数学·河南省周口市商水县中英文学校2017届高三上学期第一次摸底数学试卷 Word版含解析

数学·河南省周口市商水县中英文学校2017届高三上学期第一次摸底数学试卷 Word版含解析

‎2016-2017学年河南省周口市商水县中英文学校高三（上）第一次摸底数学试卷 ‎　‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分；每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．已知U={y|y=log2x，x＞1}，P={y|y=，x＞2}，则∁UP=（　　）‎ A．[，+∞） B．（0，） C．（0，+∞） D．（﹣∞，0）∪（，+∞）‎ ‎2．设集合M={1，2}，N={a2}，则“a=1”是“N⊆M”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 ‎3．若函数f（x）=的定义域为R，则实数m的取值范围是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．已知函数f（x）=，若f[f（0）]=4a，则实数a等于（　　）‎ A． B． C．2 D．9‎ ‎5．已知映射f：A→B，其中A=B=R，对应法则f：x→y=|x|，若对实数k∈B，在集合A中不存在元素x使得f：x→k，则k的取值范围是（　　）‎ A．k≤0 B．k＞0 C．k≥0 D．k＜0‎ ‎6．已知f（x）是定义在R上的函数，且满足f（1+x）=f（1﹣x），则“f（x）为偶函数”是“2为函数f（x）的一个周期”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎7．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（　　）‎ A．y=x3，x∈R B．y=sinx，x∈R C．y=﹣x，x∈R D．y=（）x，x∈R ‎8．下列有关命题的说法正确的是（　　）‎ A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x≠1”‎ B．“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的必要不充分条件 C．命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有x2+x+1＜0”‎ D．命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题 ‎9．函数y=的定义域是（　　）‎ A．[1，+∞） B．（0，+∞） C．[0，1] D．（0，1]‎ ‎10．函数f（x）=的值域是（　　）‎ A．（0，+∞） B．（0，1） C．[，1） D．[，+∞）‎ ‎11．若函数为奇函数，则a=（　　）‎ A． B． C． D．1‎ ‎12．若定义在R上的偶函数f（x）和奇函数g（x）满足f（x）+g（x）=x2+3x+1，则f（x）=（　　）‎ A．x2 B．2x2 C．2x2+2 D．x2+1‎ ‎　‎ 二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．‎ ‎13．已知函数f（x）=满足对任意x1≠x2，都有＜0成立，则a的取值范围是　　．‎ ‎14．已知命题P：“对∀x∈R，∃m∈R，使4x﹣2x+1+m=0”，若命题￢P是假命题，则实数m的取值范围是　　．‎ ‎15．已知定义在R上的偶函数f（x）在[0，+∞）单调递增，且f（1）=0，则不等式f（x﹣2）≥0的解集是　　．‎ ‎16．若关于x的不等式x2﹣4x+a2≤0的解集是空集，则实数a的取值范围是　　．‎ ‎　‎ 三．解答题：（本大题共5小题，满分60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17．已知集合S={}，P={x|a+1＜x＜2a+15}．‎ ‎（1）求集合S；‎ ‎（2）若S⊆P，求实数a的取值范围．‎ ‎18．