2020年高考数学(理)二轮复习讲练测 专题07 数列（练）（解析版）

2020年高考数学(理)二轮复习讲练测 专题07 数列（练）（解析版）

专题07 数列(练)‎ ‎1．【2019年高考全国III卷理数】已知各项均为正数的等比数列的前4项和为15，且，则( )‎ A．16 B．8 C．4 D．2‎ ‎【答案】C ‎【解析】设正数的等比数列{an}的公比为，则，解得，，故选C．‎ ‎【名师点睛】本题利用方程思想求解数列的基本量，熟练应用公式是解题的关键.‎ ‎2、【2019年高考全国I卷理数】记Sn为等比数列{an}的前n项和．若，则S5=____________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设等比数列的公比为，由已知，所以又，所以所以．‎ ‎【名师点睛】准确计算，是解答此类问题的基本要求．本题由于涉及幂的乘方运算、繁分式的计算，部分考生易出现运算错误．‎ ‎3．【2019年高考全国III卷理数】记Sn为等差数列{an}的前n项和，，则___________.‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】设等差数列{an}的公差为d,因，所以，即，所以 ‎．‎ ‎【名师点睛】本题主要考查等差数列的性质、基本量的计算．渗透了数学运算素养．使用转化思想得出答案．‎ ‎4．【2019年高考全国II卷理数】已知数列{an}和{bn}满足a1=1，b1=0，，.‎ ‎(I)证明：{an+bn}是等比数列，{an–bn}是等差数列；‎ ‎(II)求{an}和{bn}的通项公式.‎ ‎【答案】(I)见解析；(2)，.‎ ‎【解析】(1)由题设得，即．又因为a1+b1=l，所以 是首项为1，公比为的等比数列．由题设得，即．‎ 又因为a1–b1=l，所以是首项为1，公差为2的等差数列．‎ ‎(2)由(1)知，，．所以，‎ ‎．‎ ‎ ‎ ‎1、若数列{an}满足：a1＝19，an＋1＝an－3，则数列{an}的前n项和数值最大时，n的值为(　　)‎ A．6 B．7 ‎ C．8 D．9‎ ‎【解析】选B　∵a1＝19，an＋1－an＝－3，∴数列{an}是以19为首项，－3为公差的等差数列，‎ ‎∴an＝19＋(n－1)×(－3)＝22－3n，则an是递减数列．设{an}的前k项和数值最大，则有 即∴≤k≤，∵k∈N*，∴k＝7.∴满足条件的n的值为7.‎ ‎2、在等差数列{an}中，a1＝29，S10＝S20，则数列{an}的前n项和Sn的最大值为(　　)‎ A．S15 B．S16 C．S15或S16 D．S17‎ ‎【解析】选A　∵a1＝29，S10＝S20，∴‎10a1＋d＝‎20a1＋d，解得d＝－2，‎ ‎∴Sn＝29n＋×(－2)＝－n2＋30n＝－(n－15)2＋225.∴当n＝15时，Sn取得最大值．‎ ‎3、设Sn为等差数列{an}的前n项和，(n＋1)Sn＜nSn＋1(n∈N*)．若＜－1，则(　　)‎ A．Sn的最大值是S8 B．Sn的最小值是S8 C．Sn的最大值是S7 D．Sn的最小值是S7‎ ‎【解析】选D　由(n＋1)Sn＜nSn＋1得(n＋1)＜n，整理得an＜an＋1，所以等差数列{an}是递增数列，又＜－1，所以a8＞0，a7＜0，所以数列{an}的前7项为负值，即Sn的最小值是S7.‎ ‎4、等差数列{an}的首项a1>0，设其前n项和为Sn，且S5＝S12，则当n为何值时，Sn有最大值？‎ ‎【解析】设等差数列{an}的公差为d，由S5＝S12得‎5a1＋10d＝‎12a1＋66d，d＝－a1<0.‎ 法一：Sn＝na1＋d＝na1＋·＝－a1(n2－17n)＝－a12＋a1，‎ 因为a1>0，n∈N*，所以当n＝8或n＝9时，Sn有最大值．‎ 法二：设此数列的前n项和最大，则即解得 即8≤n≤9，又n∈N*，所以当n＝8或n＝9时，Sn有最大值．