2018届二轮复习 导数与函数的极值、最值 学案（全国通用）

2018届二轮复习 导数与函数的极值、最值 学案（全国通用）

专题5 导数与函数的极值、最值 导数与函数的极值、最值 ‎★★★‎ ‎○○○○‎ ‎1．函数的极小值 函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近的其他点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．‎ ‎2．函数的极大值 函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近的其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．‎ ‎3．函数的极值 极小值点和极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值.‎ 知图判断函数极值情况的策略 知图判断函数极值情况的思路是：先找导数为0的点，再判断导数为0的点的左、右两侧的导数符号．导函数为正的区间是函数的增区间，导函数为负的区间是函数的减区间，导函数图象与x轴交点的横坐标为函数的极值点．‎ ‎[例]　设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x ‎)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是(　　)‎ A．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)‎ B．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)‎ C．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2)‎ D．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)‎ ‎[解析]　由图可知，当x＜－2时，f′(x)＞0；当－2＜x＜1时，f′(x)＜0；当1＜x＜2时，f′(x)＜0；当x＞2时，f′(x)＞0.由此可以得到函数f(x)在x＝－2处取得极大值，在x＝2处取得极小值．‎ ‎[答案]　 D ‎1.　已知函数f(x)＝(x－k)ex.‎ ‎(1)求f(x)的单调区间；‎ ‎(2)求f(x)在区间[0,1]上的最小值．‎ ‎[解]　(1)由题意知f′(x)＝(x－k＋1)ex.‎ 令f′(x)＝0，得x＝k－1.‎ f(x)与f′(x)的情况如下：‎ x ‎(－∞，k－1)‎ k－1‎ ‎(k－1，＋∞)‎ f′(x)‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎＋‎ f(x)‎  ‎－ek－1‎  所以，f(x)的单调递减区间是(－∞，k－1)；单调递增区间是(k－1，＋∞)．‎ ‎2.　已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，曲线y＝f(x)在点x＝1处的切线为l：3x－y＋1＝0，若x＝时，y＝f(x)有极值．‎ ‎(1)求a，b，c的值；‎ ‎(2)求y＝f(x)在[－3,1]上的最大值和最小值．‎ ‎[解]　(1)由f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，‎ 得f′(x)＝3x2＋2ax＋b.‎ 当x＝1时，切线l的斜率为3，可得‎2a＋b＝0，①‎ 当x＝时，y＝f(x)有极值，则f′＝0，‎ 可得‎4a＋3b＋4＝0，②‎ 由①②，解得a＝2，b＝－4.‎ 由于切点的横坐标为1，所以f(1)＝4.‎ 所以1＋a＋b＋c＝4，得c＝5.‎ ‎(2)由(1)可得f(x)＝x3＋2x2－4x＋5，‎ f′(x)＝3x2＋4x－4.‎ 令f′(x)＝0，解得x1＝－2，x2＝.‎ 当x变化时，f′(x)，f(x)的取值及变化情况如下表所示：‎ x ‎－3‎ ‎(－3，－2)‎ ‎－2‎ ‎1‎ f′(x)‎ ‎＋‎ ‎0‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎＋‎ f(x)‎ ‎8‎  ‎13‎   ‎4‎ 所以y＝f(x)在[－3,1]上的最大值为13，最小值为.‎ ‎3.(2013·新课标全国卷Ⅱ)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，下列结论中错误的是(　　)‎ A．∃x0∈R，f(x0)＝0‎ B．函数y＝f(x)的图象是中心对称图形 C．若x0是f(x)的极小值点，则f(x)在区间(－∞，x0)单调递减 D．