浙江省宁波市效实中学2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题

浙江省宁波市效实中学2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题

www.ks5u.com 宁波效实中学2019学年度第一学期高一数学期中考试 第Ⅰ卷（选择题　共30分）‎ 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.满足条件的所有集合的个数是( )‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用条件,则说明中必含有元素3，然后进行讨论即可.‎ ‎【详解】，一定属于，‎ 则满足条件的或或或，共有4个，故选D.‎ ‎【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系.‎ ‎2.已知函数，则的定义域为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求的定义域再构造使函数的解析式有意义的x的不等式组，解不等式组，即可得到函数的定义域．‎ ‎【详解】有意义， ，则有意义的x满足，故的定义域为 故选：A ‎【点睛】本题考查的知识点是函数的定义域及其求法，其中熟练掌握抽象函数定义域的求法即对应法则f中括号内整体的取值范围不变，是解答本题的关键．‎ ‎3.下列各组函数中表示同一函数的是（ ）‎ A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 运用只有定义域和对应法则完全相同，才是同一函数，对选项一一判断，即可得到结论．‎ ‎【详解】A，f（x）＝x（x∈R）与g（x）＝（）2＝x（x≥0），定义域不同，故不为同一函数；‎ B，f（x）＝|x|与g（x）x，对应法则不同，故不为同一函数；‎ C，=（x∈R），故为同一函数；‎ D，f（x）x+1（x≠1），g（x）＝x+1（x∈R），定义域不同，故不为同一函数．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查同一函数的判断，只有定义域和对应法则完全相同，才是同一函数，考查运算能力，属于基础题．‎ ‎4.函数的单调递增区间是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求函数的定义域，然后f（x）可分解为y＝和u＝x2+2x﹣3，根据复合函数单调性的判断方法可求得f（x）的增区间．‎ ‎【详解】由x2+2x﹣3≥0可得，x≤﹣3或x≥1，‎ 可看作由y＝和u＝x2+2x﹣3复合而成的，‎ u＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4在（﹣∞，﹣3）上递减，在（1，+∞）上递增，‎ 又y＝递增，‎ ‎∴f（x）在（﹣∞，﹣3）上递减，在（1，+∞）上递增，‎ 故的单调递增区间是（1，+∞）．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查对数函数、二次函数的单调性及复合函数单调性的判断，属中档题，注意单调区间要在函数的定义域内求解．‎ ‎5.已知函数，则 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出f（1）＝f（4）＝42+1＝17，f（3）＝32+1＝10，由此能求出f（1）﹣f（3）的值．‎ ‎【详解】∵函数f（x），‎ ‎∴f（1）＝f（4）＝42+1＝17，‎ f（3）＝32+1＝10，‎ ‎∴f（1）﹣f（3）＝17﹣10＝7．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．‎ ‎6.已知则下列命题成立的是 （ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用不等式的性质去判断和证明A，当判断B．利用函数图像判断C；利用幂函数f（x）＝x3的单调性判断D．．‎ ‎【详解】当c＝0时，ac2＝bc2＝0，所以A错误．‎ 当 则，所以B错误．‎ 在同一个坐标系画出的图像：‎ 易知所以C错误．‎ 因为函数 f（x）＝x3在定义域上单调递增，所以由a3＞b3得a＞b，又ab>0，所以a，b，同号，所以成立．所以D正确．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查不等关系以及不等式的性质，要求熟练掌握不等式的性质以及不等式成立的条件．