在，上单调递增；‎ 由可得，‎ 即此时在上单调递减；‎ 综上所述，当时，在上单调递增；‎ 当时，在，上单调递增，在 - 26 -‎ 上单调递减.‎ ‎（2）因为，‎ 由题知方程在上有两个不相等的实数根，‎ 即方程在上有两个不相等实数根，‎ 因此有，解得，‎ 这时，，‎ 于是 ‎.‎ 令，解得，满足.‎ 所以存在实数，使得.‎ ‎【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及存在性问题的求解，其中解答中认真审题，合理转化与构造，结合导数与函数的关系求解是解答的关键，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，属于难题．‎ ‎（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题做答.如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎ [选修4—4：坐标系与参数方程]‎ ‎22.在以直角坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，过点的直线的极坐标方程为，曲线的方程为.‎ - 26 -‎ ‎（1）求直线的参数方程和曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）若直线与曲线分别交于点，且成等比数列，求的值.‎ ‎【答案】（1）（为参数）. （2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先将直线l的极坐标方程化为直角坐标方程，再写出直线l的参数方程.利用极直互化的公式写出曲线的直角坐标方程；（2）将代入，得，再利用韦达定理和直线参数方程t的几何意义得解.‎ ‎【详解】（1）直线的极坐标方程可变形为：，‎ 整理得，‎ 的普通方程为.‎ 又点的直角坐标为，‎ 于是直线的参数方程可以是（为参数）.‎ ‎，‎ ‎，即.‎ ‎（2）将代入，得，‎ 由，且，‎ - 26 -‎ 解得.‎ 于是，.‎ 成等比数列，‎ ‎，即，‎ ‎，即，‎ 解得或.‎ ‎，‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题主要考查参数方程、极坐标方程和直角坐标方程的互化，考查直线参数方程t的几何意义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎[选修4—5：不等式选讲]‎ ‎23.已知函数．‎ ‎（1）解不等式.‎ ‎（2）若且恒成立，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1） （2）．‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】（1）不等式．‎ 当，，解之得；‎ 当时，，解之得；‎ - 26 -‎ 当时，，无解．‎ 综上，不等式的解集为 ‎ ‎（2）令，则 当时，．‎ 欲使不等式恒成立，只需，即．‎ 又因为，所以，即． ‎ ‎．‎ - 26 -‎ - 26 -‎