【数学】2020届一轮复习人教B版几何问题的转换学案

【数学】2020届一轮复习人教B版几何问题的转换学案

微专题75 几何问题的转换 一、基础知识：‎ ‎ 在圆锥曲线问题中，经常会遇到几何条件与代数条件的相互转化，合理的进行几何条件的转化往往可以起到“四两拨千斤”的作用，极大的简化运算的复杂程度，在本节中，将列举常见的一些几何条件的转化。‎ ‎1、在几何问题的转化中，向量是一个重要的桥梁：一方面，几何图形中的线段变为有向线段后可以承载向量；另一方面，向量在坐标系中能够坐标化，从而将几何图形的要素转化为坐标的运算，与方程和变量找到联系 ‎2、常见几何问题的转化：‎ ‎（1）角度问题：‎ ‎① 若与直线倾斜角有关，则可以考虑转化为斜率 ‎② 若需要判断角是锐角还是钝角，则可将此角作为向量的夹角，从而利用向量数量积的符号进行判定 ‎（2）点与圆的位置关系 ‎① 可以利用圆的定义，转化为点到圆心距离与半径的联系，但需要解出圆的方程，在有些题目中计算量较大 ‎② 若给出圆的一条直径，则可根据该点与直径端点连线的夹角进行判定：若点在圆内，为钝角（再转为向量：；若点在圆上，则为直角（）；若点在圆外，则为锐角（）‎ ‎（3）三点共线问题 ‎① 通过斜率：任取两点求出斜率，若斜率相等，则三点共线 ‎② 通过向量：任取两点确定向量，若向量共线，则三点共线 ‎（4）直线的平行垂直关系：可转化为对应向量的平行与垂直问题，从而转为坐标运算：‎ ‎，则共线；‎ ‎（5）平行（共线）线段的比例问题：可转化为向量的数乘关系 ‎（6）平行（共线）线段的乘积问题：可将线段变为向量，从而转化为向量数量积问题（注意向量的方向是同向还是反向）‎ ‎3、常见几何图形问题的转化 ‎（1）三角形的“重心”：设不共线的三点，则的重心 ‎ ‎（2）三角形的“垂心”：伴随着垂直关系，即顶点与垂心的连线与底边垂直，从而可转化为向量数量积为零 ‎（3）三角形的“内心”：伴随着角平分线，由角平分线性质可知（如图）： ‎ 在的角平分线上 ‎ ‎（4）是以为邻边的平行四边形的顶点 ‎ ‎（5）是以为邻边的菱形的顶点：在垂直平分线上 ‎（6）共线线段长度的乘积：若共线，则线段的乘积可转化为向量的数量积，从而简化运算，(要注意向量的夹角）例如：，‎ 二、典型例题：‎ 例1：如图：分别是椭圆的左右顶点，为其右焦点，是的等差中项，是的等比中项 ‎（1）求椭圆的方程 ‎（2）已知是椭圆上异于的动点，直线过点且垂直于轴，若过作直线，并交直线于点。证明：三点共线 解：（1）依题意可得： ‎ ‎ ‎ 是的等差中项 ‎ ‎ ‎ 是的等比中项 ‎ ‎ 椭圆方程为： ‎ ‎（2）由（1）可得：‎ 设，设 ，联立直线与椭圆方程可得：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 另一方面，因为 ‎ ‎，联立方程：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 三点共线 例2：已知椭圆的右焦点为，为上顶点，为坐标原点，若△的面积为，且椭圆的离心率为．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）是否存在直线交椭圆于，两点， 且使点为△的垂心？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．‎ 解：（1） ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 椭圆方程为： ‎ ‎（2）设，由（1）可得： ‎ ‎ 为△的垂心 ‎ ‎ 设 ‎ 由为△的垂心可得： ‎ ‎ ‎ ‎ ①‎ 因为在直线上 ‎，代入①可得：‎ 即 ②‎ 考虑联立方程：‎ ‎ 得．‎ ‎ ‎ ‎,．代入②可得：‎ ‎ ‎ 解得：或 ‎ 当时，△不存在，故舍去 当时，所求直线存在，直线的方程为 小炼有话说：在高中阶段涉及到三角形垂心的性质，为垂心与三角形顶点的连线垂直底边，所以对垂心的利用通常伴随着垂直条件，在解析几何中即可转化为向量的坐标运算（或是斜率关系）‎ 例3：如图，椭圆的一个焦点是 ，为坐标原点.‎ ‎（1）若 椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，求椭圆的方程；‎ ‎（2）设过点且不垂直轴的直线交椭圆于两点，若直线绕点任意转动，恒有, 求的取值范围.‎ 解：（1）由图可得： 　由正三角形性质可得： ‎ ‎　　　 ‎ ‎ 　　　　 ‎ 椭圆方程为： ‎ ‎（2）设， ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 为钝角 ‎ ‎ 联立直线与椭圆方程：，整理可得：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 恒成立 即恒成立 ‎ ‎ 解得： ‎ 的取值范围是 ‎ 例4：设分别为椭圆的左、右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且椭圆上的点到右焦点距离的最小值为 ‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设为直线上不同于点的任意一点， 若直线分别与椭圆相交于异于的点，证明：点在以为直径的圆内 ‎ 解：（1）依题意可得，且到 右焦点距离的最小值为 ‎ 可解得： ‎ 椭圆方程为 ‎ ‎（2）思路：若要证在以为直径的圆内，只需证明为钝角，即为锐角，从而只需证明，因为坐标可求，所以只要设出直线（斜率为） ，联立方程利用韦达定理即可用表示出的坐标，从而可用表示。