【数学】2020届一轮复习人教A版第二章第6节对数与对数函数学案
第6节 对数与对数函数
最新考纲 1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用；2.理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点，会画底数为2，10，的对数函数的图象；3.体会对数函数是一类重要的函数模型；4.了解指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数.
知 识 梳 理
1.对数的概念
如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.
2.对数的性质、换底公式与运算性质
(1)对数的性质：①alogaN＝N；②logaab＝b(a>0，且a≠1).
(2)对数的运算法则
如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么
①loga(MN)＝logaM＋logaN；
②loga＝logaM－logaN；
③logaMn＝nlogaM(n∈R)；
④logamMn＝logaM(m，n∈R，且m≠0).
(3)换底公式：logbN＝(a，b均大于零且不等于1).
3.对数函数及其性质
(1)概念：函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞).
(2)对数函数的图象与性质
a>1
0
1时，y>0；
当01时，y<0；
当00
在(0，＋∞)上是增函数
在(0，＋∞)上是减函数
4.反函数
指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称.
[微点提醒]
1.换底公式的两个重要结论
(1)logab＝；(2)logambn＝logab.
其中a>0，且a≠1，b>0，且b≠1，m，n∈R.
2.在第一象限内，不同底的对数函数的图象从左到右底数逐渐增大.
3.对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a，1)，，函数图象只在第一、四象限.
基 础 自 测
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)log2x2＝2log2x.( )
(2)函数y＝log2(x＋1)是对数函数.( )
(3)函数y＝ln与y＝ln(1＋x)－ln(1－x)的定义域相同.( )
(4)当x>1时，若logax>logbx，则ab>c B.a>c>b
C.c>b>a D.c>a>b
解析 ∵01.
∴c>a>b.
答案 D
3.(必修1P74A7改编)函数y＝的定义域是________.
解析 由log(2x－1)≥0，得0<2x－1≤1.
∴0，且a≠1)的图象如图，则下列结论成立的是( )
A.a>1，c>1
B.a>1，01
D.00，即logac>0，所以00，且a≠
1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化.
【训练1】 (1)若lg 2，lg(2x＋1)，lg(2x＋5)成等差数列，则x的值等于( )
A.1 B.0或 C. D.log23
(2)(2019·成都七中检测)已知a>b>1，若logab＋logba＝，ab＝ba，则a＝________，b＝________.
解析 (1)由题意知lg 2＋lg(2x＋5)＝2lg(2x＋1)，
∴2(2x＋5)＝(2x＋1)2，(2x)2－9＝0，2x＝3，x＝log23.
(2)设logb a＝t，则t>1，因为t＋＝，
所以t＝2，则a＝b2.
又ab＝ba，所以b2b＝bb2，
即2b＝b2，又a>b>1，解得b＝2，a＝4.
答案 (1)D (2)4 2
考点二 对数函数的图象及应用
【例2】 (1)(2019·潍坊一模)若函数f(x)＝ax－a－x(a>0且a≠1)在R上为减函数，则函数y＝loga(|x|－1)的图象可以是( )
(2)当x∈(1，2)时，不等式(x－1)21时，y＝loga(x－1)的图象由y＝logax的图象向右平移一个单位得到.
因此选项D正确.
(2)由题意，易知a>1.
在同一坐标系内作出y＝(x－1)2，x∈(1，2)及y＝logax的图象.
若y＝logax过点(2，1)，得loga2＝1，所以a＝2.
根据题意，函数y＝logax，x∈(1，2)的图象恒在y＝(x－1)2，x∈(1，2)的上方.
结合图象，a的取值范围是(1，2].
答案 (1)D (2)C
规律方法 1.在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项.
2.一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解.
【训练2】 (1)已知函数f(x)＝loga(2x＋b－1)(a>0，a≠1)的图象如图所示，则a，b满足的关系是( )
A.01.函数图象与y轴的交点坐标为(0，logab)，由函数图象可知－1b>c B.b>a>c
C.c>b>a D.c>a>b
(2)若loga(a2＋1)1，b＝ln 2∈(0，1)，c＝log＝log23>log2e＝a>1，所以c>a>b.
法二 log＝log23，如图，在同一坐标系中作出函数y＝log2x，y＝ln x的图象，由图知c>a>b.
(2)由题意得a>0且a≠1，故必有a2＋1>2a，
又loga(a2＋1)1，∴a>.综上，a∈.
答案 (1)D (2)C
角度3 对数型函数性质的综合应用
【例3－3】 已知函数f(x)＝loga(3－ax).
