吉林省五地六市联盟2018-2019学年高一下学期期末考试数学试题

吉林省五地六市联盟2018-2019学年高一下学期期末考试数学试题

www.ks5u.com 高一数学试题 一、选择题 ‎1.下列命题中正确的是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据向量加减法的几何意义以及向量数乘的定义即可判断。‎ ‎【详解】，，，，故选D．‎ ‎【点睛】本题主要考查向量的加减法的几何意义以及向量数乘的定义的应用。‎ ‎2.下面一段程序执行后的结果是（ ）‎ ‎ ‎ A. 6 B. 4 C. 8 D. 10‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题中的程序语句，直接按照顺序结构的功能即可求出。‎ ‎【详解】由题意可得：‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，所以输出为6，故选A.‎ ‎【点睛】本题主要考查顺序结构的程序框图的理解，理解语句的含义是解题关键。‎ ‎3.若，则下列正确的是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由不等式的性质对四个选项逐一判断，即可得出正确选项，错误的选项可以采用特值法进行排除。‎ ‎【详解】A选项不正确，因为若，，则不成立；‎ B选项不正确，若时就不成立；‎ C选项不正确，同B，时就不成立；‎ D选项正确，因为不等式的两边加上或者减去同一个数，不等号的方向不变，故选D．‎ ‎【点睛】本题主要考查不等关系和不等式的基本性质，求解的关键是熟练掌握不等式的运算性质。‎ ‎4.已知中，，，，那么角等于（ ）‎ A. B. C. 或 D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由正弦定理求出，进而得出角，再根据大角对大边，大边对大角确定角．‎ ‎【详解】由正弦定理得：，，‎ ‎∴或，‎ ‎∵，∴，∴，故选B.‎ ‎【点睛】本题主要考查正弦定理应用以及大边对大角，大角对大边的三角形边角关系的应用。‎ ‎5.从一批产品中取出三件产品，设事件为“三件产品全不是次品”，事件为“三件产品全是次品”，事件为“三件产品不全是次品”，则下列结论正确的是（ ）‎ A. 事件与互斥 B. 事件与互斥 C. 任何两个事件均互斥 D. 任何两个事件均不互斥 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据互斥事件的定义，逐个判断，即可得出正确选项。‎ ‎【详解】为三件产品全不是次品，指的是三件产品都是正品，为三件产品全是次品，‎ 为三件产品不全是次品，它包括一件次品，两件次品，三件全是正品三个事件 由此知：与是互斥事件；与是包含关系，不是互斥事件；与是互斥事件，故选B．‎ ‎【点睛】本题主要考查互斥事件定义的应用。‎ ‎6.若满足约束条件，则的最小值是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．‎ ‎【详解】约束条件，表示的可行域如图，‎ 解得，解得，解得，把、、分别代入，可得的最小值是，故选A．‎ ‎【点晴】1．求目标函数的最值的一般步骤为：一画二移三求．其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义．2．常见的目标函数截距型：形如.求这类目标函数的最值常将函数转化为直线的斜截式：，通过求直线的截距的最值，间接求出的最值．注意：转化的等价性及几何意义．‎ ‎7.在长为的线段上任取一点.现作一矩形，邻边长分别等于线段，的长，则该矩形面积大于的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据几何概型的概率计算公式，分别计算出点占据的所有长度，以及满足题意时点占据的长度，即可求出。‎ ‎【详解】设，则，‎ 矩形的面积，‎ ‎∴，‎ ‎∴.‎ 由几何概率的求解公式可得，矩形面积大于的概率．‎ ‎【点睛】本题主要考查与长度有关的几何概型的概率求法。‎ ‎8.某产品的广告费用 (单位：万元)与销售额 (单位：万元)的统计数据如下表：‎ 根据上表可得回归方程中的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售为( )‎ A. 63.6万元 B. 65.5万元 C. 67.7万元 D. 72.0万元 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：，回归直线必过点，即。