天津市东丽区第一百中学2020届高三上学期月考数学试题

天津市东丽区第一百中学2020届高三上学期月考数学试题

天津市第一百中学 2019～2020 学年度第一学期第二次月考 试卷 高三数学 第Ⅰ卷（共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知全集 ，集合 ， ，则 等于 　 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 分析】 首先求出集合 A 和集合 B，再进行补集和交集的运算即可求解此题． 【详解】因 或 ， 故 ， 所以 ， 本题选择 A 选项. 【点睛】本题主要考查集合的表示方法，结合的交并补运算等知识，意在考查学生的转化能 力和计算求解能力. 2.已知函数 ，则“函数 的图象经过点（ ，1）”是“函数 的 图象经过点（ ）”的( ) A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【 U R= { }2 4A x x= 3{ | 0}1 xB x x += ≤− ( )U A B∩ ( ) { | 2 1}x x− ≤ < { | 3 2}x x− ≤ < { | 2 2}x x− ≤ < { | 3 2}x x− ≤ ≤ { | 2A x x= < − 2}, { | 3 1}x B x x> = − ≤ < { | 2 2}UC A x x= − ≤ ≤ ( ) { | 2 1}UC A B x x∩ = − ≤ < ( ) sin ( 0)f x xω ω= > ( )f x 4 π ( )f x ,02 π 【答案】A 【解析】 【分析】 先由 的图象经过点 求出 ；再由 的图象经过点 求出 ，根据充分 条件与必要条件的概念，即可得出结果. 【 详 解 】 函 数 的 图 象 经 过 点 （ ， 1 ） 时 ， 有 ， 所 以 ， ， 因为 所以 ， 函数为： ， 当 时， ，所以，充分性成立； 当函数 的图象经过点（ ）时， ，所以， ，即 , ， ， 当 时， 不一定等于 1，所以，必要性不成立． 故选 A 【点睛】本题主要考查充分条件与必要条件的判定，熟记概念即可，属于常考题型. 3.已知平面向量 ， 满足 ， ，且 ，则向量 ， 的夹角为 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 分析】 根据向量数量积和夹角公式可得． 【详解】∵（ ）•（ 2 ）＝4，∴ 2 • 2 2＝4， 【 ( )f x π 14     ， ω ( )f x ,02 π     ω ( )f x 4 π sin 14 π ω = 24 2 k k Z，π πω π= + ∈ 0ω > ， 2 8kω = + ,k N∈ ( ) ( )sin 2 8f x k x= + k N∈ 2x π= ( ) ( )sin 2 8 sin 4 02 2f k k π π π π  = + × = + =   ( )f x ,02 π sin 02 π ω = ,2 k k Z π ω π= ∈ 2kω = k Z∈ ( ) sin2 ( 0, )f x kx k k Z= > ∈ 4x π= sin 2 sin4 4 2 kf k π π π   = × =       a b 3a = 2b = ( ) ( 2 ) 4a b a b+ ⋅ − =   a b 6 π 4 π 3 π 2 3 π a b+  a − b a a− b − b • 9﹣2×4﹣4＝﹣3，∴cos ， ， 又 ， ∈[0，π]，∴ ， ． 故选 D． 【点睛】本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属中档题． 4. 的内角 的对边分别为 ，设 ，则 的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 由正弦定理把角的关系转化为边的关系，再由余弦定理求出角 ，从而得 ，知此三角形 是直角三角形，从而易得三角形面积． 【详解】由 及正弦定理可得 ， 即 ， ， ， 故选： ． 【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理，属于基础题．