数学理卷·2019届湖北省宜昌市葛洲坝中学高二上学期期末考试（2018-01）

数学理卷·2019届湖北省宜昌市葛洲坝中学高二上学期期末考试（2018-01）

‎ 宜昌市葛洲坝中学2017-2018学年第一学期 高二年级期末考试试卷 理科数学试题 一、选择题 ‎1．复数（为虚数单位）的虚部为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎2．已知命题 “”,则为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎3．已知直线与直线，则“”是“”的( )‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎4．一支田径队共有运动员98人，其中女运动员42人，用分层抽样的方法抽取一个样本，每名运动员被抽到的概率都是，则男运动员应抽取(　　)‎ A. 18人 B. 16人 C. 14人 D. 12人 ‎5．已知双曲线C: -=1(a>0,b>0)的离心率为,则C的渐近线方程为( )‎ A. y=±x B. y=±x C. y=±x D. y=±x ‎6．已知数据的平均数，方差，则数据的平均数和标准差分别为（ ）‎ A. 15，36 B. 22，6 C. 15，6 D. 22，36‎ ‎7．《九章算术》是我国古代的数学名著，体现了古代劳动人民的数学智慧，其中第六章“均输”中，有一竹节容量问题，某教师根据这一问题的思想设计了如图所示的程序框图，若输出的值为35，则输入的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎8． 椭圆内有一点P（3, 2），则以P为中点的弦所在的直线的斜率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎9．已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形，正视图为直角梯形，则此几何体的体积为（ ）．‎ A． B． C． D．‎ ‎10．若直线始终平分圆： 的的周长，则的最小值为（ ）‎ A. B. 5 C. D. 10‎ ‎11．已知两点，，给出下列曲线：①；②；③；④；⑤，在所给的曲线上存在点满足的曲线方程有（ ）‎ A. ②③④ B. ①③④ C. ①③⑤ D. ①④⑤‎ ‎12．已知是椭圆和双曲线的公共顶点。是双曲线上的动点, 是椭圆上的动点（、都异于、），且满足，其中，设直线、、、的斜率分别记为, 则的值（ ）‎ A.大于0 B.等于0 C.小于0 D.以上都有可能 二．填空题 ‎13．若方程表示椭圆，则它的焦距是__________． ‎ ‎14过抛物线的焦点作直线，交抛物线于两点，若线段的中点的横坐标为3, 则等于__________‎ ‎15．关于圆周率，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的蒲丰实验和查理斯实验．受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计的值：先请200名同学，每人随机写下一个都小于1的正实数对；再统计两数能与1构成钝角三角形三边的数对的个数；最后再根据统计数来估计的值．假如统计结果是，那么可以估计__________．（用分数表示）‎ ‎16．已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左、右焦点分别为，且两条曲线在第一象限的交点为，是以为底边的等腰三角形，若，椭圆与双曲线的离心率分别为，则的取值范围是______________‎ 三、解答题 ‎17．(本小题满分10分)已知命题p：实数x满足，其中；‎ 命题q：实数x满足.