2010年浙江省温州市摇篮杯高一

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‎2010年浙江省温州市摇篮杯高一 一、选择题 ‎1、若函数有两个不同的零点，,那么在两个函数值中 （ ） ‎ A．只有一个小于 B．至少有一个小于 　　‎ C．都小于 D．可能都大于 ‎2、某次数学测试分为选择题与非选择题两部分， ‎ 右边的散点图中每个点表示一位学生在 这两部分的得分，其中表示该生选择题得 分，表示该生非选择题得分，设表 示该生的总分，现有11位学生的得分数据，根 据散点图，下列判断正确的是 （ ）‎ ‎ A．的方差<的方差 ‎ ‎ B．的中位数>的中位数 ‎ C．的众数<的众数 ‎ ‎ D．的中位数=的中位数+的中位数 ‎3、已知表示不超过x的最大整数，如，若是方程的实数根，则 ‎ ‎ （ ） ‎ ‎ A． B． 　‎ ‎ C． D． ‎ ‎4、已知函数的图象与直线的三个相邻交点的横坐标分别是2，4，8，则的单调递减区间是 （ ） ‎ ‎ A． B． ‎ ‎ C． D． ‎ ‎5、若映射，满足：且 ‎，那么的值为 （ ） ‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎6、已知四边形，是的垂直平分线，垂足 为，为直线外一点．设向量，，‎ 则的值是 （ ）‎ A． B． 　 C． D． ‎ ‎7、是一个常数，函数的值域不可能是 （ ） ‎ ‎ A． B． ‎ ‎ C． D． ‎ ‎8、若，，则的大小关系为 （ ）‎ A． B． ‎ C． D． ‎ ‎9、设集合，则中元素的个数为 （ ）‎ A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 大于3个 ‎10、求：= （ ）‎ ‎ A． B． C． D． ‎ 二、填空题 ‎11、设，则 ．‎ ‎12、如图执行右面的程序框图，那么输出的值为 ． ‎ ‎13、在标有数字的12张大小相同的卡片中，‎ 依次取出不同的三张卡片它们的数字和恰好是3的倍数 的概率是 ．‎ ‎14、在平面直角坐标系中，为坐标原点，设向量，‎ ‎，若且，‎ 则点所有可能的位置所构成的区域面积是 ．‎ ‎15、某学生对函数的性质进行研究，得出如下的结论： ‎ ‎①函数在上单调递增，在上单调递减；‎ ‎②点是函数图像的一个对称中心；‎ ‎③函数 图像关于直线对称；‎ ‎④存在常数，使对一切实数均成立．其中正确的结论是 ．‎ ‎16、已知数据的平均数为，标准差为，则数据的平均数的 取值范围是 ．‎ ‎17、已知集合，，若,则实数的取值范围 是 ．‎ 三、解答题 ‎18、‎ 设是定义在实数上的函数，是定义在正整数上的函数，同时满足下列条件：‎ ‎ （1）任意，有，当时，且；‎ ‎ （2）；‎ ‎ （3），‎ 试求：（1）证明：任意， ，都有；‎ ‎ （2）是否存在正整数，使得是25的倍数，若存在，求出所有自然数；若不存在说明理由． （阶乘定义：）‎ ‎19、‎ 已知向量，设函数，‎ ‎ （1）求的单调区间；‎ ‎ （2）若在区间上有两个不同的根，求的值．‎ ‎20、已知正实数，设，．‎ ‎ （1）当时，求的取值范围；‎ ‎ （2）若以为三角形的两边，第三条边长为构成三角形，求的取值范围．‎ 以下是答案 一、选择题 ‎1、B 解：（用特殊值来排除）令，，则；‎ 令，，则，．选B 另解：设，则 ‎，‎ ‎ ，所以，至少有一个小于．选B ‎2、B 解：根据图像可知中位数为40，的中位数大概在34左右，选B ‎3、C 解：由是方程的实数根，易得 令函数，则函数在上是增函数（不是严格增函数）‎ 当时，则 ， ， ‎ 当时，则 ， ， ‎ 当时, 则 ， , ‎ 当时, 则 ， , 选C ‎4、B 解：相邻交点的中点的横坐标分别为3，6，则周期，‎ ‎，又，当时，取最大值，‎ 即 ，，‎ 的单调递减区间为 选B ‎5、B 解：由，可知 若，则，与矛盾，不可能；‎ 若，则 若，则与矛盾，不可能。选B ‎6、B 解：‎ ‎ 选B ‎7、D 解：，‎ 当时，；当时，‎ 当时，; 选D ‎8、A 解：，‎ 又由，得，‎ ‎ , 选A ‎9、B 解：，‎ 得： 共2组，选B ‎ ‎10、A 解：‎ ‎==， 选A 另解：（利用诱导公式配对求和）‎ 二、填空题 ‎11、2‎ ‎12、 ‎ 解， ‎ 输出 ‎13、‎ 解：按被3除的余数进行分类，，，‎ 依次取出不同的三个数，使它们的和恰好是3的倍数的概率 ‎14、‎ 解：作，‎ 为中点，则在内，‎ 面积为 ‎15、④ ‎ 解：为奇函数，‎ 则函数在 ，上单调性相同，所以①错；‎ ‎，所以②错； ，所以③错；‎ ‎，令，所以④对． 选④‎ ‎16、 ‎ 解：由，‎ 得： ‎ 即 ‎ 设的平均数为，的平均数为，则 结合方差定义 ‎ 展开得：‎ 即 ，，‎ 同理 得： ，即 ‎ ‎ 得 另解：（运用柯西不等式）‎ 设的平均数为，的平均数为，则 由 ，‎ 得： ，即 ‎ ‎ 得 ‎17、‎ 三、解答题 ‎18、‎ 解：（1）当时，， ，‎ 若，则得，不可能，舍去 ‎ 当时，，得，‎ 若，则，，，，‎ 同理，若，任意， ‎ ‎，都有 ‎ （2）‎ 由（1）可得为单调减函数 得 ‎…‎ 相乘得： …① ‎ 又由①式得：‎ ‎…‎ ‎，‎ 相加得：，‎ ‎，，，，，，，，‎ 由于当时，能被25整除 综上，存在正整数，当或时，是25的倍数 ‎19、‎ 解：（1）‎ 令，‎ 当时，，且为减函数 又在上时减函数，在上是增函数 当时，，且为减函数 又在上时增函数，在上是减函数 综上，的单调区间为，‎ ‎ （2）由得，，即 令，则是方程的两个根，从而 ‎=‎ ‎，‎ 另解：由得，，即 不妨设则 ‎20、‎ 解：（1）由题设知，，且 所以，‎ 又 结合二次函数的图像知 故的取值范围为 另解：‎ ‎=， ‎ ‎，得的取值范围为 ‎ （2）设，则 恒成立，、‎ 即，‎ ‎， 恒成立 令，由于在是增函数，‎ 令，则 又 ‎ ‎，得的取值范围为