山西省山西大学附属中学2020届高三上学期10月月考数学试题

山西省山西大学附属中学2020届高三上学期10月月考数学试题

山西大学附属中学 ‎2019~2020学年高三第一学期（总第二次）模块诊断 数学试题（理）‎ 一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）‎ ‎1.已知集合，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用一元二次不等式解出集合，利用补集的运算即可求出。‎ ‎【详解】由集合，解得：‎ ‎，‎ 故答案选C。‎ ‎【点睛】本题考查一元二次不等式的求解以及集合补集的运算，属于基础题。‎ ‎2.复数，其中为虚数单位，则的虚部为（ ）‎ A. B. 1 C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据复数共轭的概念得到，再由复数的除法运算得到结果即可.‎ ‎【详解】‎ 虚部为-1，‎ 故选A.‎ ‎【点睛】本题考查了复数的运算法则、复数的共轭复数等，考查了推理能力与计算能力，属于基础题,复数问题高考必考，常见考点有：点坐标和复数的对应关系，点的象限和复数的对应关系，复数的加减乘除运算，复数的模长的计算.‎ ‎3.已知向量,,则向量在向量方向上的投影为（ ）‎ A. B. C. －1 D. 1‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 本题可根据投影的向量定义式和两个向量的数量积公式来计算．‎ ‎【详解】由投影定义可知：‎ 向量在向量方向上的投影为：，‎ 又∵，‎ ‎∴．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题主要考查投影的向量定义以及根据两个向量的数量积公式来计算一个向量在另一个向量上的投影，本题属基础题．‎ ‎4.某工厂利用随机数表对生产的600个零件进行抽样测试，先将600个零件进行编号，编号分别为001，002，…，599，600从中抽取60个样本，如下提供随机数表的第4行到第6行：‎ ‎32 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 42‎ ‎84 42 12 53 31 34 57 86 07 36 25 30 07 32 86 23 45 78 89 07 23 68 96 08 04‎ ‎32 56 78 08 43 67 89 53 55 77 34 89 94 83 75 22 53 55 78 32 45 77 89 23 45‎ 若从表中第6行第6列开始向右依次读取3个数据，则得到的第6个样本编号（　　）‎ A. 522 B. 324 C. 535 D. 578‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据随机抽样的定义进行判断即可．‎ ‎【详解】第行第列开始的数为（不合适），，（不合适），，，，（不合适），（不合适），，（重复不合适），‎ 则满足条件的6个编号为，，，，，‎ 则第6个编号为 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题主要考查随机抽样的应用，根据定义选择满足条件的数据是解决本题的关键．‎ ‎5.函数的图像大致是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数特点，判断奇偶性，再通过函数在时的函数值，进行判断，得到答案.‎ ‎【详解】定义域为，，且 所以为上的奇函数，A、B排除.‎ 当时，分子、分母都为正数，故，排除D项.‎ 故选C项.‎ ‎【点睛】本题考查函数的图像与性质，通过排除法进行解题，属于简单题.‎ ‎6.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由三视图确定几何体形状，再由简单几何体的体积公式计算即可.‎ ‎【详解】由三视图可知，该几何体由半个圆锥与一个圆柱体拼接而成，所以该几何体的体积.故选C ‎【点睛】本题主要考查由几何体的三视图求简单组合体的体积问题，只需先由三视图确定几何体的形状，再根据体积公式即可求解，属于常考题型.‎ ‎7.已知，则（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 由题意可得：‎ 本题选择A选项.‎ ‎8.下列说法正确的是（ ）‎ A. 设是实数，若方程表示双曲线，则.‎ B. “为真命题”是“为真命题”的充分不必要条件.‎ C. 命题“，使得”的否定是：“，”.‎ D. 命题“若为的极值点，则”的逆命题是真命题.‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 逐一分析每一个命题的真假得解.‎ ‎【详解】A. 设是实数，若方程表示双曲线，则(m-1)(2-m)＜0，所以m＞2或m＜1,所以该命题是假命题；‎ B. “为真命题”则p真且q真，“为真命题”则p,q中至少有个命题为真命题，所以“为真命题”是“为真命题”的充分不必要条件.所以该命题是真命题；‎ C. 命题“，使得”的否定是：“，”.所以该命题是假命题；‎ D. 命题“若为的极值点，则”的逆命题是“则为的极值点”，如函数，，但是不是函数的极值点.‎ 所以该命题是假命题.‎ 故选：B ‎【点睛】本题主要考查双曲线的标准方程和复合命题的真假，考查充要条件和导数，考查特称命题的否定，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎9.已知排球发球考试规则：每位考生最多可发球三次，若发球成功，则停止发球，否则一直发到次结束为止．