若x0是f(x)的极值点，则 f′(x0)＝0‎ 解析：选C　因为函数f(x)的值域为R，所以一定∃x0∈R，f(x0)＝0，选项A中的结论正确；函数f(x)的解析式可以通过配方的方法化为形如(x＋m)3＋n(x＋m)＋h的形式，通过平移函数图象，函数的解析式可以化为y＝x3＋nx的形式，这是一个奇函数，其图象关于坐标原点对称，故函数f(x)的图象是中心对称图形，选项B中的结论正确；由于三次函数的三次项系数为正值，故函数如果存在极值点x1，x2，则极小值点x2＞x1，即函数在－∞到极小值点的区间上是先递增后递减的，所以选项C中的结论错误；根据导数与极值的关系，显然选项D中的结论正确．‎ ‎1.若函数f(x)＝x3－2cx2＋x有极值点，则实数c的取值范围为(　　)‎ A. B. C.∪ D.∪ 解析：选D　若函数f(x)＝x3－2cx2＋x有极值点，则f′(x)＝3x2－4cx＋1＝0有根，故Δ＝(－‎4c)2－12>0，从而c>或c<－.故实数c的取值范围为－∞，－∪.‎ ‎2.已知函数f(x)的定义域为(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)上的图象如图所示，则函数f(x)在(a，b)上的极大值点的个数为(　　)‎ A．1 B．‎2 ‎‎ C．3 D．4‎ 解析：选B　由函数极值的定义和导函数的图象可知，f′(x)在(a，b)上与x轴的交点个数为4，但是在原点附近的导数值恒大于零，故x＝0不是函数f(x)的极值点，其余的3个交点都是极值点，其中有2个点满足其附近的导数值左正右负，故极大值点有2个．‎ ‎3.已知函数f(x)＝x(x－m)2在x＝1处取得极小值，则实数m＝(　　)‎ A．0 B．‎1 ‎‎ C．2 D．3‎ ‎3.函数f(x)＝ln x－x在区间(0，e]上的最大值为(　　)‎ A．1－e B．－‎1 ‎‎ C．－e D．0‎ 解析：选B　因为f′(x)＝－1＝，当x∈(0,1)时，f′(x)>0；当x∈(1，e]时，f′(x)<0，所以f(x ‎)的单调递增区间是(0,1)，单调递减区间是(1，e]，所以当x＝1时，f(x)取得最大值ln 1－1＝－1.‎ ‎4.已知函数f(x)＝(2x－x2)ex，则(　　)‎ A．f()是f(x)的极大值也是最大值 B．f()是f(x)的极大值但不是最大值 C．f(－)是f(x)的极小值也是最小值 D．f(x)没有最大值也没有最小值 ‎5.函数f(x)＝xsin x＋cos x在上的最大值为________．‎ 解析：因为f′(x)＝sin x＋xcos x－sin x＝xcos x，所以f′(x)＝0在x∈上的解为x＝.又f＝＋，f＝，f(π)＝－1，所以函数f(x)＝xsin x＋cos x在上的最大值为.‎ 答案： ‎6.已知函数f(x)＝x－aln x(a∈R)．‎ ‎(1)当a＝2时，求曲线y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程；‎ ‎(2)求函数f(x)的极值．‎ 解：由题意知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1－.‎ ‎(1)当a＝2时，f(x)＝x－2ln x，f′(x)＝1－(x＞0)，‎ 因为f(1)＝1，f′(1)＝－1，‎ 所以曲线y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程为y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0.‎ ‎(2)由f′(x)＝1－＝，x＞0知：‎ ‎①当a≤0时，f′(x)＞0，函数f(x)为(0，＋∞)上的增函数，函数f(x)无极值；‎ ‎②当a＞0时，由f′(x)＝0，解得x＝a.‎ 又当x∈(0，a)时，f′(x)＜0；当x∈(a，＋∞)时，f′(x)＞0，‎ 从而函数f(x)在x＝a处取得极小值，且极小值为f(a)＝a－aln a，无极大值．‎ 综上，当a≤0时，函数f(x)无极值；当a＞0时，函数f(x)在x＝a处取得极小值a－aln a，无极大值．‎ ‎7.已知函数f(x)＝ax3＋bx＋c在x＝2处取得极值为c－16.‎ ‎(1)求a，b的值；‎ ‎(2)若f(x)有极大值28，求f(x)在[－3,3]上的最小值．‎ ‎ ‎ ‎(2)由(1)知f(x)＝x3－12x＋c，f′(x)＝3x2－12.‎ 令f′(x)＝0，得x1＝－2，x2＝2.‎ 当x∈(－∞，－2)时，f′(x)>0，‎ 故f(x)在(－∞，－2)上为增函数．‎ 当x∈(－2,2)时，f′(x)<0，‎ 故f(x)在(－2,2)上为减函数；‎ 当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0，‎ 故f(x)在(2，＋∞)上为增函数．‎ 由此可知f(x)在x1＝－2处取得极大值f(－2)＝16＋c，在x2＝2处取得极小值f(2)＝c－16.‎ 由题设条件知16＋c＝28，得c＝12，‎ 此时f(－3)＝9＋c＝21，f(3)＝－9＋c＝3，f(2)＝c－16＝－4，因此f(x)在[－3,3]上的最小值为f(2)＝－4.‎ ‎________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________‎