将其代入可得解得，所以加归方程为。当时，所以预报广告费用为6万元时销售额为65.5万元 考点：回归方程 ‎9.数列中，若，，则（ ）‎ A. 29 B. 2563 C. 2569 D. 2557‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用递推关系，构造等比数列，进而求得的表达式，即可求出，也就可以得到的值。‎ ‎【详解】数列中，若，，‎ 可得，所以是等比数列，公比为2，首项为5，‎ 所以，．‎ ‎【点睛】本题主要考查数列的通项公式的求法——构造法。利用递推关系，选择合适的求解方法是解决问题的关键，常见的数列的通项公式的求法有：公式法，累加法，累乘法，构造法，取倒数法等。‎ ‎10.在中，，，分别是角，，的对边，且满足，那么的形状一定是（ ）‎ A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰或直角三角形 D. 等腰直角三角形 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【详解】由正弦定理，可得,.‎ ‎，或，‎ 或，即或，即三角形为等腰三角形或直角三角形，故选C.‎ 考点：1正弦定理;2正弦的二倍角公式.‎ ‎11. 若正数x，y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是 A. B. C. 5 D. 6‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【详解】由已知可得，则 ‎，所以的最小值，应选答案C。‎ ‎12.在中, ,是的内心,若,其中,动点的轨迹所覆盖的面积为(   )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 画出图形，由已知条件便知P点在以BD， BP为邻边的平行四边形内，从而所求面积为2‎ 倍的△AOB的面积，从而需求S△AOB：由余弦定理可以求出AB的长为5，根据O为△ABC 的内心，从而O到△ABC三边的距离相等，从而，由面积公式可以求 出△ABC面积，从而求出△AOB的面积，这样2S△AOB便是所求的面积．‎ ‎【详解】如图，根据题意知，P点在以BP，BD为邻边的平行四边形内部，‎ ‎∴动点P的轨迹所覆盖图形的面积为2S△AOB；‎ 在△ABC中，cos，AC=6，BC=7；‎ ‎∴由余弦定理得，；‎ 解得：AB=5，或AB=（舍去）；‎ 又O为△ABC的内心；‎ 所以内切圆半径r=,‎ 所以 ‎∴==；‎ ‎∴动点P的轨迹所覆盖图形的面积为．‎ 故答案为：A．‎ ‎【点睛】本题主要考查考查向量加法的平行四边形法则，向量数乘的几何意义，余弦定理，以及 三角形内心的定义，三角形的面积公式．意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)本题的解题关键是找到P点所覆盖的区域.‎ 二、填空题。‎ ‎13.若采用系统抽样的方法从420人中抽取21人做问卷调查，为此将他们随机编号为1,2，…，420，则抽取的21人中，编号在区间[241,360]内的人数是______‎ ‎【答案】6‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由题意得，编号为，由得共6个.‎ 考点：系统抽样 ‎14.如图是甲、乙两人在10天中每天加工零件个数的茎叶图，若这10天甲加工零件个数的中位数为，乙加工零件个数的平均数为，则______.‎ ‎【答案】44.5‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由茎叶图直接可以求出甲的中位数和乙的平均数，求和即可。‎ ‎【详解】由茎叶图知，甲加工零件个数的中位数为，‎ 乙加工零件个数的平均数为，则．‎ ‎【点睛】本题主要考查利用茎叶图求中位数和平均数 ‎15.执行如图所示的程序框图，则输出结果_____.‎ ‎【答案】1010‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 弄清程序框图的算法功能是解题关键。