【数学】2020届一轮复习江苏版12-1矩阵与变换学案

【数学】2020届一轮复习江苏版12-1矩阵与变换学案

考试内容 等级要求 矩阵的概念 A 二阶矩阵与平面向量 B 常见的平面变换 A 变换的复合与矩阵的乘法 B 二阶逆矩阵 B 二阶矩阵的特征值与特征向量 B 二阶矩阵的简单应用 B 坐标系的有关概念 A 简单图形的极坐标方程 B 极坐标方程与直角坐标方程的互化 B 参数方程 B 直线、圆及椭圆的参数方程 B 参数方程与普通方程的互化 B 参数方程的简单应用 B 不等式的基本性质 B 含有绝对值的不等式的求解 B 不等式的证明(比较法、综合法、分析法)‎ B 算术—几何平均不等式与柯西不等式 A 利用不等式求最大(小)值 B 运用数学归纳法证明不等式 B ‎§12.1　矩阵与变换 考情考向分析　矩阵命题出自三个方向：一是变换的复合与矩阵的乘法，通过研究曲线上任意一点的变换可以得出曲线的变换．二是逆变换与逆矩阵，主要由点或曲线的变换用待定 系数法求矩阵或逆矩阵．三是特征值与特征向量．属于低档题．‎ ‎1．乘法规则 ‎(1)行矩阵[a11　a12]与列矩阵的乘法规则：‎ ‎[a11　a12]＝[a11×b11＋a12×b21]．‎ ‎(2)二阶矩阵与列向量的乘法规则：‎ ＝.‎ ‎(3)两个二阶矩阵相乘的结果仍然是一个矩阵，其乘法法则如下：‎ ‎＝.‎ ‎(4)两个二阶矩阵的乘法满足结合律，但不满足交换律和消去律．‎ 即(AB)C＝A(BC)，‎ AB≠BA，‎ 由AB＝AC不一定能推出B＝C.‎ 一般地，两个矩阵只有当前一个矩阵的列数与后一个矩阵的行数相等时才能进行乘法运算．‎ ‎2．常见的平面变换 ‎(1)恒等变换：如；‎ ‎(2)伸压变换：如；‎ ‎(3)反射变换：如；‎ ‎(4)旋转变换：如，其中θ为旋转角度；‎ ‎(5)投影变换：如，；‎ ‎(6)切变变换：如(k∈R，且k≠0)．‎ ‎3．逆变换与逆矩阵 ‎(1)对于二阶矩阵A，B，若有AB＝BA＝E，则称A是可逆的，B称为A的逆矩阵；‎ ‎(2)若二阶矩阵A，B均存在逆矩阵，则AB也存在逆矩阵，且(AB)－1＝B－1A－1.‎ ‎4．特征值与特征向量 设A是一个二阶矩阵，如果对于实数λ，存在一个非零向量α，使Aα＝λα，那么λ称为A的一个特征值，而α称为A的属于特征值λ的一个特征向量．‎ ‎5．特征多项式 设A＝是一个二阶矩阵，λ∈R，我们把行列式f(λ)＝＝λ2－(a＋d)λ＋ad－bc，称为A的特征多项式．‎ 题组一　思考辨析 ‎1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)‎ ‎(1)已知A，B，C为二阶矩阵，且AB＝AC，若矩阵A存在逆矩阵，则B＝C.(　√　)‎ ‎(2)＝.(　√　)‎ ‎(3)若二阶矩阵A，B均存在逆矩阵，则(AB)－1＝B－1A－1.(　×　)‎ ‎(4)矩阵A＝的特征值为8和－3.(　√　)‎ 题组二　教材改编 ‎2．[P52例3]已知矩阵A＝，则A的逆矩阵A－1＝________.‎ 答案　 解析　因为det(A)＝2×5－3×4＝－2，‎ 所以A－1＝＝.‎ ‎3．[P11习题T7]已知矩阵M＝，其中a∈R.若点P(1，－2)在矩阵M的变换下得到点P′(－4,0)，实数a的值为________．