【数学】2020届北京一轮复习通用版9-5抛物线及其性质作业
9.5 抛物线及其性质
挖命题
【考情探究】
考点
内容解读
5年考情
预测热度
考题示例
考向
关联考点
1.抛物线及其标准方程
1.了解抛物线的定义,并会利用定义解题
2.掌握求抛物线标准方程的基本步骤(定型、定位、定量)和基本方法(定义法和待定系数法)
2013 北京文,9
抛物线的定义及其标准方程
直线和椭圆的方程、三角形的公式
★★★
2.抛物线的几何性质
1.知道抛物线的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率)
2.能用其性质解决有关的抛物线问题,了解抛物线的一些实际应用
2018 北京文,10
抛物线的几何性质的应用
弦长的计算
★★★
3.抛物线中弦的相关问题
1.理解并掌握抛物线中与焦点弦有关的性质与结论
2.能解决抛物线中与弦有关的问题
2012 北京,12
过抛物线焦点的问题
抛物线的定义和几何性质以及面积问题
★☆☆
分析解读 从高考试题来看,抛物线的定义、标准方程、几何性质以及直线与抛物线的位置关系等一直是高考命题的热点,题型既有选择题、填空题,又有解答题.客观题突出“小而巧”的特点,主要考查抛物线的定义、标准方程;主观题考查得较为全面,除考查定义、性质之外,还考查直线与抛物线的位置关系,以及学生的基本运算能力、逻辑思维能力和综合分析问题的能力,侧重对数学思想方法的考查.
破考点
【考点集训】
考点一 抛物线及其标准方程
1.(2016四川文,3,5分)抛物线y2=4x的焦点坐标是( )
A.(0,2) B.(0,1) C.(2,0) D.(1,0)
答案 D
2.(2014安徽,3,5分)抛物线y=14x2的准线方程是( )
A.y=-1 B.y=-2 C.x=-1 D.x=-2
答案 A
3.(2016浙江,9,4分)若抛物线y2=4x上的点M到焦点的距离为10,则M到y轴的距离是 .
答案 9
考点二 抛物线的几何性质
4.(2017课标Ⅱ文,12,5分)过抛物线C:y2=4x的焦点F,且斜率为3的直线交C于点M(M在x轴的上方),l为C的准线,点N在l上且MN⊥l,则M到直线NF的距离为( )
A.5 B.22 C.23 D.33
答案 C
5.(2014上海文,3,4分)若抛物线y2=2px的焦点与椭圆x29+y25=1的右焦点重合,则该抛物线的准线方程为 .
答案 x=-2
考点三 抛物线中弦的相关问题
6.(2014课标Ⅱ文,10,5分)设F为抛物线C:y2=3x的焦点,过F且倾斜角为30°的直线交C于A,B两点,则|AB|=( )
A.303 B.6 C.12 D.73
答案 C
7.(2017课标Ⅰ,10,5分)已知F为抛物线C:y2=4x的焦点,过F作两条互相垂直的直线l1,l2,直线l1与C交于A,B两点,直线l2与C交于D,E两点,则|AB|+|DE|的最小值为( )
A.16 B.14 C.12 D.10
答案 A
炼技法
【方法集训】
方法1 求抛物线标准方程的方法
1.已知抛物线C的开口向下,其焦点是双曲线y23-x2=1的一个焦点,则C的标准方程为( )
A.y2=8x B.x2=-8y C.y2=2x D.x2=-2y
答案 B
2.已知抛物线C的焦点为F(0,1),则抛物线C的标准方程为 .
答案 x2=4y
方法2 解决直线与抛物线位置关系问题的方法
3.(2017课标Ⅰ文,20,12分)设A,B为曲线C:y=x24上两点,A与B的横坐标之和为4.
(1)求直线AB的斜率;
(2)设M为曲线C上一点,C在M处的切线与直线AB平行,且AM⊥BM,求直线AB的方程.
解析 (1)设A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1≠x2,y1=x124,y2=x224,x1+x2=4,
于是直线AB的斜率k=y1-y2x1-x2=x1+x24=1.
(2)由y=x24,得y'=x2,
设M(x3,y3),由题设知x32=1,
解得x3=2,于是M(2,1).
设直线AB的方程为y=x+m,
故线段AB的中点为N(2,2+m),|MN|=|m+1|.
将y=x+m代入y=x24得x2-4x-4m=0.
当Δ=16(m+1)>0,即m>-1时,x1,2=2±2m+1.
从而|AB|=2|x1-x2|=42(m+1).
