数学理卷·2018届广西钦州市钦州港区高二12月月考（2016-12）

数学理卷·2018届广西钦州市钦州港区高二12月月考（2016-12）

广西钦州市钦州港区2016-2017学年高二年级上学期12月份考试 理科数学试题 ‎(时间：120分钟　满分：120分)‎ 学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________‎ 注意事项：‎ ‎1. 答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2. 请将答案正确填写在答题卡上 一、 选择题 ‎1. 已知抛物线方程为 ，直线 的方程为 ，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为 ，P到直线 的距离为 ，则 的最小( ) ‎ A． B． C． D． ‎ ‎2.已知圆 的圆心为抛物线 的焦点，直线 与圆 相切，则该圆的方程为（  ） ‎ A． B． ‎ C． D． ‎ ‎3.已知抛物线 的准线过椭圆 的左焦点且与椭圆交于A、B两点，O为坐标原点， 的面积为 ，则椭圆的离心率为(   ) A.   B.   C.   D. ‎ ‎4.设双曲线 ＝1( a >0， b >0)的一条渐近线与抛物线 y ＝ x 2 ＋1只有一个公共点，则双曲线的离心率为(　　)． ‎ A． B．5 C． D． ‎ ‎5.已知F 1 、F 2 是双曲线 （a＞0，b＞0）的两焦点，以线段F 1 F 2 为边作正三角形MF 1 F 2 ，若边MF 1 的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是 （   ） ‎ A．4+ 　　　　 B． +1　　　 C． 1　　　 D． ‎ ‎6.圆心在 上，半径为3的圆的标准方程为（  ） A    B C    D ‎ ‎7.椭圆 的左、右焦点分别为 ， 是 上两点， ， ，则椭圆 的离心率为（  ） ‎ A． B． C． D． ‎ ‎8. 已知F为双曲线C： 的左焦点，P，Q为C上的点．若PQ的长等于虚轴长的2倍，点A(5,0)在线段PQ上，则△PQF的周长为（ ） ‎ A．11 B．22 C．33 D．44‎ ‎9. 已知椭圆： ，左右焦点分别为 ，过 的直线 交椭圆于A，B两点，若 的最大值为5，则 的值是 ( ) ‎ A．1 B． C． D． ‎ ‎10.长方体 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中， AB ＝ AA 1 ＝2， AD ＝1， E 为 CC 1 的中点，则异面直线 BC 1 与 AE 所成角的余弦值为 (　　)．　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ‎ A． B． C． D． ‎ ‎11.设 是正三棱锥， 是 的重心， 是 上的一点，且 ，若 ，则 为（ ） ‎ A． B． C． D． ‎ ‎12. 如图，空间四边形的各边和对角线长均相等， E 是 BC 的中点，那么（　　） ‎ A． B． ‎ C． D． 与 不能比较大小 ‎ 二、 填空题 ‎ ‎13. 设向量 a , b , c 满足 a + b + c =0  ( a - b )⊥ c , a ⊥ b ,若｜ a ｜=1,则｜ a ｜ 2 +｜ b ｜ 2 +｜ c ｜ 2 的值是______________________. ‎ ‎14. 已知 i 、 j 、 k 是两两垂直的单位向量， a =2 i - j + k , b = i + j -3 k ,则 a b 等于________. ‎ ‎15.如图，在棱长为1的正方体 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中， M 和 N 分别是 A 1 B 1 和 BB 1 的中点，那么直线 AM 与 CN 所成角的余弦值为________． ‎ ‎16.已知 、 分别为双曲线 : 的左、右焦点，点 ，点 的坐标为(2，0)， 为 的平分线．则   . ‎ ‎17. 若一个二面角的两个面的法向量分别为 m =(0,0,3), n =(8,9,2),则这个二面角的余弦值为________. ‎ 三、 解答题 ‎ ‎18. 已知动点 到定点 的距离与到定直线 ： 的距离相等，点C在直线 上。 （1）求动点 的轨迹方程。 （2）设过定点 ，且法向量 的直线与（1）中的轨迹相交于 两点且点 在 轴的上方。判断 能否为钝角并说明理由。进一步研究 为钝角时点 纵坐标的取值范围。 ‎ ‎19.已知椭圆方程为 ，射线 （x≥0）与椭圆的交点为M，过M作倾斜角互补的两条直线，分别与椭圆交于A、B两点（异于M）． （Ⅰ）求证直线AB的斜率为定值； （Ⅱ）求△ 面积的最大值． ‎ ‎20.已知双曲线 ， 、 是双曲线的左右顶点， 是双曲线上除两顶点外的一点，直线 与直线 的斜率之积是 ， 求双曲线的离心率； 若该双曲线的焦点到渐近线的距离是 ，求双曲线的方程. ‎ ‎21. 