解题关键是由正弦定理把角的关系转 化为边的关系． 5.已知 ，则 的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 由偶函数定义化 ，然后比较 的大小，再由函 a b = a＜ 3 1 3 2 2| | a bb a b ⋅ −= = = −×  ＞ a＜ b＞ a＜ 2 3b π=＞ ABC 、 、A B C a b c、 、 2 2sin sin sin sin s 2( ) in 2B C A B C A B b− = − = =， ， ABC 2 2 3 4 4 3 A ,B C 2 2(sin sin ) sin sin sinB C A B C− = − ( )2 2b c a bc− = − 2 2 2b a c bc+ − = 2 2 2 1cos 2 2 b c aA bc + −∴ = = , 2 , ,3 6 2A A B B C π π π= = ∴ = = 12, 2 3, 2 32ABCb a S ab= ∴ = = =  B ( ) ( ) ( )0.5 1 2 3 2 , log 5 , 0.4 , log 5xf x a f b f c f  = = = =    , ,a b c c b a> > b c a> > a b c> > c a b> > ( )1 3 3 log 5 log 5a f f  = =    0.5 3 2log 5,0.4 ,log 5 数的单调性得结论． 【详解】函数 是在 上单增的偶函数， ，且 ，从而 ， 故选：D. 【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性，考查指数函数与对数函数的性质，综合度较高， 属于中档题． 6.已知三棱锥 的四个顶点在球 的球面上， ，且两两垂直， 是边长为 的正三角形，则球 的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 由 三 棱 锥 的 结 构 求 出 ， 由 三 棱 锥 与 其 外 接 球 关 系 知 球 直 径 等 于 （这个结论不清楚的学生可自行以 为棱，把三棱锥补成一个 长方体再观察）． 【详解】由题中条件易得 ，从而球 的半径 ，体积 ， 故选：C． 【点睛】本题考查球的体积，解题关键是掌握三棱锥的性质：侧棱两两垂直的三棱锥的外接 球直径的平方等于这三条侧棱的平方和． 7.已知双曲线 与抛物线 的交点为 ，直线 经过抛物线的焦点 ，且线段 的长度等于双曲线的虚轴长，则双曲线的离心率为 A. B. C. D. 【答案】B ( ) 2 xf x = [ )0,+∞ ( )1 3 3 log 5 log 5a f f  = =    0.5 3 21 log 5 2,0 0.4 1,log 5 2< < < < > c a b> > P ABC− O PA PB PC= = ABC 2 O 8 6π 4 6π 6π 6 2 π , ,PA PB PC 2 2 2PA PB PC+ + , ,PA PB PC 2PA PB PC= = = O 3 622 2r = × = 34 63V rπ π= = ( )2 2 2 2: 1 0x yC a ba b − = > > ( )2 2 0y px p= > ,A B AB F AB 2 1+ 3 2 2 【解析】 【分析】 由对称性知 轴，从而在抛物线中 ，于是有 ，这样有 ，代入 双曲线方程得 关系，从而可求得离心率． 【 详 解 】 由 题 易 知 ， 轴.又 由 直 线 经 过 抛 物 线 的 焦 点 ， 把 代 入 可得 ，从而可得 ，即. 又点 ，即 在双曲线上， 可得 ，即 ，进而 ，离心率 . 故选： . 【点睛】本题考查求双曲线离心率，解题时要找到关于 的关系，为此利用弦长 ， 它在抛物线中等于 ，又等于 ，从而用 表示出 点坐标，代入双曲线方程得所需关系 式． 8.