求不等式12x2﹣ax＞a2（a∈R）的解集．‎ ‎19．已知命题p：方程x2+mx+1=0有两上不相等的负实根，命题q：不等式4x2+4（m﹣2）x+1＞0的解集为R，若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求m的取值范围．‎ ‎20．设二次函数f（x）=ax2+bx+c在区间[﹣2，2]上的最大值、最小值分别为M、m，集合A={x|f（x）=x}．‎ ‎（1）若A={1，2}，且f（0）=2，求M和m的值；‎ ‎（2）若A={2}，且a≥1，记g（a）=M+m，求g（a）的最小值．‎ ‎21．已知函数f（x）=ax2﹣（2a+1）x+lnx，a∈R．‎ ‎（Ⅰ） 当a=1时，求f（x）的单调区间和极值；‎ ‎（Ⅱ） 若关于x的方程f（x）=2ax2﹣2（a+1）x恰有两个不等的实根，求实数a的取值范围．‎ ‎　‎ ‎[选修4-1：几何证明选讲]‎ ‎22．如图所示，AB为圆O的直径，CB，CD为圆O的切线，B，D为切点．‎ ‎（1）求证：AD∥OC；‎ ‎（2）若圆O的半径为2，求AD•OC的值．‎ ‎　‎ ‎[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ ‎23．选修4﹣4：坐标系与参数方程 已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x轴的正半轴重合．直线l的参数方程为：（t为参数），曲线C的极坐标方程为：ρ=4cosθ．‎ ‎（Ⅰ）写出C的直角坐标方程，并指出C是什么曲线；‎ ‎（Ⅱ）设直线l与曲线C相交于P、Q两点，求|PQ|值．‎ ‎　‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]‎ ‎24．设函数f（x）=|x+2|﹣|x﹣1|‎ ‎（I）画出函数y=f（x）的图象；‎ ‎（II）若关于x的不等式f（x）+4≥|1﹣2m|有解，求实数m的取值范围．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年河南省周口市商水县中英文学校高三（上）第一次摸底数学试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分；每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．已知U={y|y=log2x，x＞1}，P={y|y=，x＞2}，则∁UP=（　　）‎ A．[，+∞） B．（0，） C．（0，+∞） D．（﹣∞，0）∪（，+∞）‎ ‎【考点】对数函数的单调性与特殊点；补集及其运算．‎ ‎【分析】先求出集合U中的函数的值域和P中的函数的值域，然后由全集U，根据补集的定义可知，在全集U中不属于集合P的元素构成的集合为集合A的补集，求出集合P的补集即可．‎ ‎【解答】解：由集合U中的函数y=log2x，x＞1，解得y＞0，‎ 所以全集U=（0，+∞），‎ 同样：P=（0，），‎ 得到CUP=[，+∞）．‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎2．设集合M={1，2}，N={a2}，则“a=1”是“N⊆M”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 ‎【考点】集合关系中的参数取值问题．‎ ‎【分析】先由a=1判断是否能推出“N⊆M”；再由“N⊆M”判断是否能推出“a=1”，利用充要条件的定义得到结论．‎ ‎【解答】解：当a=1时，M={1，2}，N={1}有N⊆M 当N⊆M时，a2=1或a2=2有 所以“a=1”是“N⊆M”的充分不必要条件．‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎3．若函数f（x）=的定义域为R，则实数m的取值范围是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】二次函数的性质．