2019-2020学年四川省眉山市彭山区第一中学高二上学期开学考试数学试题 Word版

2019-2020学年四川省眉山市彭山区第一中学高二上学期开学考试数学试题 Word版

四川省眉山市彭山区第一中学2019-2020学年高二上学期开学考试数学试题 一、选择题：每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．‎ ‎1．不等式的解集为（ ）‎ A．或 B． C．或 D．‎ ‎2．设，且，则下列不等式成立的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．已知外接圆的半经为，则等于（ ）‎ A．　　　 B．　　　 C．　　　 D．不确定 ‎4. 已知平面向量的夹角为，，，则 A． B． C． D．‎ ‎5. 已知等差数列的前项和为， ，则当取得最小值时，的值为 A． B． C． D．‎ ‎6. 正四棱锥的顶点都在同一球面上．若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为 A. B．16π C．9π D. ‎7.在中，内角的对边分别是，已知，则此三角形的解的情况是 A．无解 B．一解 C．两解 D．无法确定 ‎8．等比数列的前项和为，已知，则等于（ ）‎ A．81 B．‎17 ‎ C．24 D．73‎ ‎9. 用篱笆围一个面积为 矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是（　　）‎ A. 30 B. ‎36 ‎C. 40 D. 50‎ ‎10. 一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图为正三角形，则侧视图的面积为(　　)‎ A. 8 B. C. D. 4‎ ‎11.在中，，是边上的一点（包括端点），则的取值范围是 A． B． ‎ C． D．‎ ‎12.一个机器人每一秒钟前进一步或后退一步，程序设计师设计的程序是让机器人以先前进步，然后再后退步的规律移动.如果将机器人放在数轴的原点，面向正的方向在数轴上移动(步的距离为个单位长度).令表示第秒时机器人所在位置的坐标，且记,则下列结论中错误的是 A． B．‎ ‎. D．‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13．若向量，，且，则实数的值为 ．‎ ‎14．已知数列成等差数列，且，则 ‎ ‎15.如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到处时测得公路北侧一山顶D在西偏北的方向上，行驶‎600m后到达处，测得此山顶在西偏北的方向上，仰角为，则此山的高度 ________ m. ‎ ‎16．设的内角所对的边分别为，已知，则的最 大值为 。‎ 三、解答题：本大题共6个小题，17题10分，其余每题12分，共计70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎17．（本小题满分10分）‎ 在等差数列中，.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若，数列是公比为2的等比数列，求数列的前项和. ‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ 如图，在边长为1的正六边形中，为边上一点，且满足，设，.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎﹒‎ 第18题 ‎（1）若，试用，表示和； ‎ ‎（2）若，求的值.‎ ‎19. (本题满分12分)‎ 在中，内角的对边分别为.已知：.‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）若，,求的面积.‎ ‎20. (本题满分12分)‎ 已知函数.‎ ‎(Ⅰ) 求的最小值及相应的值；‎ ‎(Ⅱ) 解关于的不等式：.‎ ‎21．（本题满分12分）‎ 已知三边是连续的三个自然数．‎ ‎（Ⅰ）求最小边的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）是否存在这样的，使得其最大内角是最小内角的两倍？若存在，试求出这个三角形的三边；若不存在，请说明理由．‎ ‎22．（本题满分12分）‎ 已知数列满足，，其中．‎ ‎(1)设，求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；‎ ‎(2)设，数列的前项和为，是否存在正整数，使得对于恒成立？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由．‎ 高21届第三学期入学考试数学试题答案 一、选择题：‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ B D C C C A B D C B D D 二、填空题（每题5分，满分20分，）‎ ‎13.___ 2___ 14. ___________‎ ‎15. ______________ 16. ____________‎ 三、解答题：本大题共6个小题，17题10分，其余每题12分，共计70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎17. 解：（1）设公差为，由 ‎ ………………………………………….（3分）‎ ‎ ………………………（4分）‎ ‎（2）由题：‎ ‎∴ ………………….（6分）‎ ‎ …………….（8分）‎ ‎ …………….（10分）‎ ‎18．解 ：记正六边形的中心为点，连结，在平行四边形中，，在平行四边形中=………………………………………………………4分 ‎……………6分 ‎ 若，‎ ‎……………………………8分 又因为 ‎，所以……………………………………..12分 ‎19.解：（Ⅰ）由正弦定理得所以=,即,‎ 即,所以……………………………………… 6分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知: =2,即,又因为,所以由余弦定理得：‎ ‎，即,解得,所以。‎ 又因为，‎ 故的面积为………………………………………12分 ‎20.解：(Ⅰ) ‎ 故 等号成立条件：‎ 故当时,……………………………. 6分 ‎(Ⅱ) ‎ ‎(1)当时,解集为；‎ ‎(2)当时,解集为……………………………………. 12分 ‎21. 解：（Ⅰ）设角所对的边分别是，且，‎ 由题意，‎ 所以，所以最小边的取值范围是．．．．．．．．．．．．．．．．4分 ‎（II）由题意，三个角中最大角为，最小角为．‎ 由正弦定理得．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 得．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分 又 解得(舍去) ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 所以三角形的三边分别为 ……………………………………………11分 所以存在唯一同时满足以下两条件:三边是连续的三个自然数且最大角是最小角的两倍.．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 另解: ‎ ‎，‎ 三个角中最大角为，最小角为．则,‎ ‎．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 由余弦定理得 ‎．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分 代入上式化简得 ‎,,解得,‎ ‎．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 所以三角形的三边分别为 ‎ 所以存在唯一同时满足以下两条件:三边是连续的三个自然数且最大角是最小角的两倍. ‎ ‎．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 ‎22.解：（1）‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎∴数列是以为首项，为公差的等差数列.………………4分 ‎ …………………………………5分 ‎∴，解得 …………………………6分 ‎（2）由（1）得. ‎ ‎∴……………………………………7分 ‎∴‎ ‎ ……………………………………9分 ‎∴，解得或，………………………10分 ‎∵ ∴.‎ ‎∵，且为正整数.‎ ‎∴，且 ‎∴存在正整数，使得对于恒成立，的最小值为.………12分