2017-2018学年黑龙江省牡丹江市第一高级中学高二10月月考数学（理）试题（解析版）

2017-2018学年黑龙江省牡丹江市第一高级中学高二10月月考数学（理）试题（解析版）

‎2017-2018学年黑龙江省牡丹江市第一高级中学高二10月月考数学（理）试题 一、单选题 ‎1．对抛物线，下列判断正确的是（ ）‎ A. 焦点坐标是 B. 焦点坐标是 C. 准线方程是 D. 准线方程是 ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：因为，所以，又焦点在轴上， 焦点坐标是，准线方程是，故选C.‎ ‎【考点】抛物线的方程及性质.‎ ‎2．已知点在椭圆上，则(　　)‎ A. 点不在椭圆上 B. 点不在椭圆上 C. 点在椭圆上 D. 无法判断点， ， 是否在椭圆上 ‎【答案】C ‎【解析】根据椭圆对称性知点， ， 皆在椭圆上,所以选C.‎ ‎3．如图，设P是圆上的动点，点D是P在x轴上的投影，M为PD上一点，且|MD|＝|PD|，当P在圆上运动时，则点M的轨迹C的方程是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】设,则 ,所以 ,选A.‎ ‎4．抛物线上到直线距离最近的点的坐标是（ ）‎ A. B. C. D. （2,4）‎ ‎【答案】A ‎【解析】抛物线上点到直线距离为 (当且仅当时取等号),所以到直线距离最近的点的坐标是 ,选A.‎ ‎5．设经过点的等轴双曲线的焦点为，此双曲线上一点满足，则的面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】设等轴双曲线方程为 ,因为过点,所以 ‎ 从而 ‎ ‎,选D.‎ ‎6．是圆内一定点， 是圆周上一个动点，线段 的垂直平分线与交于,则点的轨迹是（ ）‎ A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线 ‎【答案】B ‎【解析】 ,所以点E的轨迹是以O,A为焦点的椭圆,选B.‎ ‎7．抛物线上有， ， 三点， 是它的焦点，若成等差数列，则(　　)‎ A. 成等差数列 B. 成等差数列 C. 成等差数列 D. 成等差数列 ‎【答案】A ‎【解析】由成等差数列得 ,即成等差数列,选A.‎ 点睛：1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理． 2．若为抛物线上一点，由定义易得；若过焦点的弦 AB的端点坐标为，则弦长为可由根与系数的关系整体求出；若遇到其他标准方程，则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到．‎ ‎8．已知椭圆与双曲线有公共的焦点， 的一条渐近线与以的长轴为直径的圆相交于A，B两点，若恰好将线段AB三等分，则(　　)‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】取双曲线的一条渐近线 ，与椭圆在第一象限交点为，由题意得 ‎ ‎，选C.‎ ‎9．已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F恰好是双曲线的右焦点，且两曲线的交点连线过点F，则该双曲线的离心率为(　　)‎ A. B. C. 1＋ D. 1＋‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意可设两曲线的交点为在双曲线上，即 ‎ ‎，选C.‎ ‎10．设直线与抛物线相交于、两点，抛物线的焦点为，若，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】设 ，因为，所以由抛物线定义得 ‎ ‎，选B.‎ ‎11．下列命题正确的个数是（ ）‎ ‎（1）已知、，，则动点的轨迹是双曲线左边一支；‎ ‎（2）在平面直角坐标系内，到点(1,1)和直线x＋2y＝3的距离相等的点的轨迹是抛物线；‎ ‎（3）设定点，，动点满足条件，则点的轨迹是椭圆。‎ A. 0 个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 ‎【答案】A ‎【解析】 ,所以动点的轨迹是双曲线左边一支；到点(1,1)和直线x＋2y＝3的距离相等的点的轨迹是过点(1,1)且与直线x＋2y＝3垂直的直线；当时， ，此时轨迹为线段，因此选A.‎ 点睛：(1)对于圆锥曲线的定义不仅要熟记，还要深入理解细节部分：比如椭圆的定义中要求|PF1|＋|PF2|＞|F1F2|，双曲线的定义中要求||PF1|－|PF2||＜|F1F2|，抛物线定义中定点不在定直线上..