‎ ‎【分析】由题意知，函数的定义域为R，即mx2+4mx+3≠0恒成立．①分m=0；②m≠0，△＜0，求出m的范围即可．‎ ‎【解答】解：依题意，函数的定义域为R，即mx2+4mx+3≠0恒成立．‎ ‎①当m=0时，得3≠0，故m=0适合 ‎②当m≠0时，△=16m2﹣12m＜0，得0＜m＜，‎ 综上可知0≤m 故选：B ‎　‎ ‎4．已知函数f（x）=，若f[f（0）]=4a，则实数a等于（　　）‎ A． B． C．2 D．9‎ ‎【考点】函数的值．‎ ‎【分析】先求出f（0）=2，再令f（2）=4a，解方程4+2a=4a，得a值．‎ ‎【解答】解：由题知f（0）=2，f（2）=4+2a，由4+2a=4a，解得a=2．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎5．已知映射f：A→B，其中A=B=R，对应法则f：x→y=|x|，若对实数k∈B，在集合A中不存在元素x使得f：x→k，则k的取值范围是（　　）‎ A．k≤0 B．k＞0 C．k≥0 D．k＜0‎ ‎【考点】映射．‎ ‎【分析】先求出k的值域，则k的值域的补集即为k的取值范围．‎ ‎【解答】解：由题意可得 k=≥0，‎ ‎∵对于实数k∈B，在集合A中不存在原象，∴k＜0，‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎6．已知f（x）是定义在R上的函数，且满足f（1+x）=f（1﹣x），则“f（x）为偶函数”是“2为函数f（x）的一个周期”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】若f（x）为偶函数，则f（﹣x）=f（x），所以f（x+2）=f（1+（x+1））=f（1﹣（x+1））=f（﹣x）=f（x），所以2是函数f（x）的一个周期；若2是函数f（x）的一个周期，则f（x）=f（x+2）=f（1+（x+1））=f（1﹣（x+1））=f（﹣x），所以f（x）为偶函数，所以得到：“f（x）为偶函数“是“2为函数f（x）的一个周期“的充要条件．‎ ‎【解答】解：（1）若f（x）为偶函数，则：f（﹣x）=f（x）；‎ ‎∴由已知条件得：f（x+2）=f[（x+1）+1]=f[1﹣（x+1）]=f（﹣x）=f（x）；‎ ‎∴2为函数f（x）的一个周期；‎ ‎∴“f（x）为偶函数“是“2为函数f（x）的一个周期的充分条件“；‎ ‎（2）若2为函数f（x）的一个周期，则：f（x）=f（x+2）=f[1+（x+1）]=f[1﹣（x+1）]=f（﹣x）；‎ ‎∴函数f（x）为偶函数；‎ ‎∴“f（x）为偶函数“是“2为函数f（x）的一个周期“的必要条件；‎ 综合（1）（2）得，“f（x）为偶函数“是“2为函数f（x）的一个周期“的充要条件．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎7．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（　　）‎ A．y=x3，x∈R B．y=sinx，x∈R C．y=﹣x，x∈R D．y=（）x，x∈R ‎【考点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．‎ ‎【分析】根据奇函数的定义，幂函数和一次函数，正弦函数的单调性便可判断每个选项的正误，从而找出正确选项．‎ ‎【解答】解：A．y=x3在定义域R上是增函数，∴该选项错误；‎ B．y=sinx在定义域上没有单调性，∴该选项错误；‎ C．y=﹣x是奇函数，且在定义域上为减函数，∴该选项错误；‎ D.的图象不关于原点对称，不是奇函数，∴该选项错误．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎8．下列有关命题的说法正确的是（　　）‎ A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x≠1”‎ B．“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的必要不充分条件 C．