2020届二轮复习集合、简易逻辑与不等式作业(1)
集合、简易逻辑与不等式
一、单选题
1．已知x，y为实数，则“xy≥0”是|x+y|≥|x-y|的（）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分且必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】
根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可.
【详解】
因为，
所以“xy≥0”是|x+y|≥|x-y|的充分且必要条件，故选C.
【点睛】
本题考查了充要条件的判断，正确的推理论证是解题的关键.
2．（2015秋•石景山区期末）“命题p为真命题”是“命题p∨q为真命题”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分又不必要条件
【答案】A
【解析】
试题分析：：“命题p为真命题”⇒“命题p∨q为真命题”，反之不成立，命题p∨q为真命题，可能为：q为真命题，p为假命题．即可判断出．
解：“命题p为真命题”⇒“命题p∨q为真命题”，反之不成立，命题p∨q为真命题，可能为：q为真命题，p为假命题．
故“命题p为真命题”是“命题p∨q为真命题”的充分不必要条件，
故选：A．
考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．
3．已知集合A={x|1＜x≤4}，B={1，2，3，4，5}，则A∩B=（ ）
A．2，3， B．2， C． D．3，
【答案】D
【解析】
【分析】
根据交集的定义写出结果．
【详解】
集合A＝{x|1＜x≤4}，B＝{1，2，3，4，5}，
则A∩B＝{2，3，4}．
故选：D．
【点睛】
本题考查了交集的定义与应用问题，是基础题．
4．已知向量，则“”是“与夹角为锐角”的（ ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
当时，与的夹角为，不是锐角，所以充分性不成立，若与的夹角为锐角，则必要性成立，“”是“与夹角为锐角”的必要不充分条件，故选A.
5．设p：x<3，q：-1
b
点(a,b)共计有36个，其中满足2a>b的有27个，所以所求概率为2736=34
故答案选A
点睛：求约束条件下的二元函数的最值是典型的线性规划问题，求解这类问题时，目标函数所对应的直线的截距十分关键，即把目标函数z=ax+by中的zb看作直线在y轴上的截距，其中b的符号要特别小心：当b>0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴上的截距最小时，z值最小；
当b<0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在y轴上的截距最小时，z值最大，
视频
12．若全集，则集合等于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
试题分析：是都没有的元素，故为.
考点：集合交集、并集和补集.
【易错点晴】集合的三要素是：确定性、互异性和无序性.研究一个集合，我们首先要看清楚它的研究对象，是实数还是点的坐标还是其它的一些元素，这是很关键的一步.第二步常常是解一元二次不等式，我们首先用十字相乘法分解因式，求得不等式的解集.在解分式不等式的过程中，要注意分母不能为零.元素与集合之间是属于和不属于的关系，集合与集合间有包含关系.在求交集时注意区间端点的取舍.熟练画数轴来解交集、并集和补集的题目.
二、填空题
13．已知集合，若，则实数的值为
【答案】3
【解析】
试题分析：由可得或，结合集合元素的互异性可知
考点：元素与集合间的关系
14．若正实数满足，则的最小值为__________．
【答案】
【解析】
所以
当且仅当 时取等号
点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.
15．（2010•虹口区校级模拟）若集合A={﹣1，1}，B={x|mx=1}，且A∪B=A，则m的值为 ．
【答案】1或﹣1或0
【解析】
试题分析：由已知中集合A={﹣1，1}，B={x|mx=1}，且A∪B=A，我们易得到集合A是集合B的子集，结合子集的定义，我们分A=∅与A≠∅两种情况讨论，即可求出满足条件的m的值．
解：∵A∪B=A，
∴B⊆A
当m=0时，B=∅满足条件
当m≠∅时，B={1}，或B={﹣1}
即m=1，或m=﹣1
故m的值为：1或﹣1或0
故答案：1或﹣1或0
考点：集合的包含关系判断及应用．
16．命题“”是真命题，则的范围是 __ ．
【答案】
【解析】
试题分析：，，恒成立，时，所以．
考点：命题的真假，不等式恒成立．
三、解答题
17．已知全集U={1，2，3，4，5，6，7，8，9}，A∩（∁UB）={1，3，5，7}，∁U（A∪B）={9}，求集合B．
【答案】
【解析】
【分析】
结合Venn图分析集合的关系即可得解.