‎ 法三：由于Sn＝na1＋d＝n2＋n，‎ 设f(x)＝x2＋x，则函数y＝f(x)的图象为开口向下的抛物线，‎ 由S5＝S12知，抛物线的对称轴为x＝＝(如图所示)，‎ 由图可知，当1≤n≤8时，Sn单调递增；当n≥9时，Sn单调递减．又n∈N*，所以当n＝8或n＝9时，Sn最大．‎ ‎1．【四川省百校2019年高三模拟冲刺卷数学试题】定义在上的函数满足：当时，；当时，.记函数的极大值点从小到大依次记为并记相应的极大值为则的值为( )‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意当时，极大值点为1，极大值为1，当时，‎ ‎.则极大值点形成首项为1公差为2 的等差数列，极大值形成首项为1公比为3 的等比数列，故.,故，设S=，3S=，‎ 两式相减得-2S=1+2()-‎ ‎∴S=，故选：A.‎ ‎【名师点睛】本题考查数列与函数综合,错位相减求和,确定及的通项公式是关键,考查计算能力,是中档题.‎ ‎2．【福建省2019届高三毕业班质检数学试题】数列中，，且，则数列前2019项和为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】：∵，∴，整理得：，∴，又，‎ ‎∴，可得：．则数列前2019项和为：．故选：B．‎ ‎【名师点睛】本题主要考查了数列递推关系、“累加求和”方法、裂项求和，考查了推理能力、转化能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎3．【内蒙古2019届高三高考一模试卷数学试题】《九章算术》第三章“衰分”介绍比例分配问题：“衰分”是按比例递减分配的意思,通常称递减的比例(百分比)为“衰分比”．如：甲、乙、丙、丁“哀”得,,,个单位,递减的比例为,今共有粮石,按甲、乙、丙、丁的顺序进行“衰分”,已知丙衰分得石,乙、丁衰分所得的和为石,则“衰分比”与的值分别为( )‎ A．　 B．　 ‎ C．　 D．　‎ ‎【答案】A ‎【解析】设“衰分比”为,甲衰分得石,由题意得,‎ 解得,,．故选A．‎ ‎【名师点睛】本题考查等比数列在生产生活中的实际应用,是基础题,解题时要认真审题,注意等比数列的性质的合理运用．‎ ‎4．【山东省德州市2019届高三第二次练习数学试题】设数列的前n项和为，已知，且，记，则数列的前10项和为______．‎ ‎【答案】200‎ ‎【解析】∵，且，∴，∵，‎ ‎∴时，，两式相减可得，，()‎ 即时，即，∵，∴数列的奇数项和偶数项分别成等比数列，公比均为2，∴，，‎ ‎∴，‎ 则数列，则的前10项和为.故答案为200.‎ ‎【名师点睛】本题考查数列的递推公式在数列的通项公式求解中的应用，考查等比数列的通项公式及数列的求和方法的应用，属于中档题.‎ ‎5．【广东深圳市高级中学2019届高三适应性考】在数列中，，则的值为______．‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】因为，所以，‎ ‎,,各式相加，可得 ‎，，所以，，故答案为1.‎ ‎【名师点睛】本题主要考查利用递推关系求数列中的项，属于中档题.利用递推关系求数列中的项常见思路为：(1)项的序号较小时，逐步递推求出即可；(2)项的序数较大时，考虑证明数列是等差、等比数列，或者是周期数列；(3)将递推关系变形，利用累加法、累乘法以及构造新数列法求解.‎ ‎6．【山东省烟台市2019届高三3月诊断性测试数学试题】已知等差数列的公差是1，且，，成等比数列．‎ ‎(I)求数列的通项公式；(II)求数列的前项和．‎ ‎【答案】(I)；(II).‎ ‎【解析】(I)因为是公差为1的等差数列，且，，成等比数列，‎ 所以，即，解得.所以.‎ ‎(II)，‎ ‎，‎ 两式相减得，‎ 所以.所以.‎ ‎【名师点睛】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于常考题型．‎