【数学】2020届一轮复习江苏版1-2四种命题和充要条件学案

【数学】2020届一轮复习江苏版1-2四种命题和充要条件学案

第2讲　四种命题和充要条件 考试要求　1.命题的概念，命题的四种形式及相互关系(A级要求)；2.充分条件、必要条件、充要条件的含义(B级要求).‎ 知 识 梳 理 ‎1.命题 用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题.‎ ‎2.四种命题及其相互关系 ‎(1)四种命题间的相互关系 ‎(2)四种命题的真假关系 ‎①两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性.‎ ‎②两个命题为互逆命题或互否命题时，它们的真假性没有关系.‎ ‎3.充分条件、必要条件与充要条件的概念 若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件 p是q的充分不必要条件 p⇒q且qp p是q的必要不充分条件 p⇒/ q且q⇒p p是q的充要条件 p⇔q p是q的既不充分也不必要条件 pq且qp ‎4.证明命题条件的充要性时，既要证明原命题成立(即条件的充分性)，又要证明它的逆命题成立(即条件的必要性).‎ 诊 断 自 测 ‎1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)‎ ‎(1)“x2＋2x－3<0”是命题.(　　)‎ ‎(2)命题“若p，则q”的否命题是“若p，则綈q”.(　　)‎ ‎(3)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件.(　　)‎ ‎(4)“若p不成立，则q不成立”等价于“若q成立，则p成立”.(　　)‎ 解析　(1)错误.该语句不能判断真假，故该说法是错误的.‎ ‎(2)错误.否命题既否定条件，又否定结论.‎ 答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√‎ ‎2.(课本习题改编)命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是________.‎ 解析　原命题的结论和条件互换得逆命题：若一个数的平方是正数，则它是负数.‎ 答案　若一个数的平方是正数，则它是负数 ‎3.(课本习题改编)已知集合A＝{1，a}，B＝{1，2，3}，则“a＝3”是“A⊆B”的________条件.‎ 解析　a＝3时，A＝{1，3}，显然A⊆B.但A⊆B，a＝2或3.所以a＝3是A⊆B的充分不必要条件.‎ 答案　充分不必要 ‎4.命题“若a>－3，则a>－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中假命题的个数为________.‎ 解析　原命题正确，从而其逆否命题也正确；其逆命题为“若a>－6，则a>－3”是假命题，从而其否命题也是假命题.因此四个命题中有2个假命题.‎ 答案　2‎ ‎5.(2019·无锡模拟)设a，b∈R，则“a>b”是“a|a|>b|b|”的________条件.‎ 解析　设f(x)＝x|x|，则f(x)＝ 所以f(x)是R上的增函数，‎ 所以“a>b”是“a|a|>b|b|”的充要条件.‎ 答案　充要 考点一　四种命题的关系及其真假判断 ‎【例1】 (1)命题“若x2－3x－4＝0，则x＝4”的逆否命题及其真假性为________________.‎ ‎(2)给出下列命题：‎ ‎①“∃x0∈R，x－x0＋1≤0”的否定；‎ ‎②“若x2＋x－6≥0，则x>2”的否命题；‎ ‎③命题“若x2－5x＋6＝0，则x＝2”的逆否命题.‎ 其中真命题的个数是________.‎ 解析　(1)根据逆否命题的定义可知逆否命题为“若x≠4，则x2－3x－4≠0”；由x2－3x－4＝0，得x＝4或－1，所以原命题为假命题，所以其逆否命题也是假命题.‎ ‎(2)①的否定是“∀x∈R，x2－x＋1>0”是真命题，①正确；②的否命题是“若x2＋x－6<0，则x≤2”，由x2＋x－6<0，得－31，则ax2－2ax＋a＋3>0的解集为R”的逆否命题；‎ ‎④“若x(x≠0)为有理数，则x为无理数”的逆否命题.‎ 其中正确的命题是________(填序号).‎ ‎(2)(2018·徐州模拟)已知a，b，c∈R，命题“若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的否命题是________.‎ 解析　(1)对于①，否命题为“若a2≥b2，则a≥b”，为假命题；对于②，逆命题为“面积相等的三角形是全等三角形”，为假命题；对于③，当a>1时，Δ＝‎ ‎－12a<0，原命题正确，从而其逆否命题正确，故③正确；对于④，原命题正确，从而其逆否命题正确，故④正确.‎ ‎(2)由于一个命题的否命题既否定题设又否定结论，因此原命题的否命题为“若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2<3”.‎ 答案　(1)③④　(2)若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2<3‎ 考点二　充分条件与必要条件的判定 ‎【例2】 (1)(2019·南京学情调研)已知直线l，m，平面α，m⊂α，则“l⊥m”是“l⊥α”的________条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”).‎ ‎(2)(2019·泰州模拟)给出下列三个命题：‎ ‎①“a>b”是“3a>3b”的充分不必要条件；‎ ‎②“α>β”是“cos αb”是“3a>3b”的充要条件，故①错；由余弦函数的性质可知“α>β”是“cos α”是“ln a>ln b”的________条件(从“充分不必要 ‎”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”中选填一个).