正三棱柱 ABC A 1 B 1 C 1 的底面边长为 a ，侧棱长为 a ，求 AC 1 与侧面 ABB 1 A 1 所成的角. ‎ ‎22. 若 PA ⊥平面 ABC , AC ⊥ BC , PA = AC =1, BC = ,求二面角 APBC 的余弦值. ‎ 答案 一、选择题 ‎1、 D2、B 3、C 4、D 5、B 6、B 7、D 8、 D9、 D10、B 11、A 12、C ‎ 二、填空题 ‎13、4 14、-2 15、 16、 6 17、或- ‎ 三、解答题 ‎18、 解（1）动点 到定点 的距离与到定直线 ： 的距离相等，所以 的轨迹是以点 为焦点，直线 为准线的抛物线，轨迹方程为 （2）方法一：由题意，直线 的方程为    故A、B两点的坐标满足方程组 得 ，    设 ，则 ，    由 ，所以 不可能为钝角。 若 为钝角时， ‎ ‎, 得     若 为钝角时，点C纵坐标的取值范围是     注：忽略 扣1分 方法二：由题意，直线 的方程为   （5分） 故A、B两点的坐标满足方程组 得 ， 设 ，则 ，   由 ，所以 不可能为钝角。 过 垂直于直线 的直线方程为 令 得 为钝角时，点C纵坐标的取值范围是      注：忽略 扣1分 ‎ ‎19、 （Ⅰ）∵斜率k存在，不妨设k＞0，求出M（ ，2）． 直线MA方程为 ， 分别与椭圆方程联立，可解出 ， 同理得，直线MB方程为 ． ‎ ‎∴　 ，为定值. （Ⅱ）设直线AB方程为 ，与 联立，消去y得 ． 由 ＞0得一4＜m＜4，且m≠0， 点M到AB的距离为 ． 设△AMB的面积为S．　∴　 ． 当 时，得 ． ‎ ‎20、 （1） ；（2） ． ‎ ‎21、 ‎ 解法一： 建立如图所示的空间直角坐标系，则 A （0，0，0）， B （0, a ,0）, A 1 (0,0, a ), C 1 (- , , a )，取 A 1 B 1 的中点 M ，则 M （0, , a ），连结 AM 、 MC 1 ，有 =(0, a ,0), =(0,0, a ). ‎ 由于 ‎ ‎∴ MC 1 ⊥面 ABB 1 A 1 . ‎ ‎∴∠ C 1 AM 是 AC 1 与侧面 A 1 B 所成的角. ‎ ‎∵ ‎ ‎∴ ‎ 而 ‎ ‎∴ ‎ ‎∴〈 〉=30°，即 AC 1 与侧面 AB 1 所成的角为30°. ‎ 解法二： （法向量法）（接方法一） =（0，0， a ）. ‎ 设侧面 A 1 B 的法向量 n =(λ, x , y ), ‎ ‎∴ n =0且 n =0.∴ ax =0，且 ay =0. ‎ ‎∴ x = y =0.故 n =(λ,0,0). ‎ ‎∵ ‎ ‎∴ ‎ ‎∴|cos〈 , n 〉|= . ‎ ‎∴〈 〉=30°,即 AC 1 与侧面 AB 1 所成的角为30°. ‎ 绿色通道： ‎ 充分利用图形的几何特征建立适当的空间直角坐标系,再用向量的有关知识求解线面角.方法二给出了一般的方法,先求平面法向量与斜线夹角,再进行换算.‎ ‎22、 ‎ 解法一 : 如图所示,取 PB 的中点 D ,连结 CD .∵ PC = BC = , ‎ ‎∴ CD ⊥ PB . ‎ ‎∴作 AE ⊥ PB 于E,那么二面角 APBC 的大小就等于异面直线 DC 与 EA 所成的角 θ 的大小. ‎ ‎∵ PD =1, PE = , ‎ ‎∴ DE = PD - PE = . ‎ 又∵ AE = CD =1, AC =1, ‎ ‎∴ cos(π- θ ), ‎ 即1= +1-2 1cos θ , ‎ 解得cos θ = . ‎ 故二面角 APBC 的余弦值为 . ‎ 解法二 : 由解法一可知,向量 的夹角的大小就是二面角 APBC 的大小,如上图,建立空间直角坐标系 C xyz ,则 A (1,0,0), B (0, ,0),C(0,0,0), P (1,0,1), D 为 PB 的中点, D ( ). ‎ ‎∴ ,即 E 分 的比为 . ‎ ‎∴ E ( ), ‎ ‎∴ ‎ 故二面角A P BC的余弦值为 . ‎ 解法三 : 如图所示建立空间直角坐标系,则 A (0,0,0), B ( ,1,0), C (0,1,0), P (0,0,1), =(0,0,1), =( ,1,0), =(2,0,0), =(0,-1,1), ‎ 设平面 PAB 的法向量为 m =( x , y , z ),则 ‎ 令 x =1,则 m =(1,- ,0). ‎ 设平面 PBC 的法向量为 n =( x ′, y ′, z ′),则 ‎ 令 y ′=-1,则 n =(0,-1,-1), ‎ ‎∴cos〈 m , n 〉= ‎ ‎∴二面角 APBC 的余弦值为 . ‎ 绿色通道： ‎ ‎(1)求二面角的大小,可以在两个半平面内作出垂直于棱的两个向量,转化为这两向量的夹角,但应注意两向量的始点应在二面角的棱上. ‎ ‎(2)当空间直角坐标系容易建立(有特殊的位置关系)时,用向量法解较为简捷、明快.用法向量求二面角的大小时,有时不易判断两法向量的夹角的大小就是二面角的大小(相等或互补),但我们完全可以根据图形观察得到结论,这是因为二面角是钝二面角还是锐二面角一般是明显的.‎