【数学】2020届一轮复习江苏版1-2四种命题和充要条件学案

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【数学】2020届一轮复习江苏版1-2四种命题和充要条件学案

第2讲 四种命题和充要条件 考试要求 1.命题的概念,命题的四种形式及相互关系(A级要求);2.充分条件、必要条件、充要条件的含义(B级要求).‎ 知 识 梳 理 ‎1.命题 用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句叫做命题,其中判断为真的语句叫做真命题,判断为假的语句叫做假命题.‎ ‎2.四种命题及其相互关系 ‎(1)四种命题间的相互关系 ‎(2)四种命题的真假关系 ‎①两个命题互为逆否命题,它们具有相同的真假性.‎ ‎②两个命题为互逆命题或互否命题时,它们的真假性没有关系.‎ ‎3.充分条件、必要条件与充要条件的概念 若p⇒q,则p是q的充分条件,q是p的必要条件 p是q的充分不必要条件 p⇒q且qp p是q的必要不充分条件 p⇒/ q且q⇒p p是q的充要条件 p⇔q p是q的既不充分也不必要条件 pq且qp ‎4.证明命题条件的充要性时,既要证明原命题成立(即条件的充分性),又要证明它的逆命题成立(即条件的必要性).‎ 诊 断 自 测 ‎1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)‎ ‎(1)“x2+2x-3<0”是命题.(  )‎ ‎(2)命题“若p,则q”的否命题是“若p,则綈q”.(  )‎ ‎(3)当q是p的必要条件时,p是q的充分条件.(  )‎ ‎(4)“若p不成立,则q不成立”等价于“若q成立,则p成立”.(  )‎ 解析 (1)错误.该语句不能判断真假,故该说法是错误的.‎ ‎(2)错误.否命题既否定条件,又否定结论.‎ 答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√‎ ‎2.(课本习题改编)命题“若一个数是负数,则它的平方是正数”的逆命题是________.‎ 解析 原命题的结论和条件互换得逆命题:若一个数的平方是正数,则它是负数.‎ 答案 若一个数的平方是正数,则它是负数 ‎3.(课本习题改编)已知集合A={1,a},B={1,2,3},则“a=3”是“A⊆B”的________条件.‎ 解析 a=3时,A={1,3},显然A⊆B.但A⊆B,a=2或3.所以a=3是A⊆B的充分不必要条件.‎ 答案 充分不必要 ‎4.命题“若a>-3,则a>-6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中假命题的个数为________.‎ 解析 原命题正确,从而其逆否命题也正确;其逆命题为“若a>-6,则a>-3”是假命题,从而其否命题也是假命题.因此四个命题中有2个假命题.‎ 答案 2‎ ‎5.(2019·无锡模拟)设a,b∈R,则“a>b”是“a|a|>b|b|”的________条件.‎ 解析 设f(x)=x|x|,则f(x)= 所以f(x)是R上的增函数,‎ 所以“a>b”是“a|a|>b|b|”的充要条件.‎ 答案 充要 考点一 四种命题的关系及其真假判断 ‎【例1】 (1)命题“若x2-3x-4=0,则x=4”的逆否命题及其真假性为________________.‎ ‎(2)给出下列命题:‎ ‎①“∃x0∈R,x-x0+1≤0”的否定;‎ ‎②“若x2+x-6≥0,则x>2”的否命题;‎ ‎③命题“若x2-5x+6=0,则x=2”的逆否命题.‎ 其中真命题的个数是________.‎ 解析 (1)根据逆否命题的定义可知逆否命题为“若x≠4,则x2-3x-4≠0”;由x2-3x-4=0,得x=4或-1,所以原命题为假命题,所以其逆否命题也是假命题.‎ ‎(2)①的否定是“∀x∈R,x2-x+1>0”是真命题,①正确;②的否命题是“若x2+x-6<0,则x≤2”,由x2+x-6<0,得-31,则ax2-2ax+a+3>0的解集为R”的逆否命题;‎ ‎④“若x(x≠0)为有理数,则x为无理数”的逆否命题.‎ 其中正确的命题是________(填序号).‎ ‎(2)(2018·徐州模拟)已知a,b,c∈R,命题“若a+b+c=3,则a2+b2+c2≥3”的否命题是________.‎ 解析 (1)对于①,否命题为“若a2≥b2,则a≥b”,为假命题;对于②,逆命题为“面积相等的三角形是全等三角形”,为假命题;对于③,当a>1时,Δ=‎ ‎-12a<0,原命题正确,从而其逆否命题正确,故③正确;对于④,原命题正确,从而其逆否命题正确,故④正确.‎ ‎(2)由于一个命题的否命题既否定题设又否定结论,因此原命题的否命题为“若a+b+c≠3,则a2+b2+c2<3”.‎ 答案 (1)③④ (2)若a+b+c≠3,则a2+b2+c2<3‎ 考点二 充分条件与必要条件的判定 ‎【例2】 (1)(2019·南京学情调研)已知直线l,m,平面α,m⊂α,则“l⊥m”是“l⊥α”的________条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”).‎ ‎(2)(2019·泰州模拟)给出下列三个命题:‎ ‎①“a>b”是“3a>3b”的充分不必要条件;‎ ‎②“α>β”是“cos αb”是“3a>3b”的充要条件,故①错;由余弦函数的性质可知“α>β”是“cos α”是“ln a>ln b”的________条件(从“充分不必要 ‎”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”中选填一个).