2021届浙江新高考数学一轮复习教师用书：第九章 3 第3讲 圆的方程
第3讲 圆的方程
1．圆的定义及方程
定义
平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆
标准方程
(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)
圆心(a，b)
半径为r
一般方程
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0
条件：D2＋E2－4F>0
圆心：
半径r＝
2.点与圆的位置关系
点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系：
(1)若M(x0，y0)在圆外，则(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2.
(2)若M(x0，y0)在圆上，则(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2.
(3)若M(x0，y0)在圆内，则(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2.
[疑误辨析]
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)确定圆的几何要素是圆心与半径．( )
(2)已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则以AB为直径的圆的方程是(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.( )
(3)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF>0.( )
(4)方程x2＋2ax＋y2＝0一定表示圆．( )
(5)若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则x＋y＋Dx0＋Ey0＋F>0.( )
答案：(1)√ (2)√ (3)√ (4)× (5)√
[教材衍化]
1．(必修2P132A组T3改编)以点(3，－1)为圆心，并且与直线3x＋4y＝0相切的圆的方程是( )
A．(x－3)2＋(y＋1)2＝1
B．(x－3)2＋(y－1)2＝1
C．(x＋3)2＋(y－1)2＝1
D．(x＋3)2＋(y＋1)2＝1
答案：A
2．(必修2P124A组T1改编)圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标为________，半径为________．
解析：x2＋y2－4x＋6y＝0，得(x－2)2＋(y＋3)2＝13.
所以圆心坐标为(2，－3)，半径为.
答案：(2，－3)
3．(必修2P124A组T4改编)圆C的圆心在x轴上，并且过点A(－1，1)和B(1，3)，则圆C的方程为________．
解析：设圆心坐标为C(a，0)，
因为点A(－1，1)和B(1，3)在圆C上，
所以|CA|＝|CB|，
即＝，
解得a＝2，
所以圆心为C(2，0)，
半径|CA|＝＝，
所以圆C的方程为(x－2)2＋y2＝10.
答案：(x－2)2＋y2＝10
[易错纠偏]
(1)忽视表示圆的充要条件D2＋E2－4F>0；
(2)错用点与圆的位置关系；
(3)不能正确确定圆心坐标．
1．若方程x2＋y2＋mx－2y＋3＝0表示圆，则m的取值范围是________．
解析：将x2＋y2＋mx－2y＋3＝0化为圆的标准方程得＋(y－1)2＝－2.
由其表示圆可得－2>0，解得m<－2或m>2.
答案：(－∞，－2)∪(2，＋∞)
2．若点(1，1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则实数a的取值范围是________．
解析：因为点(1，1)在圆内，
所以(1－a)2＋(a＋1)2<4，即－1
0)，又圆与直线4x－3y
＝0相切，
所以＝1，解得a＝2或a＝－(舍去)．
所以圆的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝1.
答案：(x－2)2＋(y－1)2＝1
求圆的方程(高频考点)
求圆的方程是高考命题的热点，多以选择题、填空题的形式呈现，试题难度较小．主要命题角度有：
(1)由已知条件求圆的方程；
(2)由圆的方程确定参数的值(范围)．
角度一 由已知条件求圆的方程
(1)圆心在曲线y＝(x>0)上，且与直线2x＋y＋1＝0相切的面积最小的圆的方程为( )
A．(x－1)2＋(y－2)2＝5
B．(x－2)2＋(y－1)2＝5
C．(x－1)2＋(y－2)2＝25
D．(x－2)2＋(y－1)2＝25
(2)(2020·浙江百校联盟联考)经过点A(5，2)，B(3，－2)，且圆心在直线2x－y－3＝0上的圆的方程为________．
【解析】 (1)由圆心在曲线y＝(x>0)上，设圆心坐标为，a>0.又因为圆与直线2x＋y＋1＝0相切，所以圆心到直线的距离d＝≥＝，当且仅当2a＝，即a＝1时取等号．所以圆心坐标为(1，2)，圆的半径的最小值为，则所求圆的方程为(x－1)2＋(y－2)2＝5.
(2)因为圆过A(5，2)，B(3，－2)两点，
所以圆心一定在线段AB的垂直平分线上．
易知线段AB的垂直平分线方程为y＝－(x－4)．
设所求圆的圆心为C(a，b)，则有
解得
所以C(2，1)，所以半径r＝|CA|＝＝，所以所求圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝10.