‎ ‎7.若函数与分别是定义在上的奇函数和偶函数，且，则在区间上（ ）‎ A. 与都是递增函数 B. 与都是递减函数 C. 是递增函数，是递减函数 D. 是递减函数，是递增函数 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意列f（x），g（x）的方程组，求出解析式，再判断单调性即可 ‎【详解】根据题意，f（x）+g（x）＝2x，则f（-x）+g（-x）＝‎ 又由y＝f（x）与y＝g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，则-f（x）+g（x）＝可得：f（x） ‎ 易知f（x）增函数，‎ 又任取 则，因为则，故，即是递增函数 故选：A．‎ ‎【点睛】本题考查利用函数奇偶性求解析式，关键是构造方程组，属于基础题．‎ ‎8.已知函数是上的增函数，则实数的取值范围是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎∵函数f（x）=是R上的增函数，‎ ‎∴，‎ 解得：a∈[4，8），‎ 故选：D．‎ 点睛：本题主要考查函数单调性，考查分段函数连续单调的问题.分段函数有两段，第一段是指数函数，第二段是一次函数.对于一次函数，要单调递增就需要斜率大于零，对于指数函数，要单调递增就需要底数大于1.两段分别递增还不行，还需要在两段交接的地方，左边比右边小，这样才能满足在身上单调递增.‎ ‎9.已知函数是定义在上的偶函数, 且在区间单调递减. 若实数满足，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先判断为偶函数，不等式化为：，再由f（x）的单调性列出不等式，再解指数不等式求出x的取值范围．‎ ‎【详解】设，故为偶函数，所以 因为函数f（x）是定义在R上的偶函数，在区间[0，+∞）上单调递减，‎ 则化为，则 解得0＜x或-1x，则的取值范围是 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查函数的奇偶性、单调性的应用，以及对数函数的性质，属于中档题．‎ ‎10.已知函数，，若对于任一实数，与 的值至少有一个为正数，则实数的取值范围是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【详解】当时，显然成立 当时，显然不成立；‎ 当显然成立；‎ 当时，则两根为负，结论成立 故,故选C.‎ 第Ⅱ卷（非选择题　共70分）‎ 二、填空题：本大题共7小题，共24分.‎ ‎11.________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用分数指数幂运算求解即可 ‎【详解】‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查分数指数幂的运算，准确计算是关键，是基础题 ‎12.若，则_________；________．‎ ‎【答案】 (1). 24 (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用换元法求函数的解析式即可求解 ‎【详解】令，则 故，则24‎ 故答案为： 24 ； ‎ ‎【点睛】本题考查换元法求函数解析式，注意换元时新元的范围，是中档题 ‎13.已知，若，则_____.‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 令g（x）＝ax3﹣bx，根据奇函数的定义即可求出答案．‎ ‎【详解】令g（x）＝ax3+bx，则由奇函数的定义可得函数g（x）为R上的奇函数，‎ ‎∴由f（2019）＝g（2019）+2＝3得，g（2019）＝1，‎ ‎∴f（-2019）＝g（-2019）+2＝﹣g（2019）+2＝1．‎ 故答案为：1‎ ‎【点睛】本题考查了奇函数定义，构造奇函数是关键，是一道基础题．‎ ‎14.已知函数，把的图象向右平移一个单位，再向上平移一个单位，得到的图象，则的解析式为________；的递减区间为_______.‎ ‎【答案】 (1). (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数图象平移的知识，由得到g（x）的解析式；画出函数的图像即可求单调减区间 ‎【详解】∵函数，f（x）的图象向右平移一个单位，得到y的图象，再向上平移一个单位，得到再向上平移一个单位，得到=的图象；∴函数=,画出函数的图像如图：则的递减区间为 ‎【点睛】本题考查了函数图象平移的知识以及函数图像，考查利用图像求单调区间，是基础题．