2018-2019学年河北省武邑中学高二上学期期末考试数学（理）试题（解析版）

2018-2019学年河北省武邑中学高二上学期期末考试数学（理）试题（解析版）

‎2018-2019学年河北省武邑中学高二上学期期末考试数学（理）试题 一、单选题 ‎1．已知集合，，则( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】 ,所以，选C.‎ ‎2．若复数满足，其中为虚数单位， 表示复数的共轭复数，则 ( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】设， ，即，即，故选A.‎ ‎3．如图所示的长方形的长为2，宽为1，在长方形内撒一把豆子(豆子大小忽略不计)，然后统计知豆子的总数为粒，其中落在飞鸟图案中的豆子有粒，据此请你估计图中飞鸟图案的面积约为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】设飞鸟图案的面积为，那么，几，故选B.‎ ‎4．按照程序框图(如图)执行，第4个输出的数是（ ）‎ A．4 B．5‎ C．6 D．7‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据程序框图，模拟运算即可求出.‎ ‎【详解】‎ 第一次执行程序，输出1，，第二次执行程序，输出，，第三次执行程序，出，第四次执行程序，输出 ，故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了程序框图，循环结构，属于中档题.‎ ‎5．设，若，则 ( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】，所以原式等于 ‎ 而 ， ，又因为，所以，可求得 ，那么 ‎，那么，故选B.‎ ‎6．在三棱柱中，若，，，则　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据空间向量加法和减法的运算法则，求得的表达式.‎ ‎【详解】‎ 依题意 .故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查空间向量加法和减法的运算法则，属于基础题.‎ ‎7．已知三棱锥中， 与是边长为2的等边三角形且二面角为直二面角，则三棱锥的外接球的表面积为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】如图，取的中点，连接 ， ， ， ，连接，点是三棱锥的外接球的球心，因为棱长都是2，所以，所以在中， ，那么外接球的表面积是，故选D.‎ ‎【点睛】立体几何的外接球中处理时常用如下方法：1.‎ 结合条件与图形恰当分析取得球心位置；2.直接建系后，表示出球心坐标，转化为代数；3.化立体为平面，利用平面几何知识求解.‎ ‎8．执行如图所示的程序框图(其中表示等于除以10的余数)，则输出的为( )‎ A．2 B．4 C．6 D．8‎ ‎【答案】D ‎【解析】 时，第一次进入循环， 时，第二次进入循环， 时，第三次进入循环， ， 时，第四次进入循环， ，当时，第五次进入循环， 时，第六次进入循环， ，由此可知此循环的周期为6，当时，第2016次进入循环， ，所以此时，退出循环，输出的值等于8，故选D.‎ ‎9．某几何体是由一个三棱柱和一个三棱锥构成的，其三视图如图所示，则该几何体的体积为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】次三视图还原为如图几何体，长方体削下去等高的四棱锥，剩下一个三棱锥和一个三棱柱， ，故选A.‎ ‎10．已知双曲线， 是左焦点， ， 是右支上两个动点，则的最小值是( )‎ A．4 B．6 C．8 D．16‎ ‎【答案】C ‎【解析】 ，所以，当且仅当三点共线时等号成立，故选C.‎ ‎11．已知，，且.若恒成立，则的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意，利用基本不等式，可得的最小值为12，得到，即可求解实数的取值范围，得到答案。‎ ‎【详解】‎ 由题意，利用基本不等式，可得 ‎ ‎，当且仅当，时，取等号，‎ 得，解得或，故选C。‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了利用基本不等式求最值，以及不等式的恒成立问题的求解，其中解答中利用基本不等式求得 的最小值，合理转化恒成立问题是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题。‎ ‎12．已知且，若当时，不等式恒成立，则的最小值是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】原式等价于，两边取自然对数得 ，‎ 令 ，则时， ‎ 因为 ‎ 当时，即时， 单调递增，当时， 与矛盾；当时，即时，令，解得 ，‎ ‎ ， 单调递增， 时， 单调递减，‎ 若，即，当时， 单调递增， ，矛盾；‎ 若，即 ，当时， 递减， ，成立，‎ 综上， ，最小值为 ，故选A.‎ ‎【点睛】本题考查了利用导数研究不等式恒成立的问题，可以通过变形将不等式整理为需要研究的函数，比如本题设，讨论的取值范围，使函数满足，转化为求函数的单调性，根据单调性可求得函数的最值.‎ 二、填空题 ‎13．