已知数列 满足 ， ，若 ，则数 列 的通项 （ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 , , , 则 ,数列 是首项为 2，公比为 2 的等比数列， ，利用叠加法， ， AB x⊥ 2AB p= b p= ( , )2 pA p ,a b AB x⊥ AB F 2 px = 2 2y px= 2 2y p= 2 2p b= p b= ,2 p p     ,2 b b     4 2 2 2 4 1 b b a b − = 2 28b a= 2 2 2 29c a b a= + = 3ce a = = B , ,a b c AB 2p 2b b A { }na 1 1a = 2 1 3a = ( ) ( )* 1 1 1 12 3 2,n n n n na a a a a n n N− + − ++ = ⋅ ≥ ∈ { }na na = 1 1 2n− 1 2 1n − 1 1 3n− 1 1 2 1n− + 1 1 1 12 3n n n n n na a a a a a− + − ++ = 1 1 1 2 3 n n na a a+ − + = 1 1 1 1 1 12( ) n n n na a a a+ − − = − 1 1 1 1 21 1 n n n n a a a a + − − = − 1 1 1 n na a+  −    1 1 1 1 2 2 2n n n na a − + − = × = 2 1 1 2 1 3 2 1 1 1 1 1 1 1 1( ) ( ) ...... ( ) 1 2 2 ....... 2n n na a a a a a a − − + − + − + + − = + + + + ，则 .选 B. 9.已知函数 ,若函数 在区间[－2，4] 内有 3 个零点，则实数 的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 先作出函数 的图像，再由函数 在区间[－2，4]内有 3 个零点 可得，函数 与 在区间[－2，4]内有 3 个不同交点，进而可求出结果. 【详解】当 时， ；当 时， ；又 时， ，所以可作出函数 在[－2，4]的图像如下： 又函数 在区间[－2，4]内有 3 个零点，所以函数 与 在区间[－2，4]内有 3 个不同交点，由图像可得 或 , 即 或 . 故选 D 1 2 1 2 12 1 n n na −= = −− 1 2 1n na = − 2 1 1, [ 2,0]( ) 1 2 ( 2), (0, ) x xf x x f x x  − + ∈ −=  −  − ∈ +∞ ( ) ( ) 2 1g x f x x m= − − + m 1 1| 2 2m m − < <   1| 1 2m m − < ≤   1| 1 12m m m − < < =  或 1 1| 12 2m m m − < < =  或 ( )f x ( ) ( ) 2 1g x f x x m= − − + ( )y f x= y 2 1x m= + − [ 2, 1x∈ − − ） ( ) 2f x x= + [ ]1,0x∈ − ( )f x x= − 0x > ( ) ( )2 2f x f x= − ( )f x ( ) ( ) 2 1g x f x x m= − − + ( )y f x= y 2 1x m= + − 1 2 1m− = − 0 1 2 2m< − < 1m = 1 1 2 2m− < < 【点睛】本题主要考查函数的零点问题，将函数有零点的问题转化为两函数有交点的问题来 处理，运用数形结合思想即可求解，属于常考题型. 第Ⅱ卷（共 90 分） 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分. 10.已知复数 ( 是虚数单位)，则复数 的虚部为___________. 【答案】2 【解析】 分析】 根据复数的代数形式的四则运算，化简复数，即可得到答案. 【详解】由题意，复数 ，所以复数 的虚部为 . 【点睛】本题主要考查了复数的四则运算，以及复数的基本概念的应用，其中解答中熟练应 用复数的运算法则化简是解答的关键，着重考查了计算能力，属于基础题. 11. 的展开式中 的系数是__________． 【答案】 【解析】 【分析】 分别求出 和 展开式中常数项和 的系数，由多项式乘法法则可得所求系数． 【 详 解 】 的 展 开 式 中 的 常 数 项 为 ， 的 系 数 为 ， 的展开式中的常数项为 ， 的系数为 ∴ 的展开式中 的系数为 . 故答案为：4． 【点睛】本题考查二项式定理，求展开式中某项系数，由于是两式相乘，因此需要应用多项 式乘法法则进行计算． 