由题设知|AB|=2|MN|,
即42(m+1)=2(m+1),解得m=7.
所以直线AB的方程为y=x+7.
过专题
【五年高考】
A组 自主命题·北京卷题组
1.(2018北京文,10,5分)已知直线l过点(1,0)且垂直于x轴.若l被抛物线y2=4ax截得的线段长为4,则抛物线的焦点坐标为 .
答案 (1,0)
2.(2013北京文,9,5分)若抛物线y2=2px的焦点坐标为(1,0),则p= ;准线方程为 .
答案 2;x=-1
3.(2012北京,12,5分)在直角坐标系xOy中,直线l过抛物线y2=4x的焦点F,且与该抛物线相交于A,B两点,其中点A在x轴上方.若直线l的倾斜角为60°,则△OAF的面积为 .
答案 3
B组 统一命题、省(区、市)卷题组
考点一 抛物线及其标准方程
1.(2016课标Ⅱ文,5,5分)设F为抛物线C:y2=4x的焦点,曲线y=kx(k>0)与C交于点P,PF⊥x轴,则k=( )
A.12 B.1 C.32 D.2
答案 D
2.(2015陕西文,3,5分)已知抛物线y2=2px(p>0)的准线经过点(-1,1),则该抛物线焦点坐标为( )
A.(-1,0) B.(1,0) C.(0,-1) D.(0,1)
答案 B
考点二 抛物线的几何性质
1.(2016课标Ⅰ,10,5分)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A,B两点,交C的准线于D,E两点.已知|AB|=42,|DE|=25,则C的焦点到准线的距离为( )
A.2 B.4 C.6 D.8
答案 B
2.(2014辽宁文,8,5分)已知点A(-2,3)在抛物线C:y2=2px的准线上,记C的焦点为F,则直线AF的斜率为( )
A.-43 B.-1 C.-34 D.-12
答案 C
3.(2017课标Ⅱ,16,5分)已知F是抛物线C:y2=8x的焦点,M是C上一点,FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点,则|FN|= .
答案 6
4.(2017天津文,12,5分)设抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l.已知点C在l上,以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A.若∠FAC=120°,则圆的方程为 .
答案 (x+1)2+(y-3)2=1
考点三 抛物线中弦的相关问题
1.(2018课标Ⅲ,16,5分)已知点M(-1,1)和抛物线C:y2=4x,过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A,B两点.若∠AMB=90°,则k= .
答案 2
2.(2014湖南文,14,5分)平面上一机器人在行进中始终保持与点F(1,0)的距离和到直线x=-1的距离相等.若机器人接触不到过点P(-1,0)且斜率为k的直线,则k的取值范围是 .
答案 (-∞,-1)∪(1,+∞)
C组 教师专用题组
1.(2015浙江,5,5分)如图,设抛物线y2=4x的焦点为F,不经过焦点的直线上有三个不同的点A,B,C,其中点A,B在抛物线上,点C在y轴上,则△BCF与△ACF的面积之比是( )
A.|BF|-1|AF|-1 B.|BF|2-1|AF|2-1 C.|BF|+1|AF|+1 D.|BF|2+1|AF|2+1
答案 A
2.(2015四川,10,5分)设直线l与抛物线y2=4x相交于A,B两点,与圆(x-5)2+y2=r2(r>0)相切于点M,且M为线段AB的中点.若这样的直线l恰有4条,则r的取值范围是( )
A.(1,3) B.(1,4) C.(2,3) D.(2,4)
答案 D
3.(2013江西,9,5分)已知点A(2,0),抛物线C:x2=4y的焦点为F,射线FA与抛物线C相交于点M,与其准线相交于点N,则|FM|∶|MN|=( )
A.2∶5 B.1∶2 C.1∶5 D.1∶3
答案 C
4.(2014湖南,15,5分)如图,正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a,b(a
0)经过C,F两点,则ba= .
答案 1+2
5.(2016浙江,19,15分)如图,设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,抛物线上的点A到y轴的距离等于|AF|-1.
(1)求p的值;
(2)若直线AF交抛物线于另一点B,过B与x轴平行的直线和过F与AB垂直的直线交于点N,AN与x轴交于点M.求M的横坐标的取值范围.
解析 (1)由题意可得,抛物线上点A到焦点F的距离等于点A到直线x=-1的距离,由抛物线的定义得p2=1,即p=2.
(2)由(1)得,抛物线方程为y2=4x,F(1,0),可设A(t2,2t),t≠0,t≠±1.