(1)当x∈[0，2]时，函数f(x)恒有意义，求实数a的取值范围；
(2)是否存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由.
解 (1)∵a>0且a≠1，设t(x)＝3－ax，
则t(x)＝3－ax为减函数，
x∈[0，2]时，t(x)的最小值为3－2a，
当x∈[0，2]时，f(x)恒有意义，
即x∈[0，2]时，3－ax>0恒成立.
∴3－2a>0.∴a<.
又a>0且a≠1，∴a的取值范围是(0，1)∪.
(2)t(x)＝3－ax，∵a>0，
∴函数t(x)为减函数.
∵f(x)在区间[1，2]上为减函数，∴y＝logat为增函数，
∴a>1，x∈[1，2]时，t(x)最小值为3－2a，f(x)最大值为f(1)＝loga(3－a)，
∴即
故不存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1.
规律方法 1.确定函数的定义域，研究或利用函数的性质，都要在其定义域上进行.
2.如果需将函数解析式变形，一定要保证其等价性，否则结论错误.
3.在解决与对数函数相关的比较大小或解不等式问题时，要优先考虑利用对数函数的单调性来求解.在利用单调性时，一定要明确底数a的取值对函数增减性的影响，及真数必须为正的限制条件.
【训练3】 (1)(2016·全国Ⅰ卷)若a>b>0，0cb
(2)若函数f(x)＝loga(a>0，a≠1)在区间内恒有f(x)>0，则f(x)的单调递增区间为________.
解析 (1)由y＝xc与y＝cx的单调性知，C，D不正确；
∵y＝logcx是减函数，得logca0，所以a>1，所以函数y＝logaM为增函数，
又M＝－，因此M的单调递增区间为.
又x2＋x>0，所以x>0或x<－，
所以函数f(x)的单调递增区间为(0，＋∞).
答案 (1)B (2)(0，＋∞)
[思维升华]
1.对数值取正、负值的规律
当a>1且b>1或00；
当a>1且01时，logab<0.
2.利用单调性可解决比较大小、解不等式、求最值等问题，其基本方法是“同底法”，即把不同底的对数式化为同底的对数式，然后根据单调性来解决.
3.比较幂、对数大小有两种常用方法：(1)数形结合；(2)找中间量结合函数单调性.
4.多个对数函数图象比较底数大小的问题，可通过比较图象与直线y＝1交点的横坐标进行判定.
[易错防范]
1.在对数式中，真数必须是大于0的，所以对数函数y＝logax的定义域应为(0，＋∞).对数函数的单调性取决于底数a与1的大小关系，当底数a与1的大小关系不确定时，要分01两种情况讨论.
2.在运算性质logaMα＝αlogaM中，要特别注意条件，在无M>0的条件下应为logaMα＝αloga|M|(α∈N*，且α为偶数).
3.解决与对数函数有关的问题时需注意两点：(1)务必先研究函数的定义域；(2)注意对数底数的取值范围.
基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1.已知函数f(x)＝则f(2＋log23)的值为( )
A.24 B.16 C.12 D.8
解析 因为3<2＋log23<4，所以f(2＋log23)＝f(3＋log23)＝23＋log23＝8×2log23＝24.
答案 A
2.(2018·天津卷)已知a＝log3 ，b＝，c＝log ，则a，b，c的大小关系为( )
A.a>b>c B.b>a>c C.c>b>a D.c>a>b
解析 log ＝log3－15－1＝log35，因为函数y＝log3x在(0，＋∞)上为增函数，所以log35>log3 >log33＝1，因为函数y＝在(－∞，＋∞)上为减函数，所以<＝1，故c>a>b.
答案 D
3.(2018·张家界三模)在同一直角坐标系中，函数f(x)＝2－ax，g(x)＝loga(x＋2)(a>0，且a≠1)的图象大致为( )
解析 由题意，知函数f(x)＝2－ax(a>0，且a≠1)为单调递减函数，当02，且函数g(x)＝loga(x＋2)在(－2，＋∞)上为单调递减函数，C，D均不满足；当a>1时，函数f(x)＝2－ax的零点x＝<2，且x＝>0，又g(x)＝loga(x＋2)在(－2，＋∞)上是增函数，排除B，综上只有A满足.
答案 A
4.(2019·肇庆二模)已知f(x)＝lg(10＋x)＋lg(10－x)，则( )
A.f(x)是奇函数，且在(0，10)上是增函数
B.f(x)是偶函数，且在(0，10)上是增函数
C.f(x)是奇函数，且在(0，10)上是减函数
D.f(x)是偶函数，且在(0，10)上是减函数
解析 由得x∈(－10，10)，
且f(x)＝lg(100－x2).