12.已知 f（x）是定义在 R 上的偶函数，且在区间（− ，0）上单调递增.若实数 a 满足 f （2|a-1|）＞f（ ），则 a 的取值范围是______. 【答案】 【 2 6 3 iz i += − i z ( )( ) ( )( ) 2 6 32 6 20 23 3 3 10 i ii iz ii i i + ++= = = =− − + z 2 7 3( ) (1 )1x x− + x 4 ( )71x − ( )31x + x ( )71x − ( )77 0 7 1 1C x − = − x ( )66 7 1 7C − = ( )31x + 3 3 1C = x 2 3 3,C = ( ) ( )7 21 1x x− + x ( )1 3 7 1 4− × + × = ∞ 2− 1 3( , )2 2 【解析】 【详解】由题意 在 上单调递减，又 是偶函数， 则不等式 可化为 ，则 ， ，解得 ． 13.已知直线 与圆 交于 两点，过 分别作 的垂 线与 轴交于 两点，若 ，则 __________． 【答案】 【解析】 【分析】 先由直线与圆相交弦长公式求出 ，可得直线 的倾斜角为 ，再利用三角函数求出 即 可. 【详解】由题意 ，又圆半径为 ，∴圆心到直线的距离 ， 直线 的倾斜角为 过 分别作 的垂线与 轴交于 两点， . 故答案： ． 【点睛】本题考查直线与圆相交弦长问题．求圆的弦长一般利用垂径定理，设圆心到弦所在 直线距离为 ，圆半径为 ，则弦长为 ． 14.设 ，则 的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】 ( )f x (0, )+∞ ( )f x 1(2 ) ( 2)af f− > − 1(2 ) ( 2)af f− > 12 2a− < 11 2a − < 1 3 2 2a< < : 3 3 0l mx y m+ + − = 2 2 12x y+ = ,A B ,A B l x ,C D 2 3AB = CD = 4 m l 30 CD 2 3AB = 2 3 3,d = 2 3 3 33, 31 m m m − ∴ = ∴ = − + ∴ l 30  A B， l x C D， 2 3 2 3 4cos30 3 2 CD∴ = = =° 4 d R 2 22l R d= − 0, 0, 2 5x y x y> > + = ( 1)(2 1)x y xy + + 4 3 把分子展开化为 ，再利用基本不等式求最值． 【详解】 ， 当且仅当 ，即 时成立， 故所求的最小值为 ． 【点睛】使用基本不等式求最值时一定要验证等号是否能够成立． 15.设函数 ，其中 ．若函数 在 上恰有 个零点，则 的 取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】 求出函数的零点，对大于 0 的零点按从小到大排序，第二个在 上，第三个大于 ， 由此可求得 的范围． 【详解】 取零点时 满足条件 ，当 时的零点从小到大依次 为 ，所以满足 ，解得： 【点睛】本题考查三角函数零点个数问题，属于中等题，解题时只要求出零点，按题设条件 列出不等关系即可求解参数范围． 三、解答题：本大题共 5 小题，共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤 16.甲同学参加化学竞赛初赛，考试分为笔试、口试、实验三个项目，各单项通过考试的概率 2 6xy + ( 1)(2 1) 2 2 1,x y xy x y xy xy + + + + += 0, 0, 2 5, 0,x y x y xy> > + = > ∴ 2 2 32 6 4 3xyxy xy xy ⋅+ ≥ = 3xy = 3, 1x y= = 4 3 π( ) sin( )3f x xω= + 0>ω ( )f x [ ]0,2π 2 ω 5 4,6 3     [0,2 ]π 2π ω ( )f x x ( ) 3 kx k Z π π ω ω= − + ∈ 0x > 1 2 3 2 5 8, ,3 3 3x x x π π π ω ω ω= = = 5 23 8 23 π πω π πω  ≤  > 5 4,6 3 ω  ∈   依次为 、 、 ，笔试、口试、实验通过考试分别记 4 分、2 分、4 分，没通过的项目记 0 分，各项成绩互不影响. （Ⅰ）若规定总分不低于 8 分即可进入复赛，求甲同学进入复赛的概率； （Ⅱ）记三个项目中通过考试的个数为 ，求随机变量 的分布列和数学期望. 