【答案】 (1)A (2)(x－2)2＋(y－1)2＝10
角度二 由圆的方程确定参数的值(范围)
(1)设圆的方程是x2＋y2＋2ax＋2y＋(a－1)2＝0，若00，即>，所以原点在圆外．
(2)由二元二次方程表示圆的条件可得a2＝a＋2，解得a＝2或－1.当a＝2时，方程为4x2＋4y2＋4x＋8y＋10＝0，即x2＋y2＋x＋2y＋＝0，配方得＋(y＋1)2＝－<0，不表示圆；
当a＝－1时，方程为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，配方得(x＋2)2＋(y＋4)2＝25，则圆心坐标为(－2，－4)，半径是5.
【答案】 (1)B (2)(－2，－4) 5
求圆的方程的两种方法
(1)直接法
根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程．
(2)待定系数法
①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值；
②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值．
1．(2020·宁波十校联考)若a∈，则方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a
－1＝0表示的圆的个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选B.方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆的条件为a2＋4a2－4(2a2＋a－1)>0，即3a2＋4a－4<0，解得－20)，由题意得a＝2b>0，且a2＝()2＋b2，解得a＝2，b＝1.
所以所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4.
答案：(x－2)2＋(y－1)2＝4
3．已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，)在圆C上，且圆心到直线2x－y＝0的距离为，则圆C的方程为________．
解析：因为圆C的圆心在x轴的正半轴上，设C(a，0)，且a>0，所以圆心到直线2x－y＝0的距离d＝＝，
解得a＝2，所以圆C的半径r＝|CM|＝＝3，
所以圆C的方程为(x－2)2＋y2＝9.
答案：(x－2)2＋y2＝9
与圆有关的最值问题(高频考点)
与圆有关的最值问题是高考命题的热点，多以选择题，填空题的形式出现，试题难度为中等．主题命题角度有：
(1)借助几何性质求最值；
(2)建立函数关系求最值．
角度一 借助几何性质求最值
已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0.
(1)求的最大值和最小值；
(2)求y－x的最大值和最小值．
【解】 原方程可化为(x－2)2＋y2＝3，表示以(2，0)为圆心，为半径的圆．
(1)的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，
所以设＝k，即y＝kx.
当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取得最大值或最小值，此时＝，解得k＝±(如图1)．
所以的最大值为，最小值为－.
(2)y－x可看作是直线y＝x＋b在y轴上的截距，当直线y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时＝，
解得b＝－2±(如图2)．
所以y－x的最大值为－2＋，最小值为－2－.
(变问法)在本例条件下，求x2＋y2的最大值和最小值．
解：x2＋y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值(如图)．
又圆心到原点的距离为＝2，
所以x2＋y2的最大值是(2＋)2＝7＋4，x2＋y2的最小值是(2－)2＝7－4.
角度二 建立函数关系求最值
(2020·义乌模拟)设点P(x，y)是圆：x2＋(y－3)2＝1上的动点，定点A(2，0)，B(－2，0)，则·的最大值为________．
【解析】 由题意，知＝(2－x，－y)，＝(－2－x，－y)，所以·＝x2＋y2－4，由于点P(x，y)是圆上的点，故其坐标满足方程x2＋(y－3)2＝1，故x2＝－(y－3)2＋1，所以·＝－(y－3)2＋1＋y2－4＝6y－12.易知2≤y≤4，所以，当y＝4时，·的值最大，最大值为6×4－12＝12.
【答案】 12
求解与圆有关的最值问题的方法
1．由直线y＝x＋1上的一点向圆x2－6x＋y2＋8＝0引切线，则切线长的最小值为________．
解析：切线长的最小值在直线y＝x＋1上的点与圆心距离最小时取得，圆心(3，0)到直线的距离为d＝＝2，圆的半径为1，故切线长的最小值为＝＝.
答案：
2．(2020·杭州学军中学高三调研)已知M(m，n)为圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一点，则的最大值为________，最小值为________．
解析：因为x2＋y2－4x－14y＋45＝0的圆心C(2，7)，半径r＝2，记点Q(－2，3)．因为表示直线MQ的斜率，设直线MQ的方程为y－3＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＋3＝0，则＝k.由直线MQ与圆C有公共点，所以≤2.可得2－≤k≤2＋，所以的最大值为2＋，最小值为2－.