‎ ‎15.已知函数，则的值域为________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分段求值域，然后再综合即可得出f（x）的值域；‎ ‎【详解】则时， ‎ ‎，故的值域为 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查分段函数的值域，熟记分式函数与对勾函数性质是关键，同时也考查推理以及分析问题、解决问题的能力，‎ ‎16.已知函数，且，则的最小值为________；满足条件的所有的值为_________．‎ ‎【答案】 (1). 2 (2). 1或3‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 去绝对值得分段函数则最小值可求；利用函数为偶函数解方程即可 ‎【详解】，则最小值为 ‎ 函数即函数为偶函数  若,  则,或 即,或 解得,或 故答案为：2 ；1或3‎ ‎【点睛】本题考查分段函数的性质，考查函数奇偶性的应用，准确判断函数为偶函数是关键，是中档题 ‎17.已知函数，，对于任意的，总存在，使得成立，则实数的取值范围是_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出函数f（x）的值域A，设函数g（x）的值域为B，讨论m的取值，求出g（x）的值域，根据题意，有A⊆B，由数集的概念，求出m的取值范围．‎ ‎【详解】∵函数f（x）＝2x＝2（x+2）+2＝3，‎ ‎∴当x∈[﹣2，2]时，2≤f（x）≤3，‎ ‎∴f（x）的值域是[2，3]；‎ 又当x∈[﹣2，2]时，‎ ‎①若m＜﹣2，则g（x）＝x2﹣2mx+5m﹣2在[﹣2，2]上是增函数，最小值g（﹣2）＝9m+2，最大值g（2）＝m+2；‎ ‎∴g（x）的值域是[9m+2，m+2]，‎ ‎∴[2，3]⊆[9m+2，m+2]，‎ 即，解得﹣1≤m≤0，此时无解；‎ ‎②若m＞2，则g（x）＝x2﹣2mx+5m﹣2在[﹣2，2]上是减函数，最小值g（2）＝m+2，最大值g（﹣2）＝9m+2；‎ ‎∴g（x）的值域是[m+2，9m+2]，‎ ‎∴[2，3]⊆[m+2，9m+2]，‎ 即，解得m≤0，此时无解；‎ ‎③若﹣2≤m≤2，则g（x）＝x2﹣2mx+5m﹣2在[﹣2，2]上是先减后增的函数，‎ 最小值是g（m）＝﹣m2+5m﹣2，最大值是max{g（﹣2），g（2）}＝max{9m+2，3m+2}；‎ ‎∴当m≥0时，g（x）的值域是[﹣m2+5m﹣2，9m+2]，‎ ‎∴[2，3]⊆[﹣m2+5m﹣2，9m+2]，‎ 即，‎ 解得m≤1，或m≥4（不符合条件，舍去）；‎ 则取m≤1；‎ 当m＜0时，g（x）的值域是[﹣m2+5m﹣2，m+2]，‎ ‎∴[2，3]⊆[﹣m2+5m﹣2，m+2]，‎ 即；‎ 解得m＝1，或m≥4，不符合条件，舍去；‎ 综上知，实数m的取值范围是：[，1]．‎ 故答案为：[，1]．‎ ‎【点睛】本题考查了函数恒成立问题、不等式的解法等基础知识，考查了运算求解的能力以及化归与转化思想，是难题．‎ 三、解答题：本大题共5小题，共46分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎18.已知为正数.‎ ‎（1）当时，求的最大值；‎ ‎（2）当时，求的最小值.‎ ‎【答案】（1）最大值（2）最小值．.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用基本不等式求得xy的最大值．‎ ‎（2）变形为 利用“1”的代换求得最小值．‎ ‎【详解】（1）当且仅当x＝y＝时，等号成立．‎ ‎∴xy最大值为 ．‎ ‎（2）故，则当且仅当，即时取等号，‎ ‎∴最小值为．‎ ‎【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，注意基本不等式的使用条件，以及等号成立的条件，式子的变形是解题的关键，属于基础题．‎ ‎19.已知集合.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）已知集合，若，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）化简集合A、B，求出（2）化简集合C，知C⊆B ‎，由此列不等式求出a的取值范围．