‎ ‎(1)若a=1且p∧q为真，求实数x的取值范围；‎ ‎(2)若是的充分不必要条件，求实数a的取值范围. ‎ ‎18．(本小题满分12分)已知圆．‎ ‎（Ⅰ）若直线过定点，且与圆相切，求直线的方程；‎ ‎（Ⅱ）若圆半径是，圆心在直线上，且与圆外切，求圆 的方程．‎ ‎19．(本小题满分12分)某校从高一年级学生中随机抽取40名学生，将他们的期中考试数学成绩(满分100分，成绩均为不低于40分的整数)分成六段：[40,50)，[50,60)，…，[90,100]后得到如图所示的频率分布直方图，其中前三段的频率成等比数列．‎ ‎ ‎ ‎(Ⅰ)求图中实数a，b的值；‎ ‎(Ⅱ)若该校高一年级共有学生640人，试估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于80分的人数；‎ ‎(Ⅲ)若从样本中数学成绩在[40,50)与[90,100]两个分数段内的学生中随机选取两名学生，求这两名学生的数学成绩之差的绝对值大于10的概率．‎ ‎20．(本小题满分12分)在如图所示的几何体中，四边形是等腰梯形，，，=1，, 平面， ，.‎ ‎（1）求证： 平面；‎ ‎（2）求二面角的余弦值.‎ ‎21．(本小题满分12分) 某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系,他们分别到气象局与某医院抄录了1至6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数,得到如下资料:‎ 日期 雅创教育网 ‎1月10日 ‎2月10日 ‎3月10日 ‎4月10日 ‎5月10日 ‎6月10日 昼夜温差x(°C)‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎13‎ ‎12‎ ‎8‎ ‎6‎ 就诊人数y(个)‎ ‎22‎ ‎25‎ ‎29‎ ‎26‎ ‎16‎ ‎12‎ 该兴趣小组确定的研究方案是:先从这六组数据中选取2组,用剩下的4组数据求线性回归方程,再用被选取的2组数据进行检验.‎ ‎(Ⅰ)求选取的2组数据恰好是相邻两个月的概率；‎ ‎(Ⅱ)若选取的是1月与6月的两组数据,请根据2至5月份的数据,求出y关于x的线性回归方程；‎ ‎(Ⅲ)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人,则认为得到的线性回归方程是理想的,试问该小组所得线性回归方程是否理想?‎ 参考数据：1092， 498‎ ‎ ‎ ‎(参考公式: )‎ ‎22．（本题满分12分）‎ 如图所示，点N在圆O：上，点D是N在X轴上的投影，M是DN上一点，且满足 当点N在圆O上运动时，点M的轨迹为曲线,且曲线与轴的正半轴相交于点．若曲线上相异两点、满足直线,的斜率之积为．‎ ‎（Ⅰ）求的方程；‎ ‎（Ⅱ）证明直线恒过定点，并求定点的坐标；‎ ‎（Ⅲ）求的面积的最大值．‎ 参考答案 ‎1．A ‎【解析】复数的虚部为，故选A.‎ ‎2．C ‎【解析】由含量词的命题的否定可得命题 “”的否定为： 选C．‎ ‎3．A ‎【解析】直线与直线，若则或所以“”是“”的充分不必要条件 故选A ‎4．B ‎【解析】∵田径队共有运动员98人，其中女运动员有42人，∴男运动员有56人，‎ ‎∵每名运动员被抽到的概率都是，‎ ‎∴男运动员应抽取56×＝16(人)，‎ 本题选择B选项.‎ ‎5．C ‎【解析】离心率 ‎ 由双曲线方程知焦点在x轴上，故渐近线方程为y＝±x. 选C ‎6．B ‎【解析】的平均数为， ， ， 的方差为， 的方差是，数据的平均数和标准差分别为，故选B.‎ ‎7．A ‎【解析】起始阶段有， ，第一次循环后， ， ；第二次循环后， ， ；第三次循环后， ， ；接着计算，跳出循环，输出.令，得.选A.‎ ‎8．A ‎ ‎9．