命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有x2+x+1＜0”‎ D．命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题 ‎【考点】命题的否定；必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】对于A：因为否命题是条件和结果都做否定，即“若x2≠1，则x≠1”，故错误．‎ 对于B：因为x=﹣1⇒x2﹣5x﹣6=0，应为充分条件，故错误．‎ 对于C：因为命题的否定形式只否定结果，应为∀x∈R，均有x2+x+1≥0．故错误．由排除法即可得到答案．‎ ‎【解答】解：对于A：命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x≠1”．因为否命题应为“若x2≠1，则x≠1”，故错误．‎ 对于B：“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的必要不充分条件．因为x=﹣1⇒x2﹣5x﹣6=0，应为充分条件，故错误．‎ 对于C：命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有x2+x+1＜0”．‎ 因为命题的否定应为∀x∈R，均有x2+x+1≥0．故错误．‎ 由排除法得到D正确．‎ 故答案选择D．‎ ‎　‎ ‎9．函数y=的定义域是（　　）‎ A．[1，+∞） B．（0，+∞） C．[0，1] D．（0，1]‎ ‎【考点】函数的定义域及其求法．‎ ‎【分析】由根式内部的代数式大于等于0，然后求解指数和对数不等式得答案．‎ ‎【解答】解：要使函数有意义，则0，‎ ‎∴0＜2x﹣1≤1，即1＜2x≤2，‎ ‎∴函数的定义域为（0，1]．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎10．函数f（x）=的值域是（　　）‎ A．（0，+∞） B．（0，1） C．[，1） D．[，+∞）‎ ‎【考点】函数的值域．‎ ‎【分析】本题考查的是分段函数的值域，分别运用了二次函数和幂函数（反比例函数）的单调性．‎ ‎【解答】解：当x＜1时，f（x）=（x﹣）2+，在（﹣∞，）上单调递减，在（，1）上单调递增，所以f（x）≥，‎ 当x＞1时，f（x）=，单调递减，所以f（x）∈（0，1），综合以上得函数f（x）的值域数（0，+∞）．‎ 故答案为A．‎ ‎　‎ ‎11．若函数为奇函数，则a=（　　）‎ A． B． C． D．1‎ ‎【考点】函数奇偶性的性质．‎ ‎【分析】利用奇函数的定义得到f（﹣1）=﹣f（1），列出方程求出a．‎ ‎【解答】解：∵f（x）为奇函数 ‎∴f（﹣1）=﹣f（1）‎ ‎∴=‎ ‎∴1+a=3（1﹣a）‎ 解得a=‎ 故选A ‎　‎ ‎12．若定义在R上的偶函数f（x）和奇函数g（x）满足f（x）+g（x）=x2+3x+1，则f（x）=（　　）‎ A．x2 B．2x2 C．2x2+2 D．x2+1‎ ‎【考点】函数奇偶性的性质．‎ ‎【分析】利用奇偶函数性质得到f（﹣x）=f（x），g（﹣x）=﹣g（x），代入已知等式得到关系式，与已知等式联立即可求出f（x）．‎ ‎【解答】解：∵定义在R上的偶函数f（x）和奇函数g（x），‎ ‎∴f（﹣x）=f（x），g（﹣x）=﹣g（x），‎ 代入已知等式f（x）+g（x）=x2+3x+1①，得：f（﹣x）+g（﹣x）=x2﹣3x+1，即f（x）﹣g（x）=x2﹣3x+1②，‎ 联立①②，解得：f（x）=x2+1，‎ 故选：D．‎ ‎　‎ 二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．‎ ‎13．已知函数f（x）=满足对任意x1≠x2，都有＜0成立，则a的取值范围是　（0，]　．‎ ‎【考点】函数单调性的判断与证明．‎ ‎【分析】根据已知条件可知函数f（x）在R上单调递减，所以对于ax，0＜a＜1；对于（a﹣3）x+4a，a＜3，又ax＞1，所以（a﹣3）x+4a的最大值满足小于等于1，而（a﹣3）x+4a对于x≥0时的最大值为4a，所以4a≤1，所以得到，和前面的0＜a＜1的a的取值求交集即得a的取值范围．