正三角形的边长为1， 是其重心，则________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】且两向量的夹角为，即 故填： ‎ ‎14．命题“当时，若，则”的逆命题是____．‎ ‎【答案】当时，若，则 ‎【解析】利用原命题与逆命题之间的关系转化即可。‎ ‎【详解】‎ 原命题为：“当时，若，则.”‎ 它的逆命题为：“当时，若，则.”‎ ‎【点睛】‎ 原命题：“若，则”；‎ 逆命题：“若，则”；实质是将原命题的条件和结论互相交换位置；‎ 否命题：“若非，则非”，或“若，则”；实质是将原命题的条件和结论两者分别否定；‎ 逆否命题：“若非，则非”，或“若，则”；实质是将原命题的条件和结论两者分别否定后再换位或将原命题的条件和结论换位后再分别否定。‎ ‎15．已知椭圆，和是椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于，两点，若的内切圆半径为，，，则椭圆离心率为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设周长为，则，又，则，又，则，故填：. ‎ ‎16．如图，在三棱锥，为等边三角形，为等腰直角三角形，，平面平面，为的中点，则异面直线与 所成角的余弦值为__________．‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，结合为等腰直角三角形，求得向量的坐标，利用向量的夹角公式，即可求解。‎ ‎【详解】‎ 取得中点，连接，，因为，所以.‎ 因为平面平面，平面平面.‎ 所以平面，又因为，所以，于是以为坐标原点，‎ 建立如图所示的空间直角坐标系，结合为等腰直角三角形，,为等边三角形，则，，，，‎ 所以，，‎ 所以 ，‎ 故异面直线与所成角的余弦值为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了利用空间向量求解异面直线所成的角，其中解答中根据几何体的结构特征，建立适当的空间直角坐标系，利用向量的夹角公式求解是解答此类问题的关键，着重考查了推理与运算能力。‎ 三、解答题 ‎17．已知数列是等差数列， ， ， .‎ ‎(1)求数列的通项公式；‎ ‎(2)若数列为递增数列，数列满足，求数列的前项和.‎ ‎【答案】(1) ；(2) .‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据等差数列的性质，可知，解出，得到数列的通项公式；（2）根据（1）可知，求得， ，采用错位相减法求和.‎ 试题解析：(1)由题意得，所以，‎ 时， ，公差，所以，‎ 时， ，公差，所以.‎ ‎(2)若数列为递增数列，则，‎ 所以， ，‎ ‎，‎ 所以 ，‎ ‎，‎ 所以 ‎，‎ 所以.‎ ‎18．为创建国家级文明城市，某城市号召出租车司机在高考期间至少参加一次“爱心送考”，该城市某出租车公司共200名司机，他们参加“爱心送考”的次数统计如图所示.‎ ‎(1)求该出租车公司的司机参加“爱心送考”的人均次数；‎ ‎(2)从这200名司机中任选两人，设这两人参加送考次数之差的绝对值为随机变量，求的分布列及数学期望.‎ ‎【答案】(1)2.3；(2)答案见解析.‎ ‎【解析】试题分析：（1）人均次数等于总的“爱心送考”次数/200；（2）该公司任选两名司机，记“这两人中一人参加1次，另一个参加2次送考”为事件，“这两人中一人参加2次，另一人参加3次送考”为事件，“这两人中一人参加1次，另一人参加3次送考”为事件，“这两人参加次数相同”为事件. ，根据事件列式求分布列和数学期望.‎ 试题解析：由图可知，参加送考次数为1次，2次，3次的司机人数分别为20，100，80.‎ ‎(1)该出租车公司司机参加送考的人均次数为：‎ ‎.‎ ‎(2)从该公司任选两名司机，记“这两人中一人参加1次，另一个参加2次送考”为事件，“这两人中一人参加2次，另一人参加3次送考”为事件，“这两人中一人参加1次，另一人参加3次送考”为事件，“这两人参加次数相同”为事件.‎ 则，‎ ‎，‎ ‎.‎ 的分布列：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ 的数学期望.‎ ‎19．已知函数的图象过点P（1,2），且在处取得极值 ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求函数的单调区间；‎ ‎（3）求函数在上的最值.‎ ‎【答案】（1）a="4," b=-3（2）单调增区间为，单调减区间为（3）最大值为6，最小值为 ‎【解析】试题分析：（1）本题运用待定系数法求函数解析式，但函数图象在x=处取得极值可得，通过解方程组可得到a、 b的值；（2）由导数性质求出f'（x）＞0和f'（x）＜0的x范围就是函数f（x）的单调区间；（3）由函数在区间[-1，1]上的单调性：f（x）在上是减函数，在上是增函数求出函数的最值 试题解析：（1） ∵函数f（x）=x3+ax2+bx（a,bR）的图象过点P（1，2）‎ ‎∴ f（1）=2 ∴ a+b=1 ‎ 又函数f（x）在x=处取得极值点 ‎∴（）=0 因（x）=3x2+2 ax+b ∴2a+3b="-1"‎ 解得 a="4," b="-3" ‎ 经检验 x=是f（x）极值点 ‎（2）由（1）得（x）=3x2+8x-3令（x） ＞0 ，得 x＜ -3或 x＞‎ 令（x） ＜0 ，得 -3＜ x ＜‎ 函数f（x）的单调增区间为（，-3）, （,），‎ 函数f（x）的单调减区间为（-3，）‎ ‎（3） 由（2）知，又函数f（x）在x=处取得极小值点f（）=f（-1）="6," f（1）="2"‎ 函数f（x）在[-1,1]上的最大值为6，最小值为 ‎【考点】1．