高三数学同步测试题

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高三数学同步测试题-11 一、选择题（本题每小题 5 分，共 60 分） 1．三棱锥的三个侧面与底面所成的角都相等，则顶点在底面上的射影一定是底面三角形的 （ ） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 2．正三棱锥 S—ABC 的侧棱 SA、SB、SC 两两垂直，体积为 V，A′、B′、C′分别是 SA、 SB、SC 上的点，且 SCCSSBBSSAAS 4 1,3 1,2 1  ，则三棱锥 S—A′B′C′的体 积为 （ ） A． V9 1 B． V12 1 C． V24 1 D． V72 1 3．如果正四棱锥的侧面积等于底面积的 2 倍，则侧面与底面所成的角等于 （ ） A．30° B．45° C．60° D．75° 4．把边长为 4 和 2 的一个矩形绕其一边卷成一个圆柱的侧面，则圆柱的体积为 （ ） A．16π B．8π C．16π 或 8π D．16π 或 32π 5．正四棱台的上、下底面边长分别为 1cm，3cm，侧棱长为 2cm，则棱台的侧面积为（ ） A． 64 B． 68 C． 34 D． 38 6．圆台上、下底面边长分别为 1 和 7，作与两底平行的截面，且截面与上、下两底距离之比 为 1∶2，则截面的面积为 （ ） A． 3 7 B． 7 3 C． 9 64 D． 3 8 7．圆锥的顶角为 120°，高为 a，用过顶点的截面去截圆锥，则截面的最大面积为（ ） A．a2 B．2a2 C． 23a D．4a2 8．若四棱锥 P—ABCD 的底面是边长为 a 的正方形，侧棱 PA=a，PB=PD= a2 ，则在它的 五个面中，互相垂直的面共有 （ ） A．3 对 B．4 对 C．5 对 D．6 对 9．已知：圆柱的底面半径为 1，高为 4，则它的内接正三棱柱的体积等于 （ ） A． 2 33 B．2 3 C．3 D．4 10．一个正四面体外切于球 O1，同时内接于球 O2，则球 O1 与球 O2 的体积之比为（ ） A．1∶27 B．1∶6 6 C．1∶8 D．1∶3 11．三棱锥的三条侧棱两两垂直，其长分别是 1， 3,2 ，则此三棱锥的外接球面积是（ ） A．6π B．12π C．18π D．24π 12．三棱柱 ABC—A1B1C1 的体积为 1，P 是侧棱 BB1 上的一点，则四棱锥 P—ACC1A1 的体 积是 （ ） A． 3 1 B． 3 2 C． 4 1 D． 4 3 二、填空题（本题每小题 4 分，共 16 分） 13．正四面体的棱长为 a，对棱之距为 b，则 b a = . 14．如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，AB=4，直线 l 与平面△ABC 在同一平面内，且过 B 点，l⊥AB，△ABC 绕直 线 l 旋转一周所得几何体的体积为 . 15．如图，直三棱柱 ABC—A1B1C1 的体积为 V，P、Q 分别是侧棱 AA1、 CC1 上的点，且 AP=C1Q，则四棱锥 B—APQC 的体积为 . 16．圆台母线与底面成α 角，半径为 R 的球内切于圆台，则球面被圆台 分成的两部分面积之比是 . 三、解答题 17．（本题满分 12 分）如图，四棱锥 ABCD 的底面是正方形，侧棱 SA⊥底面 ABCD，截面 AEKH⊥SC.求证：E、H 在以 AK 为直径的圆上. l A1 B1 C1 18．（本题满分 12 分）斜三棱柱 ABC—A1B1C1 的底面是边长为 a 的正三角形，侧棱长为 b， 侧棱 AA1 和 AB、AC 都成 45°的角，求棱柱的侧面积和体积. 19．（本题满分 12 分）如图在四面体 ABCD 中，AB=AC=AD=2a，且 AB、AC、AD 两两互 相垂直，E、F 分别是 AB、AC 的中点.求平面 BCD 与平面 EFD 所成二面角的正切值. F 20．（本题满分 12 分）过半径为 R 的球面上一点 P 引三条长度相等的弦 PA、PB、PC，它们 间两两夹角相等.（Ⅰ）若∠APB=2α ，求弦长：（Ⅱ）求三棱锥 P—ABC 体积的最大值. 21．（本题满分 12 分）圆锥底面半径为 R，母线与底面夹角为 2α ，第一个球与圆锥底面和 侧面都相切，第二个球与第一个球和圆锥侧面都相切，如此继续下去，当这些球的个数 无限增多时，求所有球的体积之和. 22．（本题满分 14 分）正三棱台有一内切球，若内切球的面积与这棱台的全面积之比为 32 ∶39，求棱台的侧面与底面所成角的大小. 高三数学测试题参考答案 十一、多面体和旋转体 一、1.A 2.C 3.C 4.D 5.D 6.C 7.B 8.B 9.C 10.A 11.A 12.B 二、13． 2 ； 14． 33 20 ； 15． V3 1 ； 16． )cos1(:)cos1(   三、17．