B ‎【解析】‎ 试题分析：观察三视图可知，该几何体为四棱锥，底面为直角梯形，两个侧面与底面垂直，棱锥的高为，由图中数据得该几何体的体积为，故选．‎ 考点：三视图，几何体的体积.‎ ‎10．B ‎【解析】把圆的方程化为标准方程得：(x+2)2+(y+1)2=4，‎ ‎∴圆心M坐标为(−2,−1)，半径r=2，‎ ‎∵直线l始终平分圆M的周长，‎ ‎∴直线l过圆M的圆心M，‎ 把M(−2,−1)代入直线l:ax+by+1=0得：‎ ‎−2a−b+1=0，即2a+b−1=0，‎ ‎∵(2,2)到直线2a+b−1=0的距离d==，‎ ‎∴(a−2)2+(b−2)2的最小值为5.‎ 故选：B ‎ ‎11．C ‎【解析】两点， ，点满足,则点P的轨迹为以M,N为焦点的椭圆, ,,即椭圆方程为;又曲线①③⑤与该椭圆相交,曲线④与椭圆无交点,故选C.‎ 考点：直线与圆锥曲线位置关系．‎ ‎12．B ‎【解析】设P(m，n)、M(s，t)，则＝1，m2－a2＝，‎ ‎＝1，s2－a2＝－，由＋＝λ(＋)．‎ 得＝λ，即.k1＋k2＝＋＝＝5，∴‎ ‎，k3＋k4＝＝－5.‎ ‎13．2 ‎ ‎14.8‎ ‎15．‎ ‎【解析】由题意，200对都小于1的正实数对，满足，面积为1，两个数能与1构成钝角三角形三边的数对满足且，区域面积 为，由已知，解得．‎ 点睛：本题考查几何概型，关键是构造出样本空间．对于实数对，我们把它作为平面上点的坐标，则样本空间是平面上的以为顶点的正方形，其面积为1，而约束条件是，在平面上作出图形，求出其面积，利用几何概型概率公式可得概率，而估值法就是把题中的频率看作是这个概率，从而建立等量关系，得到估值．‎ ‎16‎ ‎【解析】‎ 试题分析：依题意可知，对于椭圆，离心率，对于双曲线，离心率，故 ‎，三角形两边的和大于第三边，故，故，故.‎ ‎17．（1）2；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)由题意求解对数不等式和二次不等式可得： , ；结合题意可得2 ‎ ‎(2)由题意可得, ，且q是p的充分不必要条件，利用子集关系得到关于实数a的不等式组，解不等式组可得实数a的取值范围是 .‎ 试题解析：‎ ‎（1）当时，命题即： ，求解一元二次不等式可得： ,‎ 命题即： ，求对数不等式可得；‎ ‎∵p∧q为真.∴2 ‎ ‎（2）, ‎ ‎∵-p是-q的充分不必要条件，‎ ‎∴q是p的充分不必要条件，‎ ‎∴（2,3]⊊ (a,3a)‎ ‎∴ 即 .‎ ‎18．（Ⅰ）；（Ⅱ） .‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据直线与圆相切转化为圆心到直线的距离等于半径， ，即可求出直线方程（2）圆与圆外切则转化为圆心距等于半径和，可得，即可算出圆的方程 解析：（Ⅰ）设直线的方程为，则 ‎ 圆心到的距离为： ‎ ‎ 所以，直线的方程为 ‎ ‎（Ⅱ）设圆心，则 ‎ ‎ ‎ 所以，圆的方程为： ‎ ‎【答案】(Ⅰ) b＝0.010，a＝0.030(Ⅱ)224(Ⅲ) .‎ ‎【解析】试题分析：(Ⅰ)因为前三段的频率成等比数列，所以由等比数列性质及频率分布直方图的性质，可列出关于方程组，从而能求出；(Ⅱ) 利用频率分布直方图能求出成绩不低于分的频率，频率与总人数的积就是成绩不低于分的人数；(Ⅲ) 样本中成绩在内的人数为，成绩在内的人数为从人中任选人共有种等可能性选法,两人成绩差的绝对值大于的选法有种，由古典概型概率公式可得结果. ‎ 试题解析：(Ⅰ)由直方图及题意得(10b)2＝0.05×0.20.∴b＝0.010，‎ ‎∴a＝0.1－0.005－0.010－0.020－0.025－0.010＝0.030.‎ ‎(Ⅱ)成绩不低于80分的人数估计为640×(0.025＋0.010)×10＝224.