【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ)答案见解析. 【解析】 试题分析：（Ⅰ）记笔试、口试、实验独立通过考试分别为事件 ，则则事件“甲同学进 入复赛的”表示为 ，由 与 互斥，且 、 、 彼此独立，能求出甲 同学进入复赛的概率；（Ⅱ）随机变量 的所有可能取值为 0,1,2,3，分别求出相应的概率， 由此能求出 的分布列和数学期望． 试题解析：（Ⅰ）记笔试、口试、实验独立通过考试分别为事件 ， 则事件“甲同学进入复赛的”表示为 . ∵ 与 互斥，且 彼此独立， ∴ . （Ⅱ）随机变量 的所有可能取值为 0,1,2,3. ， ， ， . 所以，随机变量 的分布列为 3 4 2 3 1 2 X X 3 8 , ,A B C ABC ABC∪ ABC ABC A B C X X , ,A B C ABC ABC∪ ABC ABC , ,A B C ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 1 3 1 1 3 4 3 2 4 3 2 8P ABC ABC P ABC P ABC P A P B P C P A P B P C∪ = + = + = × × + × × = X ( ) 3 2 1 10 1 1 14 3 2 24P X      = = − × − × − =           ( ) 1 1 1 1 2 11 4 3 2 4 3 2P X = = × × + × × 3 1 1 1 4 3 2 4 + × × = ( ) 1 2 1 3 1 12 4 3 2 4 3 2P X = = × × + × × 3 2 1 11 4 3 2 24 + × × = ( ) 3 2 1 13 4 3 2 4P X = = × × = X 数学期望 . 17.如图， 平面 ， ， . （Ⅰ）求证： 平面 ； （Ⅱ）求直线 与平面 所成角的正弦值； （Ⅲ）若二面角 的余弦值为 ，求线段 的长. 【答案】（Ⅰ）见证明；（Ⅱ） （Ⅲ） 【解析】 【分析】 首先利用几何体 特征建立空间直角坐标系 (Ⅰ)利用直线 BF 的方向向量和平面 ADE 的法向量的关系即可证明线面平行； (Ⅱ)分别求得直线 CE 的方向向量和平面 BDE 的法向量，然后求解线面角的正弦值即可； (Ⅲ)首先确定两个半平面的法向量，然后利用二面角的余弦值计算公式得到关于 CF 长度的方 程，解方程可得 CF 的长度. 【详解】依题意，可以建立以 A 为原点，分别以 的方向为 x 轴，y 轴，z 轴正方 向的空间直角坐标系(如图)， 的 ( ) 1 1 11 1 230 1 2 324 4 24 4 12E X = × + × + × + × = AE ⊥ ABCD ,CF AE AD BC∥ ∥ , 1, 2AD AB AB AD AE BC⊥ = = = = BF∥ ADE CE BDE E BD F− − 1 3 CF 4 9 8 7 , ,AB AD AE   可得 . 设 ，则 . (Ⅰ)依题意， 是平面 ADE 的法向量， 又 ，可得 ， 又因为直线 平面 ，所以 平面 . (Ⅱ)依题意， ， 设 为平面 BDE 的法向量， 则 ，即 ， 不妨令 z=1，可得 ， 因此有 . 所以，直线 与平面 所成角的正弦值为 . (Ⅲ)设 为平面 BDF 的法向量，则 ，即 . 不妨令 y=1，可得 . ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0,0,0 , 1,0,0 , 1,2,0 , 0,1,0 , 0,0,2A B C D E ( )0CF h h= > ( )1,2,F h ( )1,0,0AB = ( )0,2,BF h= 0BF AB⋅ =  BF ⊄ ADE BF∥ ADE ( 1,1,0), ( 1,0,2), ( 1, 2,2)BD BE CE= − = − = − −   ( ), ,n x y z= 0 0 n BD n BE  ⋅ =  ⋅ =   0 2 0 x y x z − + = − + = ( )2,2,1n = 4cos , 9| || | CE nCE n CE n ⋅〈 〉 = = −      CE BDE 4 9 ( ), ,m x y z= 0 0 m BD m BF  ⋅ =  ⋅ =   0 2 0 x y y hz − + =  + = 21,1,m h  = −    由题意，有 ，解得 . 