（ 1）证明：∵SA⊥底面 ABCD，底面 ABCD 是正方形，∴BC⊥侧面 SAB，AE  侧面 SAB， ∴AE⊥BC，又∵SC⊥截面 AEKH. ∴AE⊥SC，∴AE⊥侧面 SBC，∴AE⊥KE，同理 AH⊥HK. ∴A、E、K、H 四点共同，且 AK 是圆的直径. 18．解：如图，过 B 作 BM⊥AA1，垂足为 M，连结 CM. ∵侧棱 AA1 和 AB、AC 都成 45°，∴△AMB≌△CMA，∴CM⊥AA1，于是截面 MBC 是斜三棱柱的直截面.由已知 aCMBM 2 2 . ∴斜棱柱的侧面积 .4 1.)12()2 22( 2baVabbaaS  体积侧 19．解：∵E、F 分别是 AB、AC 的中点，∴EF∥底面 BCD.设平面 EFD∩平面 BCD=l，取 EF、BC 的中点 分别为 M、N，连结 DM、DN.∵AB=AC=AD=2a，且 AB、AC、AD 两两重直，∴BC=CD=BD= a22 ， DE=DF= a5 ，且 DM⊥EF，DN⊥BC. 又∵EF∥BC∥l，∴DM⊥l，DN⊥l. ∴∠MDN 就是平面 BCD 与平面 EFD 所成二面角的平面角. 在△MND 中， aaaFMDFDM 2 23 2 15 2222  ， aBCDN 62 3  . 连结 AN，则 AN 必过 M 且 .2 2 2 1 aANMN  . 33 5 2cos 222   DNDM MNDNDMMDN .5 2 MDNtg 20．（ 1）如图（见题图），由 PA=PB=PC，且∠APB=∠BPC=∠CPA，知三棱锥 P—ABC 是一个正三棱锥， 作其高 PO′则 O′为正△ABC 的中心，显然球心 O 也在 PO′所在的直线上. 设 ,..sin2,2,, OPOBmABAPBmPBhOP    且 sin23 3 3 3 mABOB  又 222222 )sin3 32(, mhmPBOOBO  即 ① 又∵过 PO′与 PB 的平面截球的截面为球的大圆，延长 PO′交球面于 Q，则 PB⊥BQ. .2, 22 RhmPQOPPB  即 ② 把②代入①消去 h，整理得 2 2 4 2 2 4sin3 4 mR mm  ， ).sin43(3 4)sin3 41(4 22222   RRm .sin433 32 2  Rm 此即为所求的弦 PA、PB、PC 的长. （2） 22 4 33)3(4 3,,3 1 nnSnOBhSV ABCABCABCP   则设 ， hhRhhnV ABCP )2(4 3 4 3 2   33 27 38)3 24(8 3)24(8 3 RhRhhhhRh  当且仅当 hRh 24  即 Rh 3 4 时取等号. ∴当圆锥的高等于 R3 4 时，其体积取得最大值 3 27 38 R 21．解：作出满足题条件的轴截面图形（如图），圆锥的高 SO 通过球心 O1、O2、O3…，设它们与圆锥侧面 相切的切点分别是 E、F、G….球的半径分别是 r1、r2、r3….于是便有：r1=Rtgα ，在 Rt△SO2F 中， r2=SO2cos2α ，又∵SO2=SO－OO2=Rtg2α －2r1－r2，∴r2=（R·tg2α －2Rtgα －r2）· cos2α ， ∴r2=Rtg3α . 同理 r3=Rtg5α … ∴   6 3 315933 13 4)(3 4 tg tgRtgtgtgRV    . )1(3 4 6 33   tg tgR   22．解：如图，球 O 内切于三 棱台 ABC—A1B1C1，O1、 O2 为棱台上下底面中心， O1、O、O2 三点共线，过 A1A、O1O 作截面交 B1C1BC 于 D1、D，则球的大圆 O 切 AD、D1D、A1D1 于 O2、E，O1，设棱台上、下底面边长分为 3 a、 b，则 O1D1= 2)3(6 3 aa  ， 2)3(6 3 2 bbDO  ， ).(2 1 2111 baDODODD  过 D1 作 D1F⊥O2D 于 F，则 )(2 1 abDF  ababbaDFDDFDOO  2222 1121 )(4 1)(4 1 设棱台的侧面与底面所成 的角为α ，则 .sin 4)(.)( 4sin,2sin 2 2 2 2 1 1  abbaba ab ba ab DD FD  ababOOS   2221 )2(4)2(4球 . )33(4 3)(2 1)33(2 13 22 bababaS 棱台全 ]2)(2[4 33)]()[(4 33 2222 abbababa  )1sin 4(2 33]sin 4[2 33 22   ababab 21 题图 22 题图 .39 32 sin sin4 2 33 .sin sin4 2 33 2 22 2          ab ab S Sab 棱台全 球 13sin sin43 2 2    ，由此解得  60.2 3sin,900.4 3sin 2   . 即棱台的侧面与底面所成的角为 60°