‎ ‎【详解】（1）因为A＝‎ B＝{x|－x≤2x﹣6≤x}＝{x|2≤x≤6}，‎ 所以 ‎（2）‎ 若，则 ‎ 当 ，满足题意 当，，则，即 当，，则，即 综上：实数的取值范围是 ‎【点睛】本题考查了集合的化简与运算问题，考查集合的包含关系求，考查含参二次不等式解法，准确分类是关键，是中档题．‎ ‎20.已知二次函数满足且.‎ ‎（1）求函数的解析式；‎ ‎（2）若且在上的最大值为8，求实数的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）或.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用二次函数列方程即可求解．‎ ‎（2）换元法转化为，利用定义域与对称轴的位置关系求最大值即可求解 ‎【详解】（1）二次函数f（x）＝ax2+bx+c（a≠0），‎ ‎∴对称轴x＝1，‎ ‎∵f（1）＝-4，∴a+b＝-3，‎ a＝3，b＝-6．c＝﹣1，‎ ‎∴，‎ ‎（2）∵x∈[，1]，t＝，则 当，故在先减后增，又 故最大值为=8，解得 同理当，故在上最大值为=8，解得 综上：或 ‎【点睛】本题综合考查了二次函数的性质，考查分类讨论求最值，注意换元后新元范围与对称轴远近的比较，属于综合题目，理解题意最关键．‎ ‎21.已知定义在上的奇函数，当时，.‎ ‎（1）求函数的解析式；‎ ‎（2）画出函数在上的图象；‎ ‎（3）解关于的不等式（其中）.‎ ‎【答案】（1）；（2）图象见解析；（3）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据函数奇偶性的对称性，即可求函数f（x）在R上的解析式；‎ ‎（2）由（1）画出函数f（x）的图象；‎ ‎（3）根据函数单调性，得x的一元二次不等式，分解因式，讨论两根大小解不等式即可；‎ ‎【详解】（1）设x＜0，﹣x＞0，则f（﹣x）＝‎ 又f（x）为奇函数，所以f（﹣x）＝﹣f（x），于是x＜0时f（x）＝，‎ 所以 ‎（2）‎ ‎（3）由（2）知f（x）在R上单调递减，‎ 故等价为 ‎ 当时，； ‎ 当时，；‎ 当时，；‎ 当时，；当时，或.‎ 综上：当时，不等式解集为； ‎ 当时，不等式解集为；‎ 当时，不等式解集；‎ 当时，不等式解集为；‎ 当时，不等式解集为.‎ ‎【点睛】本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，利用二次函数图象和性质是解决本题的关键．‎ ‎22.已知函数.‎ ‎（1）讨论的奇偶性；‎ ‎（2）当时，求在的值域；‎ ‎（3）若对任意，恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）当时，为奇函数，当时，为非奇非偶函数；（2）；（3）或.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）当a＝0时，利用定义判断f（x）为奇函数；当a≠0时，利用特值判断f（x）为非奇非偶函数；‎ ‎（2）将a＝4代入，分类讨论f（x）的取值范围，最后综合讨论结果，可得答案；‎ ‎（3）去绝对值，分离参数，转化为基本不等式求最值即可 ‎【详解】（1）当a＝0时，f（x）为奇函数；当a≠0时，f（x）为非奇非偶函数，理由如下：‎ 当a＝0时，函数f（﹣x）＝﹣x |x|＝﹣f（x），此时，f（x）为奇函数．‎ 当a≠0时，f（a）＝﹣a，f（﹣a）＝﹣2a|a|﹣a，f（a）≠f（﹣a），f（a）≠﹣f（﹣a），‎ 此时f（x）既不是奇函数，也不是偶函数．‎ ‎（2）当a＝4时，函数 当1≤x≤4时，f（x）＝4x﹣x2﹣4∈[﹣4，0]，‎ 当5≥x＞4时，f（x）＝x2-4x-4∈[﹣4，1]，‎ 综上，当a＝4时，求f（x）的值域为[﹣4，1]，‎ ‎（3）对任意的x∈[3,5],f(x)≥0恒成立转化为|x-a|≥在x∈[3,5]上恒成立.‎ 当a≤0时,显然不等式恒成立.‎ 当a>0时,|x-a|≥可化为x-a≥或x-a≤-,‎ 由x-a≥得a≤=x+1+-2,‎ 令g(x)=x+1+-2,则g(x)在x∈[3,5]上单调递增,所以g(x)≥4+-2=,故a≤;‎ 由x-a≤-得a≥=x-1++2,‎ 令h(x)=x-1++2,则h(x)在x∈[3,5]上单调递增,所以h(x)≤4++2=,故a≥.‎ 综上,实数a的取值范围为或.‎ ‎【点睛】本题考查的知识点是分段函数的应用，二次函数的图象和性质，函数的奇偶性，是函数图象和性质的综合应用，难度中档．‎ ‎ ‎