‎ ‎【解答】解：∵对任意x1≠x2，都有＜0成立；‎ ‎∴f（x1）﹣f（x2）与x1﹣x2异号，‎ 即x1﹣x2＜0时，f（x1）﹣f（x2）＞0，即x1＜x2时，f（x1）＞f（x2）；‎ ‎∴函数f（x）在R上是减函数；‎ ‎∴x＜0时，f（x）=ax，0＜a＜1；‎ x≥0时，f（x）=（a﹣3）x+4a，a﹣3＜0，a＜3，又ax＞1，（a﹣3）x+4a）max=4a≤1，‎ ‎∴；‎ 又0＜a＜1，∴0＜a≤；‎ ‎∴a的取值范围是．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎14．已知命题P：“对∀x∈R，∃m∈R，使4x﹣2x+1+m=0”，若命题￢P是假命题，则实数m的取值范围是　m≤1　．‎ ‎【考点】命题的否定．‎ ‎【分析】利用命题的否定与原命题真假相反得到命题p是真命题，即方程有解；分离参数，求二次函数的值域．‎ ‎【解答】解：命题￢p是假命题，即命题P是真命题，‎ 即关于x的方程4x﹣2x+1+m=0有实数解，‎ m=﹣（4x﹣2x+1）=﹣（2x﹣1）2+1，‎ 所以m≤1‎ 故答案为m≤1‎ ‎　‎ ‎15．已知定义在R上的偶函数f（x）在[0，+∞）单调递增，且f（1）=0，则不等式f（x﹣2）≥0的解集是　{x|x≥3或x≤1}　．‎ ‎【考点】奇偶性与单调性的综合．‎ ‎【分析】根据函数的奇偶性和单调性之间的关系，将不等式进行转化，即可得到不等式的解集．‎ ‎【解答】解：∵偶函数f（x）在[0，+∞）上为增函数，f（1）=0，‎ ‎∴不等式f（x﹣2）≥0等价为f（|x﹣2|）≥f（1），‎ 即|x﹣2|≥1，‎ 即x﹣2≥1或x﹣2≤﹣1，‎ 即x≥3或x≤1，‎ 故不等式的解集为{x|x≥3或x≤1}，‎ 故答案为：{x|x≥3或x≤1}．‎ ‎　‎ ‎16．若关于x的不等式x2﹣4x+a2≤0的解集是空集，则实数a的取值范围是　a＜﹣2或a＞2　．‎ ‎【考点】一元二次不等式的应用．‎ ‎【分析】根据开口向上的一元二次不等式小于等于0的解集为空集可得到△＜0，进而可求出a的范围．‎ ‎【解答】解：∵y=x2﹣4x+a2开口向上，不等式x2﹣4x+a2≤0的解集是空集，‎ ‎∴△=16﹣4a2＜0，解得a＜﹣2或a＞2，‎ ‎∴实数a的取值范围是a＜﹣2或a＞2．‎ 故答案为：a＜﹣2或a＞2．‎ ‎　‎ 三．解答题：（本大题共5小题，满分60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17．已知集合S={}，P={x|a+1＜x＜2a+15}．‎ ‎（1）求集合S；‎ ‎（2）若S⊆P，求实数a的取值范围．‎ ‎【考点】其他不等式的解法；集合的包含关系判断及应用．‎ ‎【分析】（1）直接解分式不等式，转化为一元二次不等式求解，即可得到集合S；‎ ‎（2）利用S⊆P，转化为，即可求实数a的取值范围．‎ ‎【解答】解：（I）因为，所以（x﹣5）（x+2）＜0．‎ 解得﹣2＜x＜5，‎ 则集合S={x|﹣2＜x＜5}．‎ ‎（II）因为S⊆P，所以，‎ 解得，‎ 所以a∈[﹣5，﹣3]．‎ ‎　‎ ‎18．求不等式12x2﹣ax＞a2（a∈R）的解集．‎ ‎【考点】一元二次不等式的解法．‎ ‎【分析】不等式12x2﹣ax＞a2（a∈R），化为12x2﹣ax﹣a2＞0，分解因式（4x+a）（3x﹣a）＞0，‎ 令（4x+a）（3x﹣a）=0，解得，或．通过对a分类讨论即可得出．‎ ‎【解答】解：∵不等式12x2﹣ax＞a2（a∈R），‎ ‎∴12x2﹣ax﹣a2＞0，分解因式（4x+a）（3x﹣a）＞0，‎ 令（4x+a）（3x﹣a）=0，解得，或．‎ ‎（1）当a＞0时，＜，不等式的解集为{x|或}；‎ ‎（2）当a=0时， =，不等式的解集为{x|x∈R，且x≠0}；‎ ‎（3）当a＜0时，＞，不等式的解集为{x|或}．‎ 综上可知：当a＞0时，不等式的解集为{x|或}；‎ 当a=0时，不等式的解集为{x|x∈R，且x≠0}；‎ ‎（3）当a＜0时，不等式的解集为{x|或}．