福建省三明市2018-2019学年高二下学期期末质量检测数学（文）试题

福建省三明市2018-2019学年高二下学期期末质量检测数学（文）试题

三明市2018——2019学年第二学期普通高中期末质量检测 高二文科数学试题 一、选择题：在每小题 给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。‎ ‎1.已知虚数单位，则复数（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据复数的运算法则，即可求解，得到答案．‎ ‎【详解】由题意，复数，故选D．‎ ‎【点睛】本题主要考查了复数的运算，其中解答中熟记复数的运算法则是解答的关键，着重考查了计算能力，属于容易题．‎ ‎2.用反证法证明命题“若，则”时，正确的反设为（　　）‎ A. x≤﹣1 B. x≥﹣1 C. x2﹣2x﹣3≤0 D. x2﹣2x﹣3≥0‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据反证法的要求，反设时条件不变，结论设为相反，从而得到答案.‎ ‎【详解】命题“若，则”，‎ 要用反证法证明，则其反设需满足条件不变，结论设为相反，‎ 所以正确的反设为，‎ 故选C项.‎ ‎【点睛】本题考查利用反证法证明时，反设应如何写，属于简单题.‎ ‎3.“”是“”的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 充要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求得方程的根，根据充分条件、必要条件的判定方法，即可求解．‎ ‎【详解】由题意，方程，解得或，‎ 所以“”是“”的充分不必要条件，故选A．‎ ‎【点睛】本题主要考查了充分不必要条件的判定，其中熟记充分条件和必要条件的判定方法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．‎ ‎4.在平面直角坐标系xOy中，圆C1：经过伸缩变换后得到线C2，则曲线C2的方程为（　　）‎ A. 4x2+y2＝1 B. x2+4y2＝1 C. 1 D. x21‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据条件所给的伸缩变换，反解出和的表达式，然后代入到中，从而得到曲线.‎ ‎【详解】因为圆，经过伸缩变换 所以可得，代入圆 得到 整理得，即 故选C项.‎ ‎【点睛】本题考查通过坐标伸缩变换求曲线方程，属于简单题.‎ ‎5.不等式的解集为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据绝对值的定义，得到等价不等式组，即可求解，得到答案．‎ ‎【详解】由题意，不等式，‎ 根据绝对值的定义，可得，解得，即，‎ 所以不等式的解集为，故选C．‎ ‎【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的求解，其中解答中熟记绝对值的定义，得出等价不等式组是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．‎ ‎6.执行如下图的程序框图，如果输入的的值是7，那么输出的的值是（ ）‎ A. 3 B. 15 C. 105 D. 945‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知中的程序框图，得到该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量的变化情况，可得答案．‎ ‎【详解】模拟程序运行，可得：，‎ 满足条件，执行循环体，；‎ 满足条件，执行循环体，；‎ 满足条件，执行循环体，；‎ 此时，不满足条件，推出循环，输出的值为，‎ 故选C．‎ ‎【点睛】本题主要考查了程序框图的应用问题，解答中应模拟程序框图的运行过程，逐次计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．‎ ‎7.利用独立性检验的方法调查高中生的写作水平与离好阅读是否有关，随机询问120名高中生是否喜好阅读，利用2×2列联表，由计算可得K2＝4.236‎ P（K2≥k0）‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ k0‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ 参照附表，可得正确的结论是（　　）‎ A. 有95%的把握认为“写作水平与喜好阅读有关”‎ B. 有97.5%的把握认为“写作水平与喜好阅读有关”‎ C. 有95%的把握认为“写作水平与喜好阅读无关”‎ D. 有97.5%的把握认为“写作水平与喜好阅读无关”‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意知观测值，对照临界值得出结论.‎ ‎【详解】利用独立性检验的方法求得，‎ 对照临界值得出：有95%的把握认为“写作水平与喜好阅读有关”．‎ 故选A项．