【详解】
U={1，2，3，4，5，6，7，8，9}；
又A∩（∁UB）={1，3，5，7}，∁U（A∪B）={9}；
∴∁UB={1，3，5，7，9}；
∴B={2，4，6，8}．
【点睛】
考查列举法的定义，交集、并集和补集的运算．
18．已知集合，，若，求实数的取值范围．
【答案】
【解析】
【分析】
分和两种情况分类讨论，能求出实数的范围．
【详解】
由已知得，
∵，∴①若，则，此时．
②若，则．解得．
由①、②可得，符合题意的实数的取值范围为．
【点睛】
本题考查实数的取值范围的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意子集定义及性质的合理运用．
19．如图所示，是某海湾旅游区的一角，其中，为了营造更加优美的旅游环境，旅游区管委会决定在直线海岸和上分别修建观光长廊和AC，其中是宽长廊，造价是元/米，是窄长廊，造价是元/米，两段长廊的总造价为120万元，同时在线段上靠近点的三等分点处建一个观光平台，并建水上直线通道（平台大小忽略不计），水上通道的造价是元/米．
(1) 若规划在三角形区域内开发水上游乐项目，要求的面积最大，那么和的长度分别为多少米？
(2) 在(1)的条件下，建直线通道还需要多少钱？
【答案】（1）和AC的长度分别为750米和1500米（2）万元
【解析】
试题分析：（1）设长为米，长为米，依题意得，即，表示面积,利用基本不等式可得结论；（2）利用向量方法，将表示为，根据向量的数量积与模长的关系可得结果.
试题解析：（1）设长为米，长为米，依题意得，
即，
=
当且仅当，即时等号成立，
所以当的面积最大时，和AC的长度分别为750米和1500米
（2）在(1)的条件下，因为．
由
得
，
元
所以，建水上通道还需要万元．
解法二：在中，
在中，
在中，
=
元
所以，建水上通道还需要万元．
解法三：以A为原点，以AB为轴建立平面直角坐标系，则，
,即，设
由，求得， 所以
所以，
元
所以，建水上通道还需要万元．
20．已知集合，试写出的所有子集.
【答案】的子集有，，，，，，，
【解析】
【分析】
由确定出，然后利用列举法写出其子集．
【详解】
∵，
∴.
∴的子集有，，，，，，，.
【点睛】
本题考查了子集与真子集．子集要谨防丢失空集等错误，属于基础题．
21．已知函数．
（1）当时，求的零点；
（2）若方程有三个不同的实数解，求的值；
（3）求在上的最小值.
【答案】（1）1， （2）或（3）
【解析】试题分析：（1）由已知可求出函数的解析式，然后令并分两种情况进行讨论：当时和
当时，分别即可求出的零点；（2）将方程转化为，
进一步转化为要求方程和满足下列情形之一：（Ⅰ）一个有等根，另一个有两不等根，且三根不等（Ⅱ）两方程均有两不等根且由一根相同；最后并检验即可得出所求的结果；（3）分两种情况对其进行讨论：当时和当时，并分别判断其在区间上的增减性，进而分别求出其对应情况下的最值即可得出所求的结果．
试题解析：（1）当时， ，
令得，当时， ， （舍去）
当时， ， （舍去）
所以当时， 的零点为1， ．
（2）方程，即，
变形得，
从而欲使原方程有三个不同的解，即要求方程 (1)
与 (2)
满足下列情形之一：
（Ⅰ）一个有等根，另一个有两不等根，且三根不等
（Ⅱ）方程（1）、（2）均有两不等根且由一根相同；
对情形（I）：若方程(1)有等根，则
解得代入方程（2）检验符合；
若方程(2)有等根，则解得代入方程（1）检验符合；
对情形（Ⅱ）：设是公共根，则，
解得代入（1）得，
代入检验得三个解为-2、0、1符合
代入检验得三个解为2、0、-1符合
故有三个不同的解的值为或．
（3） 因为=,
当时， 在上递减，在上递增，
故在上最小值为；
当时，在上递减，在上递增，
故在上最小值为，当时， 在上递减，当时递增，故此时在[-2，2]上的最小值为
．
综上所述： ．
考点：1、函数与方程；2、一元二次方程的解法；2、分段函数的最值的求法；
22．已知集合A={x|x2−x−6>0}，B=x|x<1或x≥4，求A∩B，A∪B．
【答案】A∩B={x|x<−2或x≥4},A∪B={x|x<1或x>3}
【解析】
【分析】
求解出集合A，根据交集、并集的定义求得结果即可.
【详解】
A=xx2−x−6>0=xx<−2或x>3
∴A∩B=xx<−2或x≥4，A∪B=xx<1或x>3
【点睛】
本题考查集合运算中的交集、并集运算，属于基础题.