(2)注意数形结合，画出合理草图.‎ ‎12．椭圆（）上存在一点满足， 为椭圆的左焦点， 为椭圆的右顶点，则椭圆的离心率的范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】设，则由得 ，因为 ‎，所以 ‎ ‎，选C.‎ 点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，而建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.‎ 二、填空题 ‎13．在平面直角坐标系中，方程所对应的图形经过伸缩变换后的图形所对应的方程是____________。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意得 ，即对应的方程是 ‎14．已知直线和双曲线的右支交于不同两点，则的取值范围是____‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由直线和双曲线联立方程组，消y得 ‎ 因为该方程有两个不等大于1的根，所以 ‎ 点睛：研究直线和圆锥曲线的交点个数问题，一般转化为研究其直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组解的个数. 利用韦达定理或求根公式进行转化，利用数形结合研究根的分布情况，若能用圆锥曲线的定义求解则更方便.‎ ‎15．直线与x，y轴交点的中点的轨迹方程是____________________‎ ‎【答案】x＋y＝1(x≠0，x≠1)‎ ‎【解析】直线＋＝1与x，y轴的交点为A(a,0)，B(0,2－a)，‎ 设AB的中点为M(x，y)，‎ 则x＝，y＝1－，‎ 消去a，得x＋y＝1．‎ ‎∵a≠0且a≠2，∴x≠0且x≠1．‎ ‎16．动点分别到两定点 连线的斜率之乘积为，设的轨迹为曲线， ， 分别为曲线的左右焦点，则下列命题中：‎ ‎（1）曲线的焦点坐标为， ;‎ ‎（2）若，则 ;‎ ‎（3）当时， 的内切圆圆心在直线上；‎ ‎（4）设，则的最小值为.‎ 其中正确命题的序号是__________．‎ ‎【答案】(1)(3)‎ ‎【解析】试题分析：由题意可得： ，化为．‎ ‎（1）由曲线C的标准方程可得，∴曲线C的焦点坐标为（-5，0）、（5，0），正确；‎ ‎（2）设， ；‎ ‎（3）设A为内切圆与x轴的切点，∵， ．设圆心P，则PO⊥x轴，从而可得圆心在直线x=-3上，因此正确；‎ ‎（4）不妨设点M在双曲线的右支上， ，当A、M、三点共线时， 的最小值为．因此不正确．‎ 综上可得：正确命题的序号是（1）（3）．‎ ‎【考点】双曲线的定义标准方程及其性质 三、解答题 ‎17．直角坐标系中，以为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆，直线的极坐 坐标方程分别为，求与的直角坐标方程。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：根据 将与的极坐标方程化为直角坐标方程即可 试题解析：因为所以 ‎18．已知双曲线C： 的离心率为，点(，0)是双曲线的一个顶点。‎ ‎(1)求双曲线的方程；‎ ‎(2)经过双曲线右焦点F2作倾斜角为30°的直线l，直线l与双曲线交于不同的A，B两点，求AB的长。‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）由椭圆过点(，0)得a，再由离心率求c，最后根据勾股数求b;（2）先根据点斜式写出直线l方程，再与双曲线联立方程组，消y得关于x的一元二次方程，结合韦达定理，利用弦长公式求AB的长 试题解析：（1）因为双曲线C： 的离心率为，点(‎ ‎，0)是双曲线的一个顶点，所以，即（2）经过双曲线右焦点F2作倾斜角为30°的直线l： 与双曲线联立方程组消y得 ，由弦长公式解得 ‎ 点睛：有关圆锥曲线弦长问题的求解方法 涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系，设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解.涉及中点弦问题往往利用点差法 ‎19．已知双曲线的渐近线方程为: ，右顶点为.‎ ‎（Ⅰ）求双曲线的方程；‎ ‎（Ⅱ）已知直线与双曲线交于不同的两点，且线段的中点为，当时，求的值。