‎ ‎【点睛】本题考查了独立性检验的应用问题，是基础题．‎ ‎8.已知，实数满足，则下列不等式一定成立的是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据指数函数的单调性，得到，再利用不等式的性质，以及特殊值法，即可求解．‎ ‎【详解】根据指数函数的单调性，由且，可得，‎ 对于A中，由，此时不能确定符号，所以不正确；‎ 对于B中，当时，，此时，所以不正确；‎ 对于C中，例如：当时，此时，所以不正确；‎ 对于D中，由，所以，所以是正确的．‎ 故选D．‎ ‎【点睛】本题主要考查了指数函数的单调性，以及不等式的性质的应用，其中解答中合理利用特殊值法判定是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．‎ ‎9.函数y的图象大致为（　　）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过函数的单调性和特殊点的函数值，排除法得到正确答案.‎ ‎【详解】因为，其定义域为 所以，‎ 所以为奇函数，其图像关于原点对称，故排除A、C项，‎ 当时，，所以D项错误，‎ 故答案为B项.‎ ‎【点睛】本题考查利用函数的奇偶性和特殊点的函数值来判断函数的图像，属于简单题.‎ ‎10.在极坐标系中，曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为。若射线与曲线和曲线分别交于两点（除极点外），则等于（ ）‎ A. B. C. 1 D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 把分别代入和，求得的极经，进而求得，得到答案．‎ ‎【详解】由题意，把代入，可得，‎ 把代入，可得，‎ 结合图象，可得，故选A．‎ ‎【点睛】本题主要考查了简单极坐标方程的应用，以及数形结合法的解题思想方法，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．‎ ‎11.若|x﹣1|≤x|x+1|，则（　　）‎ A. x1 B. x≤1 C. x1 D. x ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对按照，，进行分类讨论，分别解不等式，然后取并集，得到答案.‎ ‎【详解】‎ ‎①当时，，即，‎ 解得 所以 ‎②当时，，即 解得或 所以 ‎③当时，，即 解得 所以 综上所述，‎ 故选A项.‎ ‎【点睛】本题考查分类讨论解不含参的绝对值不等式，属于简单题.‎ ‎12.已知，则不等式的解集为 ‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析：由函数奇偶性的定义，确定函数为偶函数，进而将不等式，转化为不等式，可得或，解不等式求并集，即可得到所求解集.‎ 详解：当时，，，‎ ‎ 又有当时，，‎ ‎ ，即函数为偶函数.‎ 不等式转化为不等式，‎ 可得或，‎ 解得或，‎ 不等式的解集为.‎ 故选C.‎ 点睛：本题考查分段函数与解不等式综合，考查运用函数的基本性质转化不等式并求解的方法，属于中档题.‎ ‎13.在某次诗词大会决赛前，甲、乙、丙丁四位选手有机会问鼎冠军，三名诗词爱好者依据选手在之前比赛中的表现，结合自己的判断，对本场比赛的冠军进行了如下猜测：猜测冠军是乙或丁；猜测冠军一定不是丙和丁；猜测冠军是甲或乙。比赛结束后发现，三个人中只有一个人的猜测是正确的，则冠军是（ ）‎ A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别假设甲、乙、丙和丁是冠军，推出矛盾和正确的结果，即可求解，得到答案．‎ ‎【详解】由题意，选项A中，若甲是冠军，则B和C猜测正确，A猜测错误，不满足题意；‎ 选项B中，若乙是冠军，则A、B、C猜测都正确，不满足题意；‎ 选项C中，若丙是冠军，则A、B、C猜测都不正确，不满足题意；‎ 选项D中，若丁是冠军，则A猜测正确，B和C猜测错误，满足题意，‎ 故选D．‎ ‎【点睛】本题主要考查了合情推理与演绎推理的应用，其中解答中分别假设甲、乙、丙和丁是冠军，推出矛盾和正确的结果是解答的关键，着重考查了推理能力，属于基础题．‎ ‎14.设函数定义域为，其导函数为，若，则不等式的解集为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 令，利用导数求得在上为单调增，把不等式转化为，即可求解．‎ ‎【详解】由题意，令函数，则，‎ 因为，则，所以函数是上的单调递增函数，‎ 又由，则 又由，得，即，所以，‎ 即不等式的解集为，‎ 故选D．‎ ‎【点睛】本题主要考查了利用导数研究的函数的单调性，以及函数的单调性的应用，其中解答中根据不等式，构造新函数，利用导数得到新函数的单调性是解答的关键，着重考查了构造思想，以及推理与运算能力，属于中档试题．‎ 二、填空题。‎ ‎15.已知函数，则_________。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由分段函数的解析式，化简则，即可求解，得到答案．‎ ‎【详解】由题意，函数，‎ 则．