某考生一次发球成功的概率为，发球次数为，若的数学期望，则的取值范围为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，分别求出再根据离散型随机变量期望公式进行求解即可 ‎【详解】由题可知，，，则 解得，由可得，‎ 答案选A ‎【点睛】本题考查离散型随机变量期望的求解，易错点为第三次发球分为两种情况：三次都不成功、第三次成功 ‎10.已知函数，的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）‎ A. 的图象关于直线对称 B. 的图象关于点 对称 C. 将函数 的图象向左平移 个单位得到函数的图象 D. 若方程在上有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由函数的图象的顶点坐标求出，由周期求出，由五点法作图象求出得值，可得函数的解析式，再结合正弦函数的图象与性质，得出结论.‎ ‎【详解】由函数的图象可得，求得， ‎ 由五点法作图可得，求得，所以，‎ 当时，，不是最值，故A不成立；‎ 当时，，不是函数的对称中心，故B不成立；‎ 将函数的图象向左平移个单位得到函数 的图象，故C不成立；‎ 当时，，‎ 因为，‎ 故方程在上两个不相等实数根时，则的取值范围是，所以D成立，故选D.‎ ‎【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质，及由三角函数的部分图象求解函数的解析式，其中确定三角函数中的参数的方法：（1） 主要是根据图象的最高点或最低点的纵坐标确定；（2）的值主要由周期的值确定，而的值的确定主要是根据图象的零点与最值点的横坐标确定；（3）值的确定主要是由图象的特殊点的坐标确定，着重考查了推理与运算能力.‎ ‎11.已知，若方程有唯一解，则实数的取值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，先表示出当的表达式，再根据表达式画出对应图像，若要使方程有唯一解，即等价于函数与函数有唯一的一个交点，采用数形结合进行求解即可.‎ ‎【详解】令，则，，所以，‎ 作出图像，如图所示，‎ 方程有唯一解，即等价于有唯一的一个交点，，恒过，又因为，，，当与曲线相切时，也满足条件，令，，解得，（舍去），‎ 所以当方程有唯一解，则实数的取值范围是.‎ 答案选D ‎【点睛】本题考查函数解析式的求法、函数的图像、方程的解与函数图像的关系，需要结合基本运算能力，推理能力，数形结合思想，转化与化归思想，对考生核心的数学素养要求较高.‎ ‎12.已知，若点是抛物线上任意一点，点是圆上任意一点，则的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设点，要使的值最小，则的值要最大，即点到圆心的距离加上圆的半径为的最大值，然后表示出关于的方程，利用基本不等式即可求出的最小值。‎ ‎【详解】设点，由于点是抛物线上任意一点，则，‎ 点，则，‎ 由于点是圆上任意一点，所以要使的值最小，则的值要最大，即点到圆心的距离加上圆的半径为的最大值，则 ，‎ ‎，‎ ‎ ，经检验满足条件，‎ 的最小值为，‎ 故答案选A。‎ ‎【点睛】本题考查圆与抛物线的综合应用，以及基本不等式求最值问题，属于中档题。‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.若曲线在点处的切线与直线垂直，则__．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出函数的导数，求得切点处的切线的斜率，再由两直线垂直的条件可得斜率为3，即可解得m的值 ‎【详解】f(x)=aex+e−x 在的导数为 f′(x)=aex−e−x ，即有 f(x) 在 x=0 处的切线斜率为 k=a−1 ，‎ 由在 x=0 处的切线与直线 x+3y=0 垂直，得 a−1=3 ，‎ 所以 ‎ ‎【点睛】本题考查导数的几何意义、两直线垂直的基本条件，正确求导是前提，注意复合函数的求导不要遗忘内层函数的导数 ‎14.已知，且，则的最小值为_______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 画出约束条件所表示的可行域，结合图像确定目标函数的最优解，代入即可求解。‎ ‎【详解】画出约束条件所表示的可行域，如图（阴影部分）所示：‎ 则目标函数所表示的直线过点时，取最小值，‎ 又 ，解得 ‎，‎ 故答案为-4。‎ ‎【点睛】本题考查简单线性规划求最值问题，画出不等式组表示的可行域，利用：一画、二移、三求，确定目标函数的最优解，着重考查数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题 ‎15.已知，则_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过给赋值，分别令，即可求得答案 ‎【详解】由题可知当时，‎ 解得 当时，，即 所以 答案为-2‎ ‎【点睛】本题考查二项式展开式中，项的系数相关和的求解问题，一般处理此类题型的常规思路为给赋值，分别令，等，可快速求解 ‎16.已知三棱锥的四个顶点都在半径为的球面上，，则该三棱锥体积的最大值是__．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 结合球体，画出具体的几何体图像，设，则，外接圆的半径为，表示出三棱锥的高为，表示出三棱锥的体积公式，结合基本不等式，换元法，导数即可求得答案 ‎【详解】‎ 如图所示，设，则，外接圆的半径为 则三棱锥的高为，三棱锥的体积公式为，‎ 设，则，，‎ 令，解得，在单增，单减，‎ ‎，‎ 所以三棱锥体积最大值为 ‎【点睛】本题考查球体的内接三棱锥最大体积的求法，综合性强，结合了基本不等式、换元法、导数求导方法，对思维转化能力，运算能力要求较高 三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17.