因为AF不垂直于y轴,可设直线AF:x=sy+1(s≠0),由y2=4x,x=sy+1消去x得y2-4sy-4=0,
故y1y2=-4,所以,B1t2,-2t.
又直线AB的斜率为2tt2-1,故直线FN的斜率为-t2-12t.
从而得直线FN:y=-t2-12t(x-1),直线BN:y=-2t.
所以Nt2+3t2-1,-2t.
设M(m,0),由A,M,N三点共线得
2tt2-m=2t+2tt2-t2+3t2-1,
于是m=2t2t2-1.
所以m<0或m>2.
经检验,m<0或m>2满足题意.
综上,点M的横坐标的取值范围是(-∞,0)∪(2,+∞).
思路分析 (1)利用抛物线的定义来解题;(2)由(1)知抛物线的方程,可设A点坐标及直线AF的方程,与抛物线方程联立可得B点坐标,进而得直线FN的方程与直线BN的方程,联立可得N点坐标,最后利用A,M,N三点共线可得kAN=kAM,最终求出结果.
评析本题主要考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的位置关系等基础知识,同时考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力.
6.(2014浙江文,22,14分)已知△ABP的三个顶点都在抛物线C:x2=4y上,F为抛物线C的焦点,点M为AB的中点,PF=3FM.
(1)若|PF|=3,求点M的坐标;
(2)求△ABP面积的最大值.
解析 (1)由题意知焦点F(0,1),准线方程为y=-1.
设P(x0,y0),由抛物线定义知|PF|=y0+1,得到y0=2,
所以P(22,2)或P(-22,2).
由PF=3FM,分别得M-223,23或M223,23.
(2)设直线AB的方程为y=kx+m,点A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0).
由y=kx+m,x2=4y得x2-4kx-4m=0,
于是Δ=16k2+16m>0,x1+x2=4k,x1x2=-4m,
所以AB中点M的坐标为(2k,2k2+m).
由PF=3FM,得(-x0,1-y0)=3(2k,2k2+m-1),
所以x0=-6k,y0=4-6k2-3m,由x02=4y0得k2=-15m+415.
由Δ>0,k2≥0,
得-13f43,
所以,当m=19时, f(m)取到最大值256243,
此时k=±5515.
所以,△ABP面积的最大值为2565135.
评析本题主要考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的位置关系、三角形面积公式、平面向量等基础知识,同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力.
7.(2014湖北,22,14分)在平面直角坐标系xOy中,点M到点F(1,0)的距离比它到y轴的距离多1.记点M的轨迹为C.
(1)求轨迹C的方程;
(2)设斜率为k的直线l过定点P(-2,1).求直线l与轨迹C恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k的相应取值范围.
解析 (1)设点M(x,y),依题意得|MF|=|x|+1,即(x-1)2+y2=|x|+1,
化简整理得y2=2(|x|+x).
故点M的轨迹C的方程为y2=4x,x≥0,0,x<0.
(2)在点M的轨迹C中,记C1:y2=4x,C2:y=0(x<0),
依题意,可设直线l的方程为y-1=k(x+2).
由方程组y-1=k(x+2),y2=4x,可得ky2-4y+4(2k+1)=0.①
(i)当k=0时,y=1.把y=1代入轨迹C的方程,得x=14.
故此时直线l:y=1与轨迹C恰好有一个公共点14,1.
(ii)当k≠0时,方程①的判别式为Δ=-16(2k2+k-1).②
设直线l与x轴的交点为(x0,0),则
由y-1=k(x+2),令y=0,得x0=-2k+1k.③
若Δ<0,x0<0,由②③解得k<-1或k>12,
即当k∈(-∞,-1)∪12,+∞时,直线l与C1没有公共点,与C2有一个公共点,
故此时直线l与轨迹C恰好有一个公共点.
若Δ=0,x0<0或Δ>0,x0≥0,由②③解得k∈-1,12或-12≤k<0,
即当k∈-1,12时,直线l与C1只有一个公共点,与C2有一个公共点.
当k∈-12,0时,直线l与C1有两个公共点,与C2没有公共点.
故当k∈-12,0∪-1,12时,直线l与轨迹C恰好有两个公共点.
若Δ>0,x0<0,由②③解得-1-3,
所以(x-0)2+(y-1)2=y+1,
化简得,曲线Γ的方程为x2=4y.