‎ ‎【点睛】本题主要考查了分段函数的求值问题，其中解答中熟练应用分段函数的解析式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．‎ ‎16.不等式的解集为.‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由于，因此不等式的解集为.‎ 考点：一元二次不等式的解法 ‎17.已知，设，则的大小关系为（用“<”号连接）______。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用对数函数、指数函数的图象与性质，即可求解，得到答案．‎ ‎【详解】由题意，因为，则，‎ 根据对数函数的单调性，可得，‎ 根据指数函数的图象与性质，可得，‎ 所以．‎ ‎【点睛】本题主要考查了三个数的比较大小，同时考查了对数函数、指数函数的图象与性质的应用，着重考查了运算、求解能力，属于基础题．‎ ‎18.我国古代数学家刘徽于公元263年在《九章算术注》中提出“割圆术”：割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣。即通过圆内接正多边形细割圆，并使正多边形的面积无限接近圆的面积，进而来求得较为精确的圆周率。如果用圆的内接正边形逼近圆，算得圆周率的近似值记为，那么_______。‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由三角函数的倍角公式及三角形的面积公式，得到，即可求得和的值，得到答案．‎ ‎【详解】由题意，可得，所以，‎ 所以．‎ ‎【点睛】本题主要考查了三角形面积公式、圆的面积公式，以及三角函数公式的应用，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．‎ 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。‎ ‎19.已知复数，复数，其中是虚数单位，为实数．‎ ‎（1）若，为纯虚数，求的值；‎ ‎（2）若，求的值．‎ ‎【答案】(1) (2)m=0,n=-1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用复数运算法则，结合纯虚数的概念，根据模的计算公式即可得出；（2）利用复数的运算法则、复数相等即实部与虚部分别相等可得出最终结果．‎ ‎【详解】（1）因为为纯虚数，所以．‎ 又，所以，，从而． ‎ 因此． ‎ ‎（2）因为，所以，‎ 即．又，为实数， ‎ 所以 ‎ 解得 ‎【点睛】本题主要考查了复数的运算法则、模的计算公式、复数相等，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.‎ ‎20.已知函数的图象在点处的切线与直线平行。‎ ‎（1）求切线的方程；‎ ‎（2）若函数有3个零点，求实数的取值范围。‎ ‎【答案】(1) ；(2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由导数的几何意义，求得，得到，进而求得切线的切点坐标，求得切线的方程；‎ ‎（2）由（1）函数，求得函数的单调性与极值，由有3个零点，转化为与的图象有3个交点，即可求解．‎ ‎【详解】（1）由题意，函数，则，‎ 又的图象在点处的切线与直线平行，‎ 所以，解得，即，‎ 所以，所以切点的坐标为，‎ 则切线方程为，即；‎ ‎（2）由（1）可知，令，则，‎ 列表如下：‎ ‎-1‎ ‎1‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ 极大值 极小值 所以当时，有极大值；‎ 当时，有极小值，‎ 且当时，；当时，，‎ 因为有3个零点，所以有3个实数根，‎ 即与的图象有3个交点，所以实数的取值范围为．‎ ‎【点睛】本题主要考查了导数的几何意义，以及利用导数求解函数的单调性与极值的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．‎ ‎21.菜农定期使用低害杀虫农药对蔬菜进行喷洒，以防止害虫的危害，但采集上市时蔬菜仍存有少量的残留农药，食用时需要用清水清洗干净。假设1千克该蔬菜用清水千克清洗后，蔬菜上残留的农药为微克，通过样本数据得到关于的散点图。由数据分析可用函数拟合与的关系.‎ ‎（1）求与的回归方程（精确到0.1）；‎ ‎（2）已知对于残留在蔬菜上的农药，当它的残留量不超过20微克时对人体无害。为了放心食用该蔬菜，请估计至少需要用多少克的清水清洗1千克蔬菜？（答案精确到0.1）‎ 附：①参考数据：，，（其中），。‎ ‎②参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为.‎ ‎【答案】(1) ；(2) 4.5千克 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据散点图，求得，，再由公式求出和的值，即可求得回归直线的方程；‎ ‎（2）当时，代入回归方程，求得，即可得到结论．‎ ‎【详解】（1）由题意，可得，，‎ 所以，‎ 所以，‎ ‎∴关于的线性回归方程为，‎ ‎∴关于的回归方程为．