经检验，符合题意｡ 所以，线段 的长为 . 【点睛】本题主要考查直线与平面平行、二面角、直线与平面所成的角等基础知识.考查用空 间向量解决立体几何问题的方法.考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力. 18.已知椭圆 C： 的离心率 ，椭圆 C 上的点到其左焦点的最大 距离为 . （Ⅰ）求椭圆 C 的方程； （Ⅱ）过点 A 作直线 与椭圆相交于点 B，则 轴上是否存在点 P，使得线段 ，且 ？若存在，求出点 P 坐标；否则请说明理由. 【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ）见解析. 【解析】 【分析】 （Ⅰ）由椭圆 C 上的点到其左焦点的最大值为 ，可得 ，结合离心率解 方程组即可得解； （Ⅱ）先讨论直线 的斜率 时，可得 P，讨论直线 的斜率不为 0 时，设为直线 的方程 为： ，与椭圆联立得点 B，进而得 AB 的中垂线方程，令 可得点 P，再由 求解方程即可. 【详解】（Ⅰ）由题可知 ，故设 则 又∵椭圆 C 上的点到其左焦点的最大值为 ∴可判定那一点的坐标为 2 24 1cos , 343 2 m n hm n m n h −⋅ = = = × +       8 7h = CF 8 7 ( )2 2 2 2 1 0x y a ba b + = > > 3 2e = 2 3+ ( ),0a− l y PA PB= 4PA PB⋅ =  2 2 14 x y+ = 2 3+ 2 3c a+ = + l 0k = l l ( )2y k x= + 0x = 4PA PB =⋅  3 2 ce a = = 2a k= 3c = 2 3+ ( ),0a ∴ ∴ ∴a=2， ∴ ∴椭圆 C 的方程为 （Ⅱ）由 ，可知点 P 在线段 AB 的中垂线上，由题意知直线 的斜率显然存在设为 . 当直线 的斜率 时，则 B(2,0).设 . 由 ，解得 ，又 . 当直线 的斜率不为 0 时，设为直线 的方程为： . 联立 得： . 有： ，解得 ，即 . AB 的中点为 ， 线段 AB 的中垂线为： ，令 ，得 . 即 . . 解得 ，此时 . 综上可得 或 . 2 3c a+ = + 2 3 2 3 1k k+ = + = = 3c = 2 2 1b a c= − = 2 2 14 x y+ = PA PB= l k l 0k = ( ) ( ) ( )0, , 2, , 2,P t PA t PB t= − − = −  24 4PA PB t= − + =⋅  2 2t = ± ( )P 0, 2 2± l l ( )2y k x= + ( ) 2 2 2 14 y k x x y  = + + = ( )2 2 2 21 4 16 16 4 0k x k x k+ + + − = 2 2 162 1 4B kx k − + = − + 2 2 2 8 1 4B kx k −= + 2 2 2 2 8 4B ,1 4 1 4 k k k k  −  + +  2 2 2 8 2, 1 4 1 4 k k k k  − + +  2 2 2 2 1 8 1 4 1 4 k ky xk k k  − = − + + +  0x = 2 6 1 4 ky k = − + 2 6P 0, 1 4 k k  − +  ( ) 2 2 2 22 2 2 2 2 6 2 8 10 4 16 602, , 41 4 1 4 1 4 1 4 1 4 k k k k kPA PB k k k k k  − − + = − ⋅ = + =   + + + +    + ⋅  2 2 7k = 2 14P 0, 5  ±    ( )P 0, 2 2± 2 14P 0, 5  ±    【点睛】本题主要考查了椭圆方程的求解和直线与椭圆的位置关系，考查了运算求解能力及 向量的坐标运算，属于中档题. 19.