‎ ‎　‎ ‎19．已知命题p：方程x2+mx+1=0有两上不相等的负实根，命题q：不等式4x2+4（m﹣2）x+1＞0的解集为R，若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求m的取值范围．‎ ‎【考点】一元二次方程的根的分布与系数的关系；复合命题的真假；一元二次不等式的应用．‎ ‎【分析】若命题p真，则有，解得 m＞2；若命题q真，则有判别式△′=[4（m﹣2）]2﹣16＜0，解得 1＜m＜3．分命题p为真、命题q为假，以及命题p为假、命题q为真两种情况，分别求出m的取值范围，取并集即得所求．‎ ‎【解答】解：令f（x）=x2+mx+1，若命题p真，则有，解得 m＞2．‎ 若命题q真，则有判别式△′=[4（m﹣2）]2﹣16＜0，解得 1＜m＜3．‎ 根据p∨q为真命题，p∧q为假命题，可得命题p和命题q一个为真，另一个为假．‎ 当命题p为真、命题q为假时，m≥3．‎ 当命题p为假、命题q为真时，1＜m≤2．‎ 综上可得，m的取值范围为[3，+∞）∪（1，2]．‎ ‎　‎ ‎20．设二次函数f（x）=ax2+bx+c在区间[﹣2，2]上的最大值、最小值分别为M、m，集合A={x|f（x）=x}．‎ ‎（1）若A={1，2}，且f（0）=2，求M和m的值；‎ ‎（2）若A={2}，且a≥1，记g（a）=M+m，求g（a）的最小值．‎ ‎【考点】二次函数在闭区间上的最值；函数的值域．‎ ‎【分析】（1）先求得c=0；若A={1，2}，则说明f（x）﹣x=0两根为1，2．利用韦达定理求a，b，再利用二次函数图象与性质求解．‎ ‎（2）若A={2}，得到方程f（x）﹣x=0有两个相等的解都为2，根据韦达定理求出a，b，c的关系式，根据a大于等于1，利用二次函数求最值的方法求出在[﹣2，2]上的m和M，代入g（a）=m+M中得到新的解析式g（a）根据g（a）的在[1，+∞）上单调增，求出g（a）的最小值为g（1），求出值即可．‎ ‎【解答】解：（1）∵f（0）=2，∴c=2‎ ‎∵A={1，2}，∴ax2+（b﹣1）x+2=0有两根为1，2．‎ 由韦达定理得，∴‎ ‎∴f（x）=x2﹣2x+2‎ ‎∵x∈[﹣2，2]，∴M=f（﹣2）=10，m=f（1）=1‎ ‎（2）若A={2}，方程ax2+（b﹣1）x+c=0有两相等实根x1=x2=2，‎ 根据韦达定理得到：2+2=﹣，2×，所以c=4a，b=1﹣4a，‎ ‎∴f（x）=ax2+bx+c=ax2+（1﹣4a）x+4a，x∈[﹣2，2]‎ 其对称轴方程为x=‎ ‎∴M=f（﹣2）=16a﹣2，m=f（2﹣）=2﹣‎ 则g（a）=M+m=16a﹣2+2﹣=16a﹣‎ 又g（a）在区间[1，+∞）上为单调递增的，‎ ‎∴当a=1时，g（a）min=16﹣=‎ ‎　‎ ‎21．已知函数f（x）=ax2﹣（2a+1）x+lnx，a∈R．‎ ‎（Ⅰ） 当a=1时，求f（x）的单调区间和极值；‎ ‎（Ⅱ） 若关于x的方程f（x）=2ax2﹣2（a+1）x恰有两个不等的实根，求实数a的取值范围．‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．‎ ‎【分析】（Ⅰ）当a=1时，函数f（x）=x2﹣3x+lnx，求出f（x）的导数，令f'（x）=0，列出表格即可得出函数的单调性，极值；‎ ‎（Ⅱ）分离参数，构造函数，问题转化为使与y=a恰有两个不同的交点，通过讨论a的范围即可求出．‎ ‎【解答】解（Ⅰ）：当a=1时，函数f（x）=x2﹣3x+lnx，‎ 则．‎ 令f'（x）=0，得，x2=1，‎ 当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：‎ x ‎1‎ ‎（1，+∞）‎ f'（x）‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎﹣‎ ‎0‎ ‎+‎ f（x）‎ ‎↗‎ 极大值 ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ ‎∴f（x）在和（1，+∞）上单调递增，在上单调递减．