由模拟执行程序，可知，本程序的算法功能是计算的值，依据数列求和方法——并项求和，即可求出。‎ ‎【详解】根据程序框图，可得程序框图的功能是计算并输出 ‎，‎ 输出的为1010．‎ ‎【点睛】本题主要考查了含有循环结构的程序框图的算法功能的理解以及数列求和的基本方法——并项求和法的应用。正确得到程序框图的算法功能，选择合适的求和方法是解题的关键。‎ ‎16.已知数列的前项和是，且，则______.（写出两个即可）‎ ‎【答案】或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用已知求的公式，即可算出结果。‎ ‎【详解】（1）当，得，∴，∴．‎ ‎（2）当时，，两式作差得，，化简得，‎ ‎∴或，‎ 即（常数）或，‎ 当（常数）时，数列是以1为首项，2为公差的等差数列，所以；‎ 当时，数列是以1为首项，﹣1为公比等比数列，所以．‎ ‎【点睛】本题主要考查利用与的关系公式，即， 求的方法应用。‎ 三、解答题.‎ ‎17.从甲、乙、丙、丁四个人中选两名代表，求：‎ ‎（１）甲被选中的概率；‎ ‎（２）丁没被选中的概率.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先确定从甲、乙、丙、丁四个人中选两名代表总事件数，再确定甲被选中的事件数，最后根据古典概型概率公式求概率（2）先确定从甲、乙、丙、丁四个人中选两名代表总事件数，再确定丁没被选中的事件数，最后根据古典概型概率公式求概率.‎ ‎【详解】（1）从甲、乙、丙、丁四个人中选两名代表共有：甲乙，甲丙，甲丁，乙丙，乙丁、丙丁共6种基本事件，其中甲被选中包括甲乙，甲丙，甲丁三种基本事件，所以甲被选中的概率为 .‎ ‎（2）丁没被选中包括甲乙，甲丙，乙丙三种基本事件，‎ 所以丁没被选中的概率为.‎ 点睛：古典概型中基本事件数的探求方法 ‎(1)列举法.‎ ‎(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.‎ ‎(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.‎ ‎(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.‎ ‎18.已知，，是同一平面内的三个向量，其中．‎ ‎（1）若，且与共线，求的坐标；‎ ‎（2）若，且与垂直，求与的夹角.‎ ‎【答案】（1）或．（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由，以及 与共线，可以得到，再根据向量的数乘的坐标运算即可求出的坐标；（2）先依据向量垂直，数量积为0，求出 ‎，再利用数量积的定义，即可求出与的夹角的余弦值，进而得到夹角的大小。‎ ‎【详解】（1）由，得，‎ 又，所以.‎ 又因为与共线，所以，‎ 所以或．‎ ‎（2）因为与垂直，所以，‎ 即 ① ‎ 将，代入① 得，‎ 所以.‎ 又由，得，即与的夹角为.‎ ‎【点睛】本题主要考查向量的模的计算，向量数乘的定义及坐标表示应用，以及利用数量积求两个向量的夹角问题。‎ ‎19.已知，，分别为三个内角，，的对边，.‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）若，的面积为，求边，.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用正弦定理化边为角，再依据两角和的正弦公式以及诱导公式，即可求出，进而求得角A的大小：（2）依第一问结果，先由三角形面积公式求出，再利用余弦定理求出，联立即可求解出，的值。‎ ‎【详解】（1）由及正弦定理得 ‎，‎ 整理得，，‎ ‎，‎ 因为，且，‎ 所以，，‎ 又，所以，.‎ ‎（2）因为的面积，‎ 所以， ① ‎ 由余弦定理得，，‎ 所以， ②‎ 联立①②解得，.‎ ‎【点睛】本题主要考查利用正余弦定理解三角形和三角形面积公式的应用，涉及利用两角和的正弦公式、诱导公式对三角函数式的恒等变换。‎ ‎20.某高校在2012年的自主招生考试成绩中随机抽取名中学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如表所示．