‎ 答案　3‎ 解析　由 ＝，得2－2a＝－4，‎ 解得a＝3.‎ ‎4．[P39例1(1)]已知A＝，B＝，求AB.‎ 解　AB＝  ‎＝ ‎＝.‎ 题组三　易错自纠 ‎5．A＝，B＝，则AB的逆矩阵为________．‎ 答案　 解析　∵A－1＝，B－1＝，‎ ‎∴(AB)－1＝B－1A－1＝＝.‎ ‎6．设椭圆的方程为x2＋＝1，若它在矩阵M＝对应的伸压变换下变为一个圆，则实数a＝________.‎ 答案　4‎ 解析　设P(x，y)为椭圆上任意一点，变换后为P′(x′，y′)，‎ 则＝＝，‎ 所以x＝x′，y＝2y′，代入椭圆的方程，得x′2＋＝1.‎ 因为它表示圆，所以a＝4.‎ ‎7．已知矩阵A＝，B＝，求矩阵A－1B.‎ 解　设矩阵A的逆矩阵为，‎ 则＝，‎ 即＝，‎ 故a＝－1，b＝0，c＝0，d＝，‎ 从而A的逆矩阵A－1＝，‎ 所以A－1B＝ ＝.‎ 题型一　矩阵与变换 ‎1．已知a，b是实数，如果矩阵M＝所对应的变换将直线x－y＝1变换成x＋2y＝1，求a，b的值．‎ 解　设点(x，y)是直线x－y＝1上任意一点，在矩阵M的作用下变成点(x′，y′)，则＝，‎ 所以 因为点(x′，y′)在直线x＋2y＝1上，‎ 所以(2＋2b)x＋(a＋2)y＝1，即 所以 ‎2．二阶矩阵M对应的变换将点(1，－1)与(－2，1)分别变换成点(－1，－1)与(0，－2)．‎ ‎(1)求矩阵M；‎ ‎(2)设直线l在矩阵M变换作用下得到了直线m：x－y＝4，求直线l的方程．‎ 解　(1)设M＝，则有＝，‎  ＝，‎ 所以且解得 所以M＝.‎ ‎(2)设直线l上任意一点P(x，y)，‎ 在矩阵M的变换作用下得到点P′(x′，y′)．‎ 因为＝ ＝，‎ 且m：x′－y′＝4，所以(x＋2y)－(3x＋4y)＝4，‎ 整理得x＋y＋2＝0，所以直线l的方程为x＋y＋2＝0.‎ 思维升华 已知变换前后的坐标，求变换对应的矩阵时，通常用待定系数法求解．‎ 题型二　求逆矩阵 例1 已知矩阵det(A)＝，B＝.‎ ‎(1)求A的逆矩阵A－1；‎ ‎(2)求矩阵C，使得AC＝B.‎ 解　(1)因为|A|＝2×3－1×4＝2，‎ 所以A－1＝＝.‎ ‎(2)由AC＝B得(A－1A)C＝A－1B，故 C＝A－1B＝  ‎＝.‎ 思维升华 求逆矩阵的方法 ‎(1)待定系数法 设A是一个二阶可逆矩阵，AB＝BA＝E；‎ ‎(2)公式法 ‎|A|＝＝ad－bc≠0，有A－1＝.‎ 跟踪训练1 已知矩阵A＝，矩阵B的逆矩阵B－1＝，求矩阵AB.‎ 解　B＝(B－1)－1＝＝.‎ ‎∴AB＝ ＝.‎ 题型三　特征值与特征向量 例2 已知矩阵A的逆矩阵A－1＝.‎ ‎(1)求矩阵A；‎ ‎(2)求矩阵A－1的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量．‎ 解　(1)因为矩阵A是矩阵A－1的逆矩阵，且|A－1|＝2×2－1×1＝3≠0，‎ 所以A＝＝.‎ ‎(2)矩阵A－1的特征多项式为f (λ)＝＝λ2－4λ＋3＝(λ－1)(λ－3)，‎ 令f (λ)＝0，得矩阵A－1的特征值为λ1＝1或λ2＝3，‎ 所以ξ1＝是矩阵A－1的属于特征值λ1＝1的一个特征向量，‎ ξ2＝是矩阵A－1的属于特征值λ2＝3的一个特征向量．