答案：2＋ 2－
3．设圆x2＋y2＝2的切线l与x轴正半轴，y轴正半轴分别交于点A，B，当|AB|取最小值时，切线l的方程为________________．
解析：设点A，B的坐标分别为A(a，0)，B(0，b)(a>0，b>0)，则直线AB的方程为＋＝1，即bx＋ay－ab＝0.因为直线AB和圆相切，所以圆心到直线AB的距离d＝＝，即2(a2＋b2)＝(ab)2≥4ab，所以ab≥4，当且仅当a＝b时取等号．又|AB|＝＝≥2，所以|AB|的最小值为2，此时a＝b，即a＝b＝2，切线l的方程为＋＝1，即x＋y－2＝0.
答案：x＋y－2＝0
与圆有关的轨迹问题
已知过原点的动直线l与圆C1：x2＋y2－6x＋5＝0相交于不同的两点A，B.
(1)求圆C1的圆心坐标；
(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程．
【解】 (1)由x2＋y2－6x＋5＝0得(x－3)2＋y2＝4，
所以圆C1的圆心坐标为(3，0)．
(2)设M(x，y)，
因为点M为线段AB的中点，所以C1M⊥AB，
所以kC1M·kAB＝－1，当x≠3时可得·＝－1，整理得＋y2＝，又当直线l与x轴重合时，M点坐标为(3，0)，代入上式成立．
设直线l的方程为y＝kx，与x2＋y2－6x＋5＝0联立，
消去y得：(1＋k2)x2－6x＋5＝0.
令其判别式Δ＝(－6)2－4(1＋k2)×5＝0，得k2＝，此时方程为x2－6x＋5＝0，解上式得x＝，因此0，b>0)对称，则＋的最小值是( )
A．2 B.
C．4 D.
解析：选D.由圆x2＋y2＋2x－6y＋1＝0知其标准方程为(x＋1)2＋(y－3)2＝9，因为圆x2＋y2＋2x－6y＋1＝0关于直线ax－by＋3＝0(a>0，b>0)对称，所以该直线经过圆心(－1，3)，即－a－3b＋3＝0，所以a＋3b＝3(a>0，b>0)．所以＋＝(a＋3b)＝≥＝，当且仅当＝，即a＝b时取等号，故选D.
7．圆C的圆心在x轴上，并且经过点A(－1，1)，B(1，3), 若M(m，)在圆C内，则m的取值范围为________．
解析：设圆心为C(a，0)，由|CA|＝|CB|得
(a＋1)2＋12＝(a－1)2＋32，所以a＝2.
半径r＝|CA|＝＝.
故圆C的方程为(x－2)2＋y2＝10.
由题意知(m－2)2＋()2<10，解得00得(－2)2＋(－4)2－4m>0，解得m<5.
(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，由x＋2y－4＝0得x＝4－2y；将x＝4－2y代入x2＋y2－2x－4y＋m＝0得5y2－16y＋8＋m＝0，所以y1＋y2＝，y1y2＝.因为OM⊥ON，所以·＝－1，即x1x2＋y1y2＝0.因为x1x2＝(4－2y1)(4－2y2)＝16－8(y1＋y2)＋4y1y2，所以x1x2＋y1y2＝16－8(y1＋y2)＋5y1y2＝0，即(8＋m)－8×＋16＝0，解得m＝.
(3)设圆心C的坐标为(a，b)，则a＝(x1＋x2)＝，b＝(y1＋y2)＝，半径r＝|OC|＝，所以所求圆的方程为＋＝.
6．已知以点C(t∈R，t≠0)为圆心的圆与x轴交于点O和点A，与y轴交于点O和点B，其中O为坐标原点．
(1)求证：△OAB的面积为定值；
(2)设直线y＝－2x＋4与圆C交于点M，N，若OM＝ON，求圆C的方程．
解：(1)证明：因为圆C过原点O，所以OC2＝t2＋.
设圆C的方程是 (x－t)2＋＝t2＋，
令x＝0，得y1＝0，y2＝；
令y＝0，得x1＝0，x2＝2t，
所以S△OAB＝OA·OB＝×|2t|×||＝4，
即△OAB的面积为定值．
(2)因为OM＝ON，CM＝CN，
因为OC垂直平分线段MN.
因为kMN＝－2，所以kOC＝.
所以＝t，解得t＝2或t＝－2.
当t＝2时，圆心C的坐标为(2，1)，OC＝，
此时，C到直线y＝－2x＋4的距离d＝<，圆C与直线y＝－2x＋4相交于两点．
符合题意，此时，圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5.
当t＝－2时，圆心C的坐标为(－2，－1)，OC＝，此时C到直线y＝－2x＋4的距离
d＝>.圆C与直线y＝－2x＋4不相交，
所以t＝－2不符合题意，舍去．
综上圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5.