‎ 解析 由ln a>ln b⇒a>b>0⇒>,故必要性成立.‎ 当a=1,b=0时,满足>,但ln b无意义,所以ln a>ln b不成立,故充分性不成立.‎ 答案 必要不充分 ‎2.(2018·南京三模)已知α,β是两个不同的平面,l,m是两条不同的直线,有如下四个命题:‎ ‎①若l⊥α,l⊥β,则α∥β;②若l⊥α,α⊥β,则l∥β;③若l∥α,l⊥β,则α⊥β;④若l∥α,α⊥β,则l⊥β.‎ 其中真命题为________(填序号).‎ 解析 若l⊥α,l⊥β,则α∥β,①正确;若l⊥α,α⊥β,则l∥β或l⊂β,②错误;若l∥α,l⊥β,则α⊥β,③正确;若l∥α,α⊥β,则l与β可能相交或l∥β或l⊂β,④错误.故真命题为①③.‎ 答案 ①③‎ ‎3.已知函数y=ln(x-4)的定义域为A,集合B={x|x>a},若x∈A是x∈B的充分不必要条件,则实数a的取值范围为________.‎ 解析 由题意得x-4>0,则x>4,所以A={x|x>4},因为集合B={x|x>a},x∈A是x∈B的充分不必要条件,所以a<4.‎ 答案 (-∞,4)‎ ‎4.对于函数y=f(x),x∈R,“y=|f(x)|的图象关于y轴对称”是“y=f(x)是奇函数”的________条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”).‎ 解析 充分性不成立,如y=|f(x)|=|x2|的图象关于y轴对称,但不是奇函数;必要性成立,y=f(x)是奇函数,则|f(-x)|=|-f(x)|=|f(x)|,所以y=|f(x)|的图象关于y轴对称.‎ 答案 必要不充分 ‎5.(2019·苏北四市联考)已知m∈R,则“函数y=2x+m-1有零点”是“函数y=logmx在(0,+∞)上为减函数”的________条件(从“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”中选填一个).‎ 解析 由y=2x+m-1=0,得m=1-2x,则m<1.‎ 由于函数y=logmx在(0,+∞)上是减函数,‎ 所以01,b>1,则“aa-b”的________条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”).‎ 解析 ln a-ln b>a-b,则ln a-a>ln b-b,构造函数f(x)=ln x-x,则f′(x)=-1=,当x>1时,f′(x)<0,函数f(x)在(1,+∞)上单调递减,∴1f(b),即1a-b,‎ 故“aa-b”的充要条件.‎ 答案 充要 ‎8.已知:命题“若函数f(x)=ex-mx在(0,+∞)上是增函数,则m≤1”,则下列结论正确的是________(填序号).‎ ‎①否命题是“若函数f(x)=ex-mx在(0,+∞)上是减函数,则m>1”,是真命题;②逆命题是“若m≤1,则函数f(x)=ex-mx在(0,+∞)上是增函数”,是假命题;③逆否命题是“若m>1,则函数f(x)=ex-mx在(0,+∞)上是减函数”,是真命题;④逆否命题是“若m>1,则函数f(x)=ex-mx在(0,+∞)上不是增函数”,是真命题.‎ 解析 由f(x)=ex-mx在(0,+∞)上是增函数,则f′(x)=ex-m≥0恒成立,∴m≤1.‎ 因此原命题是真命题,所以其逆否命题“若m>1,则函数f(x)=ex-mx在(0,‎ ‎+∞)上不是增函数”是真命题.‎ 答案 ④‎ ‎9.设{an}是首项为正数的等比数列,公比为q,则“q<0”是“对任意的正整数n,a2n-1+a2n<0”的________条件(填“充要”“充分不必要”“必要不充分”或“既不充分也不必要”).‎ 解析 因为a2n-1+a2n=a2n-1(1+q)=a1q2n-2(1+q),a1>0,故当q<0时,a2n-1+a2n未必小于0,故充分性不成立;当a2n-1+a2n<0时,a1q2n-2(1+q)<0,又a1>0,所以q<-1<0,故必要性成立,故填必要不充分.‎ 答案 必要不充分 ‎10.(2018·盐城期中)设集合A={x|x2+2x-3<0},集合B={x||x+a|<1}.‎ ‎(1)若a=3,求A∪B;‎ ‎(2)设p:x∈A,q:x∈B,若p是q成立的必要不充分条件,求实数a的取值范围.‎ 解 (1)解不等式x2+2x-3<0,‎ 得-3b>c,则a+b>c”是假命题的一组整数a,b,c的值依次为________.‎ 解析 答案不唯一,如a=-1,b=-2,c=-3,满足a>b>c,但不满足a+b>c.‎ 答案 -1,-2,-3(答案不唯一)‎ ‎13.已知数列{an}的前n项和为Sn=pn+q(p≠0,且p≠1).求证:数列{an}为等比数列的充要条件为q=-1.‎ 证明 充分性:当q=-1时,a1=p-1;‎ 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=pn-1(p-1),‎ 当n=1时也成立.‎ ‎∴an=pn-1(p-1),n∈N*.‎ 又==p,∴数列{an}为等比数列.‎ 必要性:当n=1时,a1=S1=p+q;‎ 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=pn-1(p-1).‎ ‎∵p≠0,且p≠1,{an}为等比数列,‎ ‎∴==p.‎ ‎∴=p,即p-1=p+q,∴q=-1.‎ 综上所述,q=-1是数列{an}为等比数列的充要条件.‎
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