即可判断的符号，进而完成证明 解：由（1）可得，设直线的斜率分别为， ，则 ‎ 联立与椭圆方程可得：‎ ‎，消去可得： ‎ ‎ ‎ ‎，即 ‎ 设，因为在直线上，所以，即 ‎ ‎ ‎ ‎ 为锐角， 为钝角 在以为直径的圆内 例5：如图所示，已知过抛物线的焦点的直线与抛物线相交于两点，与椭圆的交点为，是否存在直线使得？若存在，求出直线的方程，若不存在，请说明理由 解：依题意可知抛物线焦点，设 ‎ ‎ ‎ ‎，不妨设 则 ‎ 设 ‎ ‎ ‎ ‎ 考虑联立直线与抛物线方程： ‎ ‎ ，消去可得： ①‎ 联立直线与椭圆方程：，整理可得：‎ ‎ ‎ ‎ ②‎ 由①②可得：‎ ‎，解得： ‎ 所以存在满足条件的直线，其方程为： ‎ 例6：在平面直角坐标系中，已知抛物线的准线方程为，过点作抛物线的切线，切点为（异于点），直线过点与抛物线交于两点，与直线交于点 ‎ ‎（1）求抛物线的方程 ‎（2）试问的值是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由 解：（1）由准线方程可得： ‎ 抛物线方程： ‎ ‎（2）设切点，抛物线为 ‎ ‎ 切线斜率为 ‎ 切线方程为：，代入及 可得：，解得：（舍）或 ‎ ‎ ‎ 设 ‎ 共线且在轴上 ‎ ‎ 联立和抛物线方程：，整理可得：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 再联立直线方程： ‎ 例7：在中，的坐标分别是，点是的重心，轴上一点满足∥，且 ‎ ‎（1）求的顶点的轨迹的方程 ‎（2）直线与轨迹相交于两点，若在轨迹上存在点，使得四边形为平行四边形（其中为坐标原点），求的取值范围 解：（1）设 由是的重心可得：‎ ‎ 由轴上一点满足平行关系，可得 ‎ 由可得： ‎ 化简可得： ‎ 的轨迹的方程为：‎ ‎（2）‎ ‎ 四边形为平行四边形 设 ‎ 在椭圆上 ‎ ‎ ‎ ①‎ 因为在椭圆上，所以，代入①可得：‎ ‎ ②‎ 联立方程可得：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 代入②可得：‎ ‎ ‎ 有两不等实根可得：‎ ‎，即，代入 ‎ ‎ 另一方面： 或 ‎ ‎ ‎ 例8：已知椭圆的离心率为，直线过点，且与椭圆相切于点 ‎（1）求椭圆的方程 ‎（2）是否存在过点的直线与椭圆交于不同的两点，使得？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由 解（1） ‎ 椭圆方程化为：‎ 过 设直线 联立直线与椭圆方程：消去可得：‎ 整理可得：‎ 与椭圆相切于 椭圆方程为：，且可解得 ‎（2）思路：设直线为，，由（1）可得：，再由可知，若要求得（或证明不存在满足条件的），则可通过等式列出关于的方程。对于，尽管可以用两点间距离公式表示出，但运算较为复杂。观察图形特点可知共线，从而可想到利用向量数量积表示线段的乘积。因为同向，所以。写出 的坐标即可进行坐标运算，然后再联立与椭圆方程，运用韦达定理整体代入即可得到关于的方程，求解即可 解：由题意可知直线斜率存在，所以设直线 由（1）可得：‎ 共线且同向 ‎ 联立直线与椭圆方程：‎ 消去并整理可得：‎ ‎，代入，可得：‎ 可解得：，另一方面，‎ 若方程有两不等实根 则 解得: 符合题意 直线的方程为：，即：‎ 或 例9：设椭圆的左，右焦点分别为，上顶点为，过点与垂直的直线交轴负半轴与点 ，且 ‎ ‎（1）求椭圆的离心率 ‎（2）若过三点的圆恰好与直线相切，求椭圆的方程 ‎（3）在（2）的条件下，过右焦点作斜率为的直线与椭圆交于两点，在轴上是否存在点使得以为邻边的平行四边形是菱形？如果存在，求出的取值范围；如果不存在，请说明理由 解：（1）依题意设 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 由可得：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎（2）由（1）可得： ‎ ‎ ‎ 的外接圆的直径为，半径设为 ‎ ‎ ，圆心 ‎ 由圆与直线相切可得： ‎ 解得： ‎ ‎ 椭圆方程为 ‎（3）由（2）得：设直线 ‎ 设，若为邻边的平行四边形是菱形 则为垂直平分线上的点 ‎ ‎ ‎ ‎ 设中点 ‎ ‎ ‎ 的中垂线方程为：，即 ‎ 代入可得：‎ 联立方程： ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 所以存在满足题意的，且的取值范围是 例10：已知抛物线：的焦点为，直线与轴的交点为，与抛物线的交点为，且 ‎（1）求抛物线的方程 ‎（2）过的直线与抛物线相交于两点，若垂直平分线与相交于两点，且四点在同一个圆上，求的方程 解：（1）设，可的 ‎ 且 解得 抛物线 ‎（2）由（1）可得 可设直线 联立方程 设，则有 的中点 且 由直线可得的斜率为 设 整理可得：‎ 与联立消去可得：‎ 设 的中点 ‎，因为共圆，‎ 所以 整理后可得：‎ 的方程为：或