(2)当点P在曲线Γ上运动时,线段AB的长度不变.证明如下:
由(1)知抛物线Γ的方程为y=14x2,
设P(x0,y0)(x0≠0),则y0=14x02,
由y'=12x,得切线l的斜率k=y'|x=x0=12x0,
所以切线l的方程为y-y0=12x0(x-x0),即y=12x0x-14x02.
由y=12x0x-14x02,y=0得A12x0,0.
由y=12x0x-14x02,y=3得M12x0+6x0,3.
又N(0,3),所以圆心C14x0+3x0,3,
半径r=12|MN|=14x0+3x0,
|AB|=|AC|2-r2
=12x0-14x0+3x02+32-14x0+3x02=6.
所以点P在曲线Γ上运动时,线段AB的长度不变.
评析本题主要考查抛物线的定义与性质、圆的性质、直线与圆锥曲线的位置关系等,考查运算求解能力、推理论证能力,考查数形结合思想、函数与方程思想、特殊与一般思想、化归与转化思想.
9.(2013辽宁,20,12分)如图,抛物线C1:x2=4y,C2:x2=-2py(p>0).点M(x0,y0)在抛物线C2上,过M作C1的切线,切点为A,B(M为原点O时,A,B重合于O).当x0=1-2时,切线
MA的斜率为-12.
(1)求p的值;
(2)当M在C2上运动时,求线段AB中点N的轨迹方程(A,B重合于O时,中点为O).
解析 (1)因为抛物线C1:x2=4y上任意一点(x,y)的切线斜率为y'=x2,且切线MA的斜率为-12,所以A点坐标为-1,14.故切线MA的方程为y=-12·(x+1)+14,
因为点M(1-2,y0)在切线MA及抛物线C2上,
于是y0=-12(2-2)+14=-3-224,①
y0=-(1-2)22p=-3-222p.②
由①②得p=2.(6分)
(2)设N(x,y),Ax1,x124,Bx2,x224,x1≠x2,由N为线段AB中点知x=x1+x22,③
y=x12+x228.④
切线MA,MB的方程为
y=x12(x-x1)+x124,⑤
y=x22(x-x2)+x224.⑥
由⑤⑥得MA,MB的交点M(x0,y0)的坐标为x0=x1+x22,y0=x1x24.
因为点M(x0,y0)在C2上,即x02=-4y0,
所以x1x2=-x12+x226.⑦
由③④⑦得x2=43y,x≠0.
当x1=x2时,A,B重合于原点O,AB中点N为O,坐标满足x2=43y.
因此AB中点N的轨迹方程为x2=43y.(12分)
评析本题考查了导数的几何意义、直线与曲线相切、求轨迹方程,考查了函数与方程思想,具有一定的运算量,难度中等.
10.(2013福建,20,12分)如图,抛物线E:y2=4x的焦点为F,准线l与x轴的交点为A.点C在抛物线E上,以C为圆心,|CO|为半径作圆,设圆C与准线l交于不同的两点M,N.
(1)若点C的纵坐标为2,求|MN|;
(2)若|AF|2=|AM|·|AN|,求圆C的半径.
解析 (1)抛物线y2=4x的准线l的方程为x=-1.
由点C的纵坐标为2,得点C的坐标为(1,2),
所以点C到准线l的距离d=2,又|CO|=5,所以|MN|=2|CO|2-d2=25-4=2.
(2)设Cy024,y0,
则圆C的方程为x-y0242+(y-y0)2=y0416+y02,即x2-y022x+y2-2y0y=0.
由x=-1,得y2-2y0y+1+y022=0,
设M(-1,y1),N(-1,y2),
则Δ=4y02-41+y022=2y02-4>0,y1y2=y022+1.
由|AF|2=|AM|·|AN|,得|y1y2|=4,
所以y022+1=4,解得y0=±6,此时Δ>0.
所以圆心C的坐标为32,6或32,-6,
从而|CO|2=334,|CO|=332,即圆C的半径为332.
评析本题主要考查抛物线的方程、圆的方程与性质、直线与圆的位置关系等基础知识,考查运算求解能力、推理论证能力,考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想.