∴f(x)是偶函数，
又t＝100－x2在(0，10)上单调递减，y＝lg t在(0，＋∞)上单调递增，故函数f(x)在(0，10)上单调递减.
答案 D
5.已知函数f(x)＝|ln x|，若f(m)＝f(n)(m>n>0)，则＋＝( )
A. B.1 C.2 D.4
解析 由f(m)＝f(n)，m>n>0，可知m>1>n>0，
∴ln m＝－ln n，则mn＝1.
所以＋＝＝＝2.
答案 C
二、填空题
6.lg＋2lg 2－＝________.
解析 lg＋2lg 2－＝lg＋lg 22－2
＝lg－2＝1－2＝－1.
答案 －1
7.(2019·昆明诊断)设f(x)＝lg是奇函数，则使f(x)<0的x的取值范围是________.
解析 由f(x)是奇函数可得a＝－1，
∴f(x)＝lg，定义域为(－1，1).
由f(x)<0，可得0<<1，∴－10时，f(2－a)＝－log2(1＋a)＝1.
解得a＝－，不合题意.
当2－a≥2，即a≤0时，f(2－a)＝2－a－1＝1，即2－a＝2，解得a＝－1，所以f(a)＝f(－1)＝－log24＝－2.
答案 －2
三、解答题
9.设f(x)＝loga(1＋x)＋loga(3－x)(a>0，a≠1)，且f(1)＝2.
(1)求a的值及f(x)的定义域；
(2)求f(x)在区间上的最大值.
解 (1)∵f(1)＝2，∴loga4＝2(a>0，a≠1)，∴a＝2.
由得－1＜x＜3，
∴函数f(x)的定义域为(－1，3).
(2)f(x)＝log2(1＋x)＋log2(3－x)
＝log2[(1＋x)(3－x)]＝log2[－(x－1)2＋4]，
∴当x∈[0，1]时，f(x)是增函数；
当x∈时，f(x)是减函数，
故函数f(x)在上的最大值是f(1)＝log24＝2.
10.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f(0)＝0，当x>0时，f(x)＝logx.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)解不等式f(x2－1)>－2.
解 (1)当x<0时，－x>0，则f(－x)＝log(－x).
因为函数f(x)是偶函数，所以f(－x)＝f(x)＝log(－x)，
所以函数f(x)的解析式为
f(x)＝
(2)因为f(4)＝log4＝－2，f(x)是偶函数，
所以不等式f(x2－1)>－2转化为f(|x2－1|)>f(4).
又因为函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数，
所以|x2－1|<4，解得－0且a≠1，函数f(x)＝loga(x＋)在区间(－∞，
＋∞)上既是奇函数又是增函数，则函数g(x)＝loga||x|－b|的图象是( )
解析 ∵函数f(x)＝loga(x＋)在区间(－∞，＋∞)上是奇函数，∴f(0)＝0，∴b＝1，又函数f(x)＝loga(x＋)在区间(－∞，＋∞)上是增函数，所以a>1.
所以g(x)＝loga||x|－1|，当x>1时，g(x)＝loga(x－1)为增函数，排除B，D；当01.
则x＝log2t＝，同理，y＝，z＝.
∴2x－3y＝－＝
＝>0，
∴2x>3y.
又∵2x－5z＝－＝＝<0，
∴2x<5z，∴3y<2x<5z.
答案 D
13.已知函数f(x)＝lg(mx2＋2mx＋1)，若f(x)的值域为R，则实数m的取值范围是________.
解析 令g(x)＝mx2＋2mx＋1值域为A，∵函数f(x)＝lg(mx2＋2mx＋1)的值域为R，∴(0，＋∞)⊆A，当m＝0时，g(x)＝1，f(x)的值域不是R，不满足条件；当m≠0时，解得m≥1.
答案 [1，＋∞)
14.已知函数f(x)＝ln.
(1)求函数f(x)的定义域，并判断函数f(x)的奇偶性；
(2)对于x∈[2，6]，f(x)＝ln>ln恒成立，求实数m的取值范围.
解 (1)由>0，解得x<－1或x>1，
∴函数f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，
当x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)时，
f(－x)＝ln＝ln＝ln＝－ln＝－f(x).
∴f(x)＝ln是奇函数.
(2)由于x∈[2，6]时，f(x)＝ln>ln恒成立，
∴>>0恒成立，
∵x∈[2，6]，∴0
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