‎ 当时，f（x）极大值=f（）=﹣﹣ln2，‎ 当x=1时，f（x）极小值=f（1）=﹣2．‎ ‎（Ⅱ）依题意ax2﹣（2a+1）x+lnx=2ax2﹣2（a+1）x，‎ 即ax2﹣x﹣lnx=0．则．‎ 令，则．‎ 当0＜x＜1时，r'（x）＞0，故r（x）单调递增（如图），‎ 且；‎ 当x＞1时，r'（x）＜0，故r（x）单调递减，且．‎ ‎∴函数r（x）在x=1处取得最大值r（x）max=r（1）=1．‎ 故要使与y=a恰有两个不同的交点，只需0＜a＜1．‎ ‎∴实数a的取值范围是（0，1）．‎ ‎　‎ ‎[选修4-1：几何证明选讲]‎ ‎22．如图所示，AB为圆O的直径，CB，CD为圆O的切线，B，D为切点．‎ ‎（1）求证：AD∥OC；‎ ‎（2）若圆O的半径为2，求AD•OC的值．‎ ‎【考点】相似三角形的性质．‎ ‎【分析】（1）连接BD，OD，利用切线的性质，证明BD⊥OC，利用AB为直径，证明AD⊥DB，即可证明AD∥OC；‎ ‎（2）证明Rt△BAD∽Rt△COB，可得，即可求AD•OC的值 ‎【解答】（1）证明：连接BD，OD，‎ ‎∵CB，CD是圆O的两条切线，‎ ‎∴BD⊥OC，‎ 又AB为直径，∴AD⊥DB，‎ ‎∴AD∥OC．‎ ‎（2）解：∵AD∥OC，∴∠DAB=∠COB，‎ ‎∴Rt△BAD∽Rt△COB，‎ ‎∴，‎ ‎∴AD•OC=AB•OB=8．‎ ‎　‎ ‎[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ ‎23．选修4﹣4：坐标系与参数方程 已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x轴的正半轴重合．直线l的参数方程为：（t为参数），曲线C的极坐标方程为：ρ=4cosθ．‎ ‎（Ⅰ）写出C的直角坐标方程，并指出C是什么曲线；‎ ‎（Ⅱ）设直线l与曲线C相交于P、Q两点，求|PQ|值．‎ ‎【考点】直线的参数方程；直线与圆相交的性质；简单曲线的极坐标方程．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由ρ=4cosθ可得ρ2=4ρcosθ，故曲线C的直角坐标方程为（x﹣2）2+y2=4，它是以（2，0）为圆心，半径为2的圆．‎ ‎（Ⅱ）把参数方程代入x2+y2=4x整理得，利用根与系数的关系求得，根据求得结果．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）∵ρ=4cosθ，∴ρ2=4ρcosθ， ‎ 由ρ2=x2+y2，ρcosθ=x得：x2+y2=4x，‎ 所以曲线C的直角坐标方程为（x﹣2）2+y2=4，…‎ 它是以（2，0）为圆心，半径为2的圆．…‎ ‎（Ⅱ）把代入x2+y2=4x整理得，…‎ 设其两根分别为t1、t2，则，…‎ ‎∴．…‎ ‎　‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]‎ ‎24．设函数f（x）=|x+2|﹣|x﹣1|‎ ‎（I）画出函数y=f（x）的图象；‎ ‎（II）若关于x的不等式f（x）+4≥|1﹣2m|有解，求实数m的取值范围．‎ ‎【考点】带绝对值的函数．‎ ‎【分析】（I）先将原函数式可化为一个分段函数的形式，再分段画出函数在各段上的图象即得原函数的图象．‎ ‎（II）关于x的不等式f（x）+4≥|1﹣2m|有解等价于：（f（x）+4）max≥|1﹣2m|，再根据分段函数的图象，确定函数的最大值，从而可求实数m的取值范围．‎ ‎【解答】解：（I）函数f（x）可化为：…3′‎ 其图象如下：…5′‎ ‎（II）关于x的不等式f（x）+4≥|1﹣2m|有解等价于：‎ ‎（f（x）+4）max≥|1﹣2m|．…6′‎ 由（I）可知f（x）max=3，‎ ‎（也可由|f（x）|=||x+2|﹣|x﹣1||≤|（x+2）﹣（x﹣1|）|=3，得f（x）max=3）…8′‎ 于是|1﹣2m|≤7，‎ 解得实数m的取值范围：m∈[﹣3，4]…10′‎ ‎　‎ ‎2016年11月9日