‎ ‎(Ⅲ)两个分数段的学生分别为2,4；从6人中任选2人共有15种等可能性选法,‎ 两人成绩差的绝对值大于10的选法有8种，‎ 故所求事件的概率为.‎ ‎20．【答案】(1)证明见解析；(2) .‎ ‎【解析】试题分析：（1）由题意及图可得，先由条件证得，再根据，再由线面垂直的判定定理即可证得线面垂直；（2）解法一：由（1）知， ，可得出，结合平面，知两两垂直，因此可以为坐标原点，分别以， ， 所在的直线为轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系，不妨设，表示出各点的坐标，再求出两个平面的法向量的坐标，即可由公式求出二面角的余弦值；解法二：取的中点，连接，由于，因此，又平面， 平面，可证明出为二面角的平面角，再解三角形即可求出二面角的余弦值．‎ 试题解析：（1）因为四边形是等腰梯形， ，‎ ‎，所以.‎ 又，所以，‎ 因此， ，‎ 又，且， 平面，‎ 所以平面.‎ ‎（2）解法一：由（1）知，所以 又平面，因此两两垂直，以为坐标原点，分别以， ， 所在的直线为轴， 轴， 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.不妨设，则， ， ， ‎ 因此， ‎ 设平面的法向量为 由于，取，则，‎ 由于是平面的一个法向量，则 所以二面角的余弦值为.‎ 解法二：如图，取的中点，连接 由于，因此，‎ 又平面， 平面，‎ 所以，‎ 由于， 平面,‎ 所以平面，故，所以为二面角的平面角 在等腰三角形中，由于，‎ 因此，‎ 又，所以，‎ 故，因此二面角的余弦值为.‎ ‎21．（I）；（II）；(Ⅲ)见解析.‎ 试题解析：‎ ‎(Ⅰ)设抽到相邻两个月的数据为事件A.因为从6组数据中选 取2组数据共有15种情况,每种情况都是等可能出现的，其中,抽到相邻两个月的数据的情况 有5种 ，所以 ‎ ‎(Ⅱ)由数据求得 由公式求得 ‎ 再由 所以关于的线性回归方程为 ‎ ‎ (Ⅲ)当时,, ； ‎ 同样, 当时,, ‎ 所以,该小组所得线性回归方程是理想的.‎ ‎22．（1），（2），（3）‎ ‎（Ⅱ）由曲线的方程得，上顶点由题意知，，若直线AB的斜率不存在，则直线AB的方程为，故，且，因此 ‎，与已知不符，因此直线AB的斜率存在，设直线 ‎，代入椭圆E的方程得：…．①因为直线AB与曲线E有公共点A，B，所以方程①有两个非零不等实根，所以，‎ ‎，又，由 ‎，得即所以化简得：，故或，结合知，即直线AB恒过定点．‎ ‎（Ⅲ）由且得：或，又 ‎，当且仅当，即时，的面积最大，最大值为 考点：1．求椭圆的标准方程；2．证明直线过定点；3．求三角形面积的最值；‎ 细目表 题号 考点 分值 估计得分 ‎1‎ 复数的基本运算 ‎5‎ ‎5‎ ‎2‎ 命题的否定 ‎5‎ ‎4.6‎ ‎3‎ 直线与直线的位置关系 ‎5‎ ‎4.2‎ ‎4‎ 简单随机抽样 ‎5‎ ‎4.5‎ ‎5‎ 双曲线的简单几何性质 ‎5‎ ‎4.5‎ ‎6‎ 算法 ‎5‎ ‎4‎ ‎7‎ 框图 ‎5‎ ‎4‎ ‎8‎ 椭圆 ‎5‎ ‎4.2‎ ‎9‎ 三视图、几何体的体积 ‎5‎ ‎3.5‎ ‎10‎ 直线与圆的位置关系 ‎5‎ ‎3‎ ‎11‎ 直线与圆锥曲线的位置关系 ‎5‎ ‎2.5‎ ‎12‎ 直线与椭圆的位置关系 ‎5‎ ‎1‎ ‎13‎ 椭圆 ‎5‎ ‎4.5‎ ‎14‎ 抛物线的简单几何性质 ‎5‎ ‎4.0‎ ‎15‎ 随机模拟 ‎5‎ ‎2．0‎ ‎16‎ 圆锥曲线综合问题 ‎5‎ ‎1‎ ‎17‎ 简易逻辑 ‎10‎ ‎7‎ ‎18‎ 直线与圆的位置关系 ‎12‎ ‎9‎ ‎19‎ 概率统计 ‎12‎ ‎9‎ ‎20‎ 立体几何 ‎12‎ ‎8‎ ‎21‎ 线性回归直线方程 ‎12‎ ‎6‎ ‎22‎ 圆锥曲线的综合应用 ‎12‎ ‎2.5‎ 总分 ‎150‎ ‎98.0‎