‎ ‎（2）当时，即，解得，‎ ‎∴为了放心食用该蔬菜，估计至少需要用4.5千克的消水清洗1千克蔬菜．‎ ‎【点睛】本题主要考查了回归方程的求解，以及回归直线方程的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．‎ ‎22.已知为虚数单位，观察下列各等式：‎ ‎；‎ ‎；‎ ‎；‎ ‎。‎ 记。‎ ‎（1）根据以上规律，试猜想成立的等式，并加以证明；‎ ‎（2）计算。‎ ‎【答案】(1) 猜想，证明见解析；(2)-1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）将和之间的关系进行验证，总结出规律，即为猜想，作出证明即可；‎ ‎（2）利用（1）推出的结论，代入求解，即可得到答案．‎ ‎【详解】（1）猜想，‎ 证明：‎ ‎；‎ ‎（2）因为，‎ 所以，‎ ‎∴．‎ ‎【点睛】本题主要考查了归纳推理的应用，其中根据题设中各式子的结构，合理归纳是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题．‎ ‎23.已知函数。‎ ‎（1）若函数的一个极值点为，求的单调区间；‎ ‎（2）若，且关于的不等式恒成立，求实数的取值范围。‎ ‎【答案】(1) 的单调递增区间为，的单调递减区间为。(2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据函数的极值点，求得的值，得到函数解析式，利用导数的符号，即可求得函数的单调区间；‎ ‎（2）当时，符合题意，‎ 当时， ，该方程有一正一负根，即存在，使得在上单调递减，在上单调递增，结合，求得的取值范围，即可求得的范围．‎ ‎【详解】（1）依题可知函数的定义域为，且，‎ 因为 函数的一个极值点为，所以，即，得，‎ 经检验，符合题意，所以，‎ 所以，‎ 令，即，解得，‎ 令即，解得，‎ 所以的单调递增区间为，的单调递减区间为．‎ ‎（2）当时，符合题意，‎ 当时，，令，‎ 因为，所以，则该方程有两不同实根，且一正一负，‎ 即存在，使得，‎ 可知时，，时，，‎ 所以在上单调递减，在上单调递增，‎ 所以，‎ 所以，即，‎ 因为在上单调递增，且时，，所以，‎ 由，得，‎ 设，则，故在上单调递减，‎ 所以，即为的范围，‎ 综上所述，实数的取值范围是．‎ ‎【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及恒成立问题的求解，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．‎ ‎24.在平面直角坐标系xOy中，直线C1的参数方程为（t为参数），以O 为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2（1+sin2θ）＝2，点M的极坐标为（，）．‎ ‎（1）求点M的直角坐标和C2的直角坐标方程；‎ ‎（2）已知直线C1与曲线C2相交于A，B两点，设线段AB的中点为N，求|MN|的值．‎ ‎【答案】（1）M的极坐标为（0，），C2的直角坐标方程为x2+2y2＝2（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据极坐标与直角坐标的转化公式，得到M的直角坐标，利用，得到曲线的直角坐标方程；（2）将的参数方程代入的直角坐标方程，得到，而所求的，从而得到答案.‎ ‎【详解】（1） 由点M的极坐标为（，），‎ 可得点M的直角坐标为（0，），‎ 由ρ2（1+sin2θ）＝2，得ρ2+ρ2sin2θ＝2，‎ ‎∵x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，‎ ‎∴C2的直角坐标方程为x2+2y2＝2；‎ ‎（2）把（t为参数）代入x2+2y2＝2，‎ 得7t2+24t+16＝0．‎ 设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则，‎ 又N点对应的参数为，‎ ‎∴|MN|．‎ ‎【点睛】本题考查参数方程与极坐标方程化直角坐标方程，直线参数方程的几何意义，属于中档题.‎ ‎25.已知函数，且不等式的解集为。‎ ‎（1）求实数的值；‎ ‎（2）对任意实数，有成立，求实数的取值范围。‎ ‎【答案】(1) ；(2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由不等式，解得，得出方程组，即可求解；‎ ‎（2）由由，得，即为，‎ 分类讨论求得函数的最小值，即可求解．‎ ‎【详解】（1）由题意，不等式，得，‎ 解得，所以，解得．‎ ‎（2）由（1）得，‎ 由，得，‎ 所以由题意知，‎ 设 当时，是减函数，；当时，；‎ 当时，是增函数，，‎ 所以，‎ 所以实数的取值范围为．‎ ‎【点睛】本题主要考查了含绝对值不等式的解法，以及含绝对值的不等式的恒成立问题，其中解答中熟记含绝对值不等式的解法，以及分类讨论去掉绝对值号是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．‎ ‎ ‎