【三年模拟】
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.(2018北京通州摸底,2)已知点P(2,22)为抛物线y2=2px上一点,则点P到抛物线准线的距离是( )
A.2 B.22 C.3 D.4
答案 C
2.(2018北京东城一模,5)设抛物线y2=4x上一点P到y轴的距离是2,则点P到抛物线焦点的距离是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
答案 C
3.(2018北京门头沟一模,4)抛物线y2=8x的焦点F到双曲线C:x2-y23=1的一条渐近线的距离是( )
A.1 B.2 C.3 D.3
答案 D
4.(2017北京朝阳一模,5)设抛物线y2=8x的焦点为F,准线为l,P为抛物线上一点,PA⊥l,A为垂足.若直线AF的斜率为-3,则|PF|=( )
A.43 B.6 C.8 D.16
答案 C
5.(2019届北京十四中10月月考,7)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点M(x0,22)x0>p2是抛物线C上一点,圆M与线段MF相交于点A,且截直线x=p2所得的弦长为3|MA|,若|MA||AF|=2,则|AF|=( )
A.32 B.1 C.2 D.3
答案 B
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.(2019届北京大兴9月统练,9)抛物线y=x2的顶点到焦点的距离等于 .
答案 14
7.(2017北京石景山一模,11)若抛物线y2=2px的焦点与双曲线x24-y2=1的右顶点重合,则p= .
答案 4
8.(2017北京顺义二模,13)已知抛物线y2=2px(p>0)的准线为l,若l与圆x2+y2+6x+5=0的交点为A,B,且|AB|=23,则p的值为 .
答案 4或8
三、解答题(共25分)
9.(2019届北京八中10月月考,17)已知抛物线C:y2=2x.过点(2,0)且斜率存在的直线l与抛物线C交于A,B两点,且点B关于x轴的对称点为D,直线AD与x轴交于点M.
(1)求点M的坐标;
(2)求△OAM与△OAB面积之和的最小值.
解析 由题意可设直线l:y=k(x-2),显然k≠0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),且x1≠x2.
由y2=2x,y=k(x-2),得ky2-2y-4k=0.
所以y1+y2=2k,y1y2=-4.
(1)因为点B,D关于x轴对称,所以D(x2,-y2),
所以直线AD的方程为y-y1=y1+y2x1-x2(x-x1).
令y=0,得x=x1(y1+y2)-y1(x1-x2)y1+y2=x1y2+x2y1y1+y2=
y12y2+y22y12(y1+y2)=12y1y2=-2,所以M(-2,0).
(2)记△OAM与△OAB的面积分别为S△OAM,S△OAB,设P(2,0),
则S△OAM+S△OAB=12|OM|×|y1|+12|OP|×(|y1|+|y2|)=2|y1|+|y2|≥22|y1|×|y2|=22|y1y2|=42.
当且仅当|y2|=2|y1|,即y1=±2,y2=∓22时,
△OAM与△OAB面积之和取得最小值42.
10.(2017北京海淀二模,18)已知动点M到点N(1,0)和直线l:x=-1的距离相等.
(1)求动点M的轨迹E的方程;
(2)已知不与l垂直的直线l'与曲线E有唯一的公共点A,且与直线l的交点为P,以AP为直径作圆C.判断点N和圆C的位置关系,并证明你的结论.
解析 (1)由抛物线的定义可知动点M的轨迹E是以N(1,0)为焦点,直线l:x=-1为准线的抛物线,所以p2=1,即p=2.所以轨迹E的方程为y2=4x.
(2)点N在以AP为直径的圆C上.
证法一:由题意可设直线l':x=my+n(m≠0),
令x=-1,得P-1,-1+nm.
由x=my+n,y2=4x可得y2-4my-4n=0,(*)
因为直线l'与曲线E有唯一的公共点A,
所以Δ=16m2+16n=0,即n=-m2.
所以(*)可化简为y2-4my+4m2=0,
所以A(m2,2m),
因为n=-m2,
所以NA·NP=(m2-1,2m)·-2,-1+nm=-2m2+2-2-2n=0,
所以NA⊥NP,
所以点N在以AP为直径的圆C上.
证法二:依题意可设直线l':y=kx+b(k≠0),
令x=-1,得P(-1,b-k),
由y=kx+b,y2=4x可得k2x2+2(bk-2)x+b2=0,(*)
因为直线l'与曲线E有唯一的公共点A,
所以k≠0,Δ=0,即k≠0,bk=1,
所以(*)可化简为k2x2-2x+1k2=0,
所以A1k2,2k,P-1,1k-k,
所以NA·NP=1k2-1,2k·-2,1k-k=-2k2+2+2k2-2=0,
所以NA⊥NP,
所以点N在以AP为直径的圆C上.
思路分析 (1)利用抛物线的定义求动点M的轨迹方程;(2)设直线l'的方程,与抛物线的方程联立,利用判别式等于0得出参数之间的关系,然后利用点N和点A、P构造向量,研究点N和圆C的位置关系.