‎ 组号 分组 频数 频率 第1组 ‎5‎ 第2组 ‎①‎ 第3组 ‎30‎ ‎②‎ 第4组 ‎20‎ 第5组 ‎10‎ ‎（1）请先求出频率分布表中位置的相应数据，再完成频率分布直方图；‎ ‎（2）为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，求第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试；‎ ‎（3）在（2）的前提下，学校决定在名学生中随机抽取名学生接受考官进行面试，求：第组至少有一名学生被考官面试的概率．‎ ‎【答案】（1）人，，直方图见解析；（2）人、人、人；（3）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由频率分布直方图能求出第组的频数，第组的频率，从而完成频率分布直方图． ‎ ‎（2）根据第组的频数计算频率，利用各层的比例，能求出第组分别抽取进入第二轮面试的人数． ‎ ‎（3）设第组的位同学为，第组的位同学为，第组的位同学为，利用列举法能出所有基本事件及满足条件的基本事件的个数，利用古典概型求得概率．‎ ‎【详解】（1）①由题可知，第2组的频数为人，‎ ‎②第组的频率为，‎ 频率分布直方图如图所示，‎ ‎ ‎ ‎（2）因为第组共有名学生，‎ 所以利用分层抽样在名学生中抽取名学生进入第二轮面试，每组抽取的人数分别为：‎ 第组： 人，‎ 第组：人，‎ 第组：人，‎ 所以第组分别抽取人、人、人进入第二轮面试． ‎ ‎（3）设第组的位同学为，第组的位同学为，第组的位同学为，‎ 则从这六位同学中抽取两位同学有种选法，分别为：，，，，，，，，，，，，，，，‎ 其中第组的位同学中至少有一位同学入选的有种，分别为：，，，‎ ‎∴第组至少有一名学生被考官面试的概率为．‎ ‎【点睛】本题考查频率分直方图、分层抽样的应用，考查概率的求法，考查数据处理能力、运算求解能力，是基础题．‎ ‎21.已知等差数列满足，，公比为正数的等比数列满足，‎ ‎.‎ ‎（1）求数列，的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ ）利用等差数列、等比数列的通项公式即可求得；‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，利用错位相减法即可得到数列的前项和.‎ ‎【详解】（Ⅰ）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，‎ 因为，所以，解得.‎ 所以.‎ 由及等比中项的性质，得，‎ 又显然必与同号，所以.‎ 所以.又公比为正数，解得.‎ 所以.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，‎ 则 ①.‎ ‎ ②.‎ ‎①-②，得 ‎.‎ 所以.‎ ‎【点睛】用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.‎ ‎22.已知函数（）．‎ ‎（1）若不等式的解集为，求的取值范围；‎ ‎（2）当时，解不等式；‎ ‎（3）若不等式的解集为，若，求的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）.；（3）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）对二项式系数进行讨论，可得求出解集即可；（2）分为，，分别解出3种情形对应的不等式即可；（3）将问题转化为对任意的，不等式恒成立，利用分离参数的思想得恒成立，求出其最大值即可.‎ 试题解析：（1）①当即时，，不合题意；‎ ‎ ②当即时，‎ ‎，即， ‎ ‎∴，∴ ‎ ‎（2）即 即 ‎①当即时，解集为 ‎ ‎②当即时，‎ ‎∵，∴解集为 ‎ ‎③当即时，‎ ‎∵，所以，所以 ‎∴解集为 ‎ ‎（3）不等式的解集为，，‎ 即对任意的，不等式恒成立，‎ 即恒成立，‎ 因为恒成立，所以恒成立， ‎ 设则，，‎ 所以，‎ 因为，当且仅当时取等号，‎ 所以，当且仅当时取等号，‎ 所以当时，，‎ 所以 点睛：本题主要考查了含有参数的一元二次不等式的解法，考查了分类讨论的思想以及转化与化归的能力，难度一般；对于含有参数的一元二次不等式常见的讨论形式有如下几种情形：1、对二次项系数进行讨论；2、对应方程的根进行讨论；3、对应根的大小进行讨论等；考查恒成立问题，正确分离参数是关键，也是常用的一种手段．通过分离参数可转化为或恒成立，即或即可，利用导数知识结合单调性求出或即得解.‎ ‎ ‎