已知数列 的各项均为正数，其前 项和为 ，且满足 . （1）求数列 的通项公式； （2）若 ，数列 满足 ，求数列 的前 项和 ； （3）数列 满足 （ 为非零整数），都有 恒成 立，求实数λ的值. 【答案】（1） （2） （3）实数 的值为 【解析】 【分析】 （1）由 可求得 ，由 时， 可得数列 的递推关系，得其为等 差数列，从而可得通项公式； （2）按 的奇偶分类，可得 ，用分组求和法可求得 ； （3）计算出 ，而 ，同样按 的奇偶分类，求得 的范围， 求得 的值． 【详解】 当 时， ，解得 或 （舍） 当 时， ，即有 也即 数列 的各项均为正数， ，即数列 是首项和公差均为 的等差数列 ⑵当 为奇数时， ，当 为偶数时 { }na n nS 2 2n n na S a= − { }na 2n nb = { }nc 2 2sin cos2 2n n n n nc a b π π= −  { }nc 2n 2nT { }nd ( ) ( )1 *3 1 2 nn an nd n Nλ−= + − ∈ λ 1n nd d+ > na n= 1 2 4 4 3 3 n n + − + λ 1− 1 1a S= 1a 2n ≥ 1n n na S S −= − { }na n nc 2nT 1n nd d+ − 1n nd d+ > ⇔ 1 0n nd d+ − > n λ λ ( ) 21 2n n na S a= − ∴ 1n = 2 1 1 12a a a= − 1 1a = 0 2n ≥ 2 1 12n n na S a− −= − ( )2 2 1 1 1 12n n n n n n n na a S S a a a a− − + −− = − − + = + ( )( )1 1 1n n n n n na a a a a a− − −+ − = +  { }na 1 1n na a −∴ − = { }na 1 na n∴ = n n nc a＝ n n nc b= − ， 当 为奇数时， ，从而 ， 当 为偶数时， ，从而 而 为非零整数，所以实数 的值为 ． 【点睛】本题考查由数列的项 与前 项和 的关系求数列通项公式，考查分组求和法以及 数列中的不等式恒成立问题．解题关键是求出数列 的通项公式，注意在由 求解时 ，而 ．题中出现 ， ， 时，大多数需按 的奇偶分 类． 20.已知函数 . （1）当 时，求 在 处的切线方程； （2）令 ，已知函数 有两个极值点 ，且 ，求实数 的 取值范围； （3）在（2）的条件下，若存在 ，使不等式 对任意 （取值范围内的值）恒成立，求实数 的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】 （1）求出导数 ，计算 ，由点斜式写出切线方程并整理成一般式； 2 2 1 2 2 1 2 1 1 1 1 1 n n n n n t t t i i i i i T c c a b− − − = = = = ∴ = + = −∑ ∑ ∑ ∑ ( ) ( ) 1 24 4 11 2 1 4 4 2 4 1 3 3 n nn n n +−+ −= − = − +− ( ) ( ) ( ) ( )1 11 1 1 13 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3n nn n na an n n n n n nd d λ λ λ+ −+ + + + − = + − − − − = + − −    ( ) ( )11 2 2 3 3 2n nn nλ λ−− − = × + −  n 1 1 32 3 3 2 0 2 n n n n nd d λ λ − +  > ⇒ × − × > ⇒ <    1λ < n 1 1 32 3 3 2 0 2 n n n n nd d λ λ − +  > ⇒ × + × > ⇒ > −   3 2 λ > − λ λ 1− na n nS { }na 1n n na S S −= − 2n ≥ 1 1a S= cos 2 nπ sin 2 nπ ( 1)n− n ( ) 2 ln h x ax x= − + 1a = ( )h x ( )( )2, 2h ( ) ( )2 2 af x x h x= + ( )f x 1 2,x x 1 2 1 2x x > a 0 21 ,22x  ∈ +    ( ) ( ) ( ) ( )2 0 ln 1 1 1 2ln 2f x a m a a+ + > − − + + a m 3 2 2ln 2 2 0x y+ − + = ( )1,2 1, 4  −∞ −   )'(h x '(2), (2)h h （2）求出 ，由 ，可得 有两个满足题意的不等实根，由二 次方程根的分布可得 的范围； （3）由（2）求出两极值点，确定 的单调性，得 在 单调递增，因此题 设中 使不等式成立，取 为最大值 ，使之成立即可。