函数解析式的求解及常用方法；2．函数的最值及其几何意义；3．利用导数研究函数单调性 ‎20．已知点在抛物线上，是抛物线上异于的两点，以为直径的圆过点.‎ ‎(1)证明：直线过定点；‎ ‎(2)过点作直线的垂线，求垂足的轨迹方程.‎ ‎【答案】（I）证明见解析；（II） ．‎ ‎【解析】试题分析：（1）代入点的坐标得到抛物线方程，设直线，与抛物线方程联立，得到根与系数的关系，利用，代入根与系数的关系，求得，代入直线方程，得到定点；（2）根据（1）可知，点的轨迹满足圆的方程，以为直径的圆去掉，写出圆的方程即可.‎ 试题解析：(1)点在抛物线上，代入得，所以抛物线的方程为，‎ 由题意知，直线的斜率存在，设直线的方程为，设，，‎ 联立得，得，，‎ 由于，所以，即，‎ 即.()‎ 又因为，，‎ 代入()式得，即，‎ 所以或，即或.‎ 当时，直线方程为，恒过定点，‎ 经验证，此时，符合题意；‎ 当时，直线方程为，恒过定点，不合题意，‎ 所以直线恒过定点.‎ ‎(2)由(1)，设直线恒过定点，则点的轨迹是以为直径的圆且去掉，方程为.‎ ‎21．如图，在五面体中，棱底面，.底面是菱形，.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）求二面角的余弦值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】分析：（Ⅰ）要证明，可证明，它可由证得.‎ ‎（Ⅱ）取的中点为，可证，，从而建立空间直角坐标系，分别求出平面和平面 的法向量，计算两个法向量夹角的余弦值则可得二面角的相应的余弦值.‎ 详解：（Ⅰ）在菱形中，，‎ ‎∵，，∴.‎ 又，面，∴.‎ ‎（Ⅱ）作的中点，则由题意知，‎ ‎∵，∴.‎ 如图，以点为原点，建立空间直角坐标系，‎ 设，则，，，，‎ ‎∴，，.‎ 设平面的一个法向量为，‎ 则由，，得，‎ 令，则，，即，‎ 同理，设平面的一个法向量为，‎ 由，，得，‎ 令，则，，即，‎ ‎∴，即二面角的余弦值为.‎ 点睛：立体几何中二面角的余弦值的计算可以用空间向量来计算，注意对建立空间直角坐标系的合理性的证明（即要有两两垂直且交于一点的三条直线）.‎ ‎22．已知椭圆过点,且离心率 ‎（1）求椭圆的标准方程 ‎（2）是否存在过点的直线交椭圆与不同的两点,且满足 (其中为坐标原点)。若存在,求出直线的方程；若不存在,请说明理由。‎ ‎【答案】（1）；（2）存在直线或满足题意.‎ ‎【解析】(1)根据已知得到关于a,b,c的方程组，解方程组即得解.(2)对直线l的斜率分类讨论，直线的斜率必存在,不妨设为，设直线的方程为,即，联立直线和椭圆的方程得到,得到，把韦达定理代入向量的数量积，得到k的值.即得直线的方程.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）∵椭圆过点,且离心率 ‎ ,解得,‎ ‎∴椭圆的方程为 ‎（2）假设存在过点的直线交椭圆于不同的两点,且满足 若直线的斜率不存在,且直线过点,则直线即为轴所在直线 ‎∴直线与椭圆的两不同交点就是椭圆短轴的端点,‎ ‎∴直线的斜率必存在,不妨设为,‎ ‎∴可设直线的方程为,即 联立,消得,‎ ‎∵直线与椭圆相交于不同的两点,‎ 得: 或①‎ 设,‎ ‎ ‎ 又,‎ 化简得,‎ 或,经检验均满足①式，‎ ‎∴直线的方程为: 或，‎ ‎∴存在直线或满足题意.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查椭圆的标准方程的求法，考查椭圆的简单几何性质，考查椭圆和直线的位置关系，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.‎ ‎23．如图，在四棱锥中，侧面底面，侧棱，底面为直角梯形，其中，，，为中点．‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求异面直线与所成角的余弦值；‎ ‎（3）求点到平面的距离．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）；（3）‎ ‎【解析】（1）根据等腰三角形的性质得到，根据面面垂直的性质定理证得平面.（2）连接，通过证明得到是异面直线与所成的角，解三角形求得所成角的余弦值.（3）在三棱锥中，利用等体积法建立方程，解方程求得点到平面的距离.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）在中，为中点，所以．‎ 又侧面底面，平面平面，平面，‎ 所以平面． ‎ ‎（2）连结，在直角梯形中，, ，有且，所以四边形是平行四边形，所以．‎ 由（1）知，为锐角，所以是异面直线与所成的角．‎ 因为，在中，，，所以，‎ 在中，因为，，所以，‎ 在中，，，‎ 所以异面直线与所成的角的余弦值为 ‎（3）由（2）得，在中，，‎ 所以，．又 设点到平面的距离，由 得，即，解得．‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查线面垂直的证明，考查线线角余弦值的求法，考查利用等体积法求点到面的距离.‎