‎ 解析　由ln a>ln b⇒a>b>0⇒>，故必要性成立.‎ 当a＝1，b＝0时，满足>，但ln b无意义，所以ln a>ln b不成立，故充分性不成立.‎ 答案　必要不充分 ‎2.(2018·南京三模)已知α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，有如下四个命题：‎ ‎①若l⊥α，l⊥β，则α∥β；②若l⊥α，α⊥β，则l∥β；③若l∥α，l⊥β，则α⊥β；④若l∥α，α⊥β，则l⊥β.‎ 其中真命题为________(填序号).‎ 解析　若l⊥α，l⊥β，则α∥β，①正确；若l⊥α，α⊥β，则l∥β或l⊂β，②错误；若l∥α，l⊥β，则α⊥β，③正确；若l∥α，α⊥β，则l与β可能相交或l∥β或l⊂β，④错误.故真命题为①③.‎ 答案　①③‎ ‎3.已知函数y＝ln(x－4)的定义域为A，集合B＝{x|x>a}，若x∈A是x∈B的充分不必要条件，则实数a的取值范围为________.‎ 解析　由题意得x－4>0，则x>4，所以A＝{x|x>4}，因为集合B＝{x|x>a}，x∈A是x∈B的充分不必要条件，所以a<4.‎ 答案　(－∞，4)‎ ‎4.对于函数y＝f(x)，x∈R，“y＝|f(x)|的图象关于y轴对称”是“y＝f(x)是奇函数”的________条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”).‎ 解析　充分性不成立，如y＝|f(x)|＝|x2|的图象关于y轴对称，但不是奇函数；必要性成立，y＝f(x)是奇函数，则|f(－x)|＝|－f(x)|＝|f(x)|，所以y＝|f(x)|的图象关于y轴对称.‎ 答案　必要不充分 ‎5.(2019·苏北四市联考)已知m∈R，则“函数y＝2x＋m－1有零点”是“函数y＝logmx在(0，＋∞)上为减函数”的________条件(从“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”中选填一个).‎ 解析　由y＝2x＋m－1＝0，得m＝1－2x，则m<1.‎ 由于函数y＝logmx在(0，＋∞)上是减函数，‎ 所以01，b>1，则“aa－b”的________条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”).‎ 解析　ln a－ln b>a－b，则ln a－a>ln b－b，构造函数f(x)＝ln x－x，则f′(x)＝－1＝，当x>1时，f′(x)<0，函数f(x)在(1，＋∞)上单调递减，∴1f(b)，即1a－b，‎ 故“aa－b”的充要条件.‎ 答案　充要 ‎8.已知：命题“若函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是增函数，则m≤1”，则下列结论正确的是________(填序号).‎ ‎①否命题是“若函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是减函数，则m＞1”，是真命题；②逆命题是“若m≤1，则函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是增函数”，是假命题；③逆否命题是“若m＞1，则函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是减函数”，是真命题；④逆否命题是“若m＞1，则函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上不是增函数”，是真命题.‎ 解析　由f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是增函数，则f′(x)＝ex－m≥0恒成立，∴m≤1.‎ 因此原命题是真命题，所以其逆否命题“若m＞1，则函数f(x)＝ex－mx在(0，‎ ‎＋∞)上不是增函数”是真命题.‎ 答案　④‎ ‎9.设{an}是首项为正数的等比数列，公比为q，则“q<0”是“对任意的正整数n，a2n－1＋a2n<0”的________条件(填“充要”“充分不必要”“必要不充分”或“既不充分也不必要”).‎ 解析　因为a2n－1＋a2n＝a2n－1(1＋q)＝a1q2n－2(1＋q)，a1>0，故当q<0时，a2n－1＋a2n未必小于0，故充分性不成立；当a2n－1＋a2n<0时，a1q2n－2(1＋q)<0，又a1>0，所以q<－1<0，故必要性成立，故填必要不充分.‎ 答案　必要不充分 ‎10.(2018·盐城期中)设集合A＝{x|x2＋2x－3<0}，集合B＝{x||x＋a|<1}.‎ ‎(1)若a＝3，求A∪B；‎ ‎(2)设p：x∈A，q：x∈B，若p是q成立的必要不充分条件，求实数a的取值范围.‎ 解　(1)解不等式x2＋2x－3<0，‎ 得－3b>c，则a＋b>c”是假命题的一组整数a，b，c的值依次为________.‎ 解析　答案不唯一，如a＝－1，b＝－2，c＝－3，满足a>b>c，但不满足a＋b>c.‎ 答案　－1，－2，－3(答案不唯一)‎ ‎13.已知数列{an}的前n项和为Sn＝pn＋q(p≠0，且p≠1).求证：数列{an}为等比数列的充要条件为q＝－1.‎ 证明　充分性：当q＝－1时，a1＝p－1；‎ 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝pn－1(p－1)，‎ 当n＝1时也成立.‎ ‎∴an＝pn－1(p－1)，n∈N*.‎ 又＝＝p，∴数列{an}为等比数列.‎ 必要性：当n＝1时，a1＝S1＝p＋q；‎ 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝pn－1(p－1).‎ ‎∵p≠0，且p≠1，{an}为等比数列，‎ ‎∴＝＝p.‎ ‎∴＝p，即p－1＝p＋q，∴q＝－1.‎ 综上所述，q＝－1是数列{an}为等比数列的充要条件.‎