化简为不等式 对任意的 恒成立，引入函数 ，由导数研究此函数的单调性得不等式成立的条 件． 【详解】解： 当 时， 时， 在 处的切线方程为 化简得： 对函数求导可得， 令 ，可得 ，解得 的取值范围为 由 ，解得 而 在 上递增，在 上递减，在 上递增 ( )'f x ( )' 0f x = 2 2 1 0ax ax− + = a ( )f x ( )f x 21 ,22  +    0( )f x 0( )f x (2)f 2( )ln 1 ln 2 1 0a ma a m+ − − + − + > ( )1 2a a< < ( ) ( ) 2ln 1 ln 2 1g a a ma a m= + − − + − + ( )1 1a = ( ) ( ) 12 ln , ' 2h x x x h x x = − + = − + 2x = ( ) ( )3' 2 , 2 4 ln 22h h= − = − + ( )h x∴ ( )( )2, 2h ( )34 ln 2 22y x+ − = − − 3 2 2ln 2 2 0x y+ − + = ( )2 ( ) ( )2 2 1' 0ax axf x xx − += > ( )' 0f x = 2 2 1 0ax ax− + = 2 0 4 4 0 1 1 2 a a a a   ≠ ∴ − >   >  a ( )1,2 ( )3 2 2 1 0ax ax− + = 2 2 1 21 , 1a a a ax xa a − −= − = + ( )f x ( )10, x ( )1 2,x x ( )2 ,x +∞ 1 2a< < 2 2 21 1 2 a ax a −∴ = + < + 在 单调递增 在 上， ，使不等式 对 恒 成立 等价于不等式 恒成立 即不等式 对任意的 恒成立 令 ，则 ①当 时， 在 上递减 不合题意 ②当 时， 若 ，即 时，则 在 上先递减 时， 不能恒成立 若 即 ，则 在 上单调递增 恒成立 的取值范围为 【点睛】本题考查导数的几何意义，考查用导数研究函数的极值，研究不等式恒成立问题．解 ( )f x∴ 21 ,22  +    ∴ 21 ,22  +    ( ) ( )max 2 2 ln 2f x f a= = − + 0 21 ,22x  ∴∃ ∈ +    ( ) ( ) ( ) ( )2 0 ln 1 1 1 2ln 2f x a m a a+ + > − − + + a M∀ ∈ 2(2 ln 2 ln 1 1 1 2) ) ( ) n( l 2a a m a a− + + + > − − + + 2( )ln 1 ln 2 1 0a ma a m+ − − + − + > ( )1 2a a< < ( ) ( ) 2ln 1 ln 2 1g a a ma a m= + − − + − + ( ) ( ) 12 1 21 0, ' 1 ma a mg g a a  − + +  = = + 0m ≥ ( ) ( )' 0,g a g a< ( )1,2 ( ) ( )1 0g a g< = 0m < ( ) 12 1 2' 1 ma a mg a a  − + +  = + 1 2a< < 11 12m  − + >   1 04 m− < < ( )g a ( )1,2 ( )1 0g =Q 1 2a∴ < < ( ) 0g a > 11 1,2m  − + ≤   1 4m ≤ − ( )g a ( )1,2 ( ) ( )1 0g a g∴ > = m∴ 1, 4  −∞ −   题关键是问题的转化，如函数有两个极值点，转化为相应方程有两个不等实根，不等式恒成 立问题转化为研究函数的最值．对学生的推理论证能力、运算求解能力要求较高，难度很大， 属于困难题．