‎ 思维升华 已知A＝，求特征值和特征向量的步骤 ‎(1)令f(λ)＝＝(λ－a)(λ－d)－bc＝0，求出特征值λ；‎ ‎(2)列方程组 ‎(3)赋值法求特征向量，一般取x＝1或者y＝1，写出相应特征的向量．‎ 跟踪训练2 (2018·无锡期末)已知变换T将平面内的点，(0,1)分别变换成点，.设变换T对应的矩阵为M.‎ ‎(1)求矩阵M；‎ ‎(2)求矩阵M的特征值．‎ 解　(1)设M＝，则＝，‎  ＝，‎ 得a＝3，b＝－，c＝－4，d＝4，‎ ‎∴M＝.‎ ‎(2)设矩阵M的特征多项式为f(λ)，‎ ‎∴f(λ)＝＝(λ－3)(λ－4)－6‎ ‎＝λ2－7λ＋6.‎ 令f(λ)＝0，则λ1＝1，λ2＝6.‎ ‎1．已知A＝，求A的特征值．‎ 解　A的特征多项式f(λ)＝ ‎＝(λ－1)(λ－2)－30＝λ2－3λ－28＝(λ－7)(λ＋4)，‎ ‎∴A的特征值为λ1＝7，λ2＝－4.‎ 故A的特征值为7和－4.‎ ‎2．(2018·南通、泰州模拟)设矩阵A满足：A＝，求矩阵A的逆矩阵A－1.‎ 解　方法一　设矩阵A＝，‎ 则＝，‎ 所以a＝－1,2a＋6b＝－2，c＝0,2c＋6d＝3.‎ 解得b＝0，d＝，所以A＝.‎ 根据逆矩阵公式得A－1＝.‎ 方法二　在A＝两边同时左乘逆矩阵A－1，‎ 得＝A－1.‎ 设A－1＝，则＝，‎ 所以－a＝1，－2a＋3b＝2，－c＝0，－2c＋3d＝6.‎ 解得a＝－1，b＝0，c＝0，d＝2，从而A－1＝.‎ ‎3．(2019·徐州模拟)已知矩阵A＝，向量b＝.求向量a，使得A2a＝b.‎ 解　A2＝ ＝，‎ 设a＝，由A2a＝b，得 ＝，‎ 即解得所以a＝.‎ ‎4．(2018·宿迁期中)已知变换T把直角坐标平面上的点A(3，－4)，B(0,5)分别变换成点A′(2，－1)，B′(－1,2)，求变换T对应的二阶矩阵M.‎ 解　设矩阵M＝，则＝，‎ 且＝.‎ 所以且 解得所以矩阵M＝.‎ ‎5．曲线C1：x2＋2y2＝1在矩阵M＝的作用下变换为曲线C2，求C2的方程．‎ 解　设P(x，y)为曲线C2上任意一点，P′(x′，y′)为曲线x2＋2y2＝1上与P对应的点，‎ 则＝，即即 因为P′是曲线C1上的点，‎ 所以C2的方程为(x－2y)2＋2y2＝1.‎ ‎6．(2015·江苏)已知x，y∈R，向量α＝是矩阵A＝的属于特征值－2的一个特征向量，求矩阵A以及它的另一个特征值．‎ 解　由已知，得Aα＝－2α，‎ 即＝＝，‎ 则即所以矩阵A＝.‎ 从而矩阵A的特征多项式f(λ)＝(λ＋2)(λ－1)，‎ 所以矩阵A的另一个特征值为1.‎ ‎7．求曲线|x|＋|y|＝1在矩阵M＝对应的变换作用下得到的曲线所围成图形的面积．‎ 解　设点(x0，y0)为曲线|x|＋|y|＝1上的任一点，在矩阵M＝对应的变换作用下得到的点为(x′，y′)，‎ 则由＝，得　即 所以曲线|x|＋|y|＝1在矩阵M＝对应的变换作用下得到的曲线为|x|＋3|y|＝1，‎ 所以围成的图形为菱形，其面积为×2×＝.‎ ‎8．(2018·江苏省丰县中学质检)在平面直角坐标系xOy中，A(0,0)，B(－2,0)，C(－2,1)，设k≠0，k∈R，M＝，N＝，点A，B，C在矩阵MN对应的变换下得到点A1，B1，C1，△A1B1C1的面积是△ABC面积的2倍，求实数k的值．