‎ ‎【答案】（1） （2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）由右顶点为得a，由渐近线方程解得b.（2）将直线方程与双曲线联立方程组，消y得关于x的一元二次方程，结合韦达定理，利用中点坐标公式求，代入直线方程得，最后求比值 试题解析：（1）因为双曲线的渐近线方程为: ，所以 ，又右顶点为，所以，即 （2）直线与双曲线联立方程组消y得 的值为 ‎20．已知抛物线的焦点为，抛物线上横坐标为的点到抛物线顶点的距离与该点到抛物线准线的距离相等。‎ ‎（1）求抛物线的方程；‎ ‎（2）设直线与抛物线交于两点，若，求实数的值。‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）将抛物线上点的横坐标代入方程，求其纵坐标。因为抛物线上横坐标为的点到抛物线顶点的距离与其到准线的距离相等，用坐标表示距离相等，整理得，进而求。（2）设， ，直线与抛物线方程联立消x得，得出。由，得，即，然后用坐标表示，可求的值。‎ 试题解析：（1）抛物线上横坐标为的点的坐标为，到抛物线顶点的距离的平方为，‎ ‎∵抛物线上横坐标为的点到抛物线顶点的距离与其到准线的距离相等，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 抛物线方程为： .‎ ‎（2）由题意，直线，代入得， ，‎ 设， ，则，‎ ‎∵，∴，即，‎ 可得： ，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 解得： .‎ ‎21．已知一个动圆与已知圆Q1：(x＋2)2＋y2＝外切，与圆Q2：(x－2)2＋y2＝内切，(1) 试求这个动圆圆心的轨迹方程；(2)设直线与（1）中动圆圆心轨迹交于A、B 两点，坐标原点O到直线的距离为，求△AOB面积的最大值。‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）由两圆位置关系得动圆圆心与Q1，Q2距离之和为定值，再根据椭圆定义确定轨迹为椭圆，最后根据定义中数值对应几何意义求a,b（2）先设直线方程y＝kx＋m，再根据O到直线的距离为得m2＝ (k2＋1)，由三角形面积公式知△AOB面积取最大值对应弦长AB取最大值，因此联立直线方程与椭圆方程，消y得关于x的一元二次方程，结合韦达定理，利用弦长公式求AB的长，最后根据基本不等式求弦长最值 试题解析：解：(1)设椭圆的半焦距为c，依题意有 所以c＝，b＝1.所以所求椭圆方程为＋y2＝1.‎ ‎(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)．‎ ‎①当AB⊥x轴时，|AB|＝.‎ ‎②当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y＝kx＋m.‎ 由已知＝，得m2＝ (k2＋1)．‎ 把y＝kx＋m代入椭圆方程，‎ 整理得(3k2＋1)x2＋6kmx＋3m2－3＝0，‎ 所以x1＋x2＝，x1x2＝.‎ 所以|AB|2＝(1＋k2)(x2－x1)2＝‎ ‎(1＋k2)＝‎ ‎＝＝‎ ‎3＋＝3＋ (k≠0)≤3＋＝4.‎ 当且仅当9k2＝，即k＝±时等号成立．‎ 此时Δ＝12(3k2＋1－m2)＞0，‎ 当k＝0或不存在时，|AB|＝，综上所述，|AB|max＝2.‎ 所以当|AB|最大时，△AOB面积取得最大值 S＝×|AB|max×＝.‎ ‎22．已知椭圆： 的焦点、在轴上，且椭圆经过，过点的直线与交于点，与抛物线： 交于、两点，当直线过时的周长为．‎ ‎（Ⅰ）求的值和的方程；‎ ‎（Ⅱ）以线段为直径的圆是否经过上一定点，若经过一定点求出定点坐标，否则说明理由。‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）由的周长为求得a,再根据椭圆经过求得m,（2）设直线方程 ，与抛物线方程联立方程组，消x得关于y的一元二次方程，结合韦达定理，化简以线段为直径的圆方程，按参数n整理，根据恒等式成立条件求出定点坐标 试题解析：（1）由的周长为得，即，因为椭圆经过，所以 ‎ ‎（2）设A，B坐标 ，则以线段为直径的圆方程为，‎ 再设直线方程 ，联立直线与抛物线方程，得 ‎ 代入得：‎ ‎ ‎ 因此 ‎，即以线段为直径的圆经过上一定点 点睛：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的.‎ ‎ 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.‎