‎ 解　由题设得MN＝＝，‎ 由＝，‎ 可知A1(0,0)，B1(0，－2)，C1(k，－2)．‎ 计算得△ABC的面积是1，△A1B1C1的面积是|k|，则由题设知|k|＝2×1＝2，即k＝±2.‎ ‎9．(2018·高邮考试)已知矩阵A＝，其中a∈R，若点P(1,1)在矩阵A对应的变换作用下得到点P′(0，－3)．‎ ‎(1)求实数a的值；‎ ‎(2)求矩阵A的特征值及特征向量．‎ 解　(1)∵＝，‎ ‎∴＝，∴a＝－4.‎ ‎(2)∵A＝，‎ ‎∴f(λ)＝＝λ2－2λ－3.‎ 令f(λ)＝0，得λ1＝－1，λ2＝3，‎ 对于特征值λ1＝－1，‎ 解相应的线性方程组 得一个非零解 因此α1＝是矩阵A的属于特征值λ1＝－1的一个特征向量．‎ 对于特征值λ2＝3，‎ 解相应的线性方程组 得一个非零解 因此α2＝是矩阵A的属于特征值λ2＝3的一个特征向量．‎ ‎∴矩阵A的特征值为λ1＝－1，λ2＝3，‎ 属于特征值λ1＝－1，λ2＝3的特征向量分别为，.‎ ‎10．设a>0，b>0，若矩阵A＝把圆C：x2＋y2＝1变换为椭圆E：＋＝1.‎ ‎(1)求a，b的值；‎ ‎(2)求矩阵A的逆矩阵A－1.‎ 解　(1)设点P(x，y)为圆C：x2＋y2＝1上任意一点，‎ 经过矩阵A变换后对应点为P′(x′，y′)，‎ 则＝＝，所以 因为点P′(x′，y′)在椭圆E：＋＝1上，‎ 所以＋＝1，这个方程即为圆C方程，‎ 所以 又因为a>0，b>0，所以a＝2，b＝.‎ ‎(2)由(1)得A＝，所以A－1＝.‎ ‎11．(2017·江苏)已知矩阵A＝，B＝.‎ ‎(1)求AB；‎ ‎(2)若曲线C1：＋＝1在矩阵AB对应的变换作用下得到另一曲线C2，求C2的方程．‎ 解　(1)因为A＝，B＝，‎ 所以AB＝ ＝.‎ ‎(2)设Q(x0，y0)为曲线C1上任意一点，它在矩阵AB对应的变换作用下变为点P(x，y)，‎ 则＝，‎ 即所以 因为点Q(x0，y0)在曲线C1上，所以＋＝1，‎ 从而＋＝1，即x2＋y2＝8.‎ 因此曲线C1在矩阵AB对应的变换作用下得到曲线 C2：x2＋y2＝8.‎ ‎12．(2018·江苏省镇江中学质检)已知二阶矩阵M有特征值λ＝8及对应的一个特征向量e1＝，并且矩阵M对应的变换将点(－1,2)变换成(－2,4)．‎ ‎(1)求矩阵M；‎ ‎(2)求矩阵M的另一个特征值及对应的一个特征向量e2的坐标之间的关系；‎ ‎(3)求直线l：x－y＋1＝0在矩阵M的作用下的直线l′的方程．‎ 解　(1)设M＝，则＝8＝，‎ 故  ＝，故 联立以上两个方程组，解得a＝6，b＝2，c＝4，d＝4，‎ 故M＝.‎ ‎(2)由(1)知，矩阵M的特征多项式为 f(λ)＝＝(λ－6)(λ－4)－8‎ ‎＝λ2－10λ＋16，‎ 故其另一个特征值为λ＝2.‎ 设矩阵M的特征值λ＝2对应的一个特征向量是e2＝，‎ 则Me2＝＝2，‎ 解得2x＋y＝0.‎ ‎(3)设点(x，y)是直线l上的任一点，其在矩阵M的变换作用下对应的点的坐标为(x′，y′)，‎ 则＝，所以 即x＝x′－y′，y＝－x′＋y′，‎ 代入直线l的方程化简，得x′－y′＋2＝0，‎ 即x－y＋2＝0.‎