已知等比数列的前项和为成等差数列，且.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若，求数列的前项和.‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据等比数列的性质以及等差中项可求得公比，代入中，求出q，即可求得数列的通项公式；‎ ‎（2）把数列的通项公式代入中化简，代入求得，再利用裂项相消求得。‎ ‎【详解】（1）设等比数列的公比为，‎ 由成等差数列知，，‎ 所以，即.‎ 又，所以，所以，‎ 所以等差数列的通项公式.‎ ‎（2）由（1）知 ，‎ 所以 所以数列的前 项和：‎ 所以数列的前项和 ‎【点睛】本题考查数列的知识，掌握等差等比数列的性质、通项是解题的关键，同时也需要掌握好数列求和的方法：分组求和、裂项相消、错位相减等，属于中档题。‎ ‎18.已知三棱锥中，为等腰直角三角形，，设点为中点，点为中点，点为上一点，且．‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）若，求直线与平面所成角的正弦值．‎ ‎【答案】(1)证明见解析；(2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）连接交于点，连接，通过证，并说明平面，来证明平面 ‎（2）采用建系法以、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，分别表示出对应的点坐标，设平面的一个法向量为，结合直线对应的和法向量，利用向量夹角的余弦公式进行求解即可 ‎【详解】证明：如图，‎ 连接交于点，连接，点为的中点，点为的中点，‎ 点为的重心，则，，，‎ 又平面，平面，平面；‎ ‎，，，，‎ ‎，，可得，又，‎ 则以、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，‎ 则，，，， ‎ ‎，，．‎ 设平面的一个法向量为，由，‎ 取，得．设直线与平面所成角为，‎ 则．直线与平面所成角的正弦值为．‎ ‎【点睛】本题考查线面平行的判定定理的使用，利用建系法来求解线面夹角问题，整体难度不大，本题中的线面夹角的正弦值公式使用广泛，需要识记 ‎19.已知椭圆的左右焦点分别为，离心率为，是椭圆上的一个动点，且面积的最大值为.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设直线斜率为，且与椭圆的另一个交点为，是否存在点，使得若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】(1) (2)见解析 ‎【解析】‎ 分析】‎ ‎（1）由题可得当为的短轴顶点时，的面积有最大值，根据椭圆的性质得到、、的方程，解方程即可得到椭圆的方程；‎ ‎（2）设出直线的方程，与椭圆方程联立消去，得到关于的一元二次方程，表示出根与系数的关系，即可得到的中点坐标，要使，则直线为线段的垂直平分线，利用直线垂直的关系即可得到关于的式子，再利用基本不等式即可求出的取值范围。‎ ‎【详解】解（1）当为的短轴顶点时，的面积有最大值 所以，解得，故椭圆的方程为：.‎ ‎（2）设直线的方程为，‎ 将代入，得；‎ 设，线段的中点为，‎ ‎，‎ 即 因为，所以直线为线段的垂直平分线，‎ 所以，则，即，‎ 所以，‎ 当时，因为，所以，‎ 当时，因为，所以.‎ 综上，存在点，使得，且的取值范围为.‎ ‎【点睛】本题考查椭圆的标准方程的求法，考查满足条件的点是否存在的判断以及基本不等式在解析几何中的应用，综合性强，难度大，具有一定的探索性。‎ ‎20.十九大以来，某贫困地区扶贫办积极贯彻落实国家精准扶贫的政策要求，带领广大农村地区人民群众脱贫奔小康。经过不懈的奋力拼搏，新农村建设取得巨大进步，农民年收入也逐年增加。为了更好的制定2019年关于加快提升农民年收人力争早日脱贫的工作计划，该地扶贫办统计了2018年位农民的年收人并制成如下频率分布直方图：‎ ‎（1）根据频率分布直方图，估计位农民的年平均收入（单位：千元）（同一组数据用该组数据区间的中点值表示）；‎ ‎（2）由频率分布直方图，可以认为该贫困地区农民年收入服从正态分布，其中近似为年平均收入，近似为样本方差，经计算得.利用该正态分布，求:‎ ‎(i)在2019年脱贫攻坚工作中，若使该地区约有占总农民人数的的农民的年收入高于扶贫办制定的最低年收入标准，则最低年收入大约为多少千元？‎ ‎（ii）为了调研“精准扶贫，不落一人”的政策要求落实情况，扶贫办随机走访了位农民。若每个农民的年收人相互独立，问：这位农民中的年收入不少于千元的人数最有可能是多少？‎ 附：参考数据与公式 则①；②；③.‎ ‎【答案】(1)17.40千元 (2)(i)千元（ii）978‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）取出每一组数据中间值，充当，利用公式进行求解即可 ‎（2）根据正态分布特征值，结合附表所给内容，可判断，再计算出对应的值即可 ‎（3）由题中位农民中年收入不少于千元，即，记个农民的年收入不少于千元的人数为，则，再根据二项分布的概率公式，结合“精准扶贫，不落一人”的特点来进行判断即可 ‎【详解】解：千元.‎ 由题意，.‎ ‎（i）时，满足题意即最低年收入大约为千元 ‎（ii）由，得 每个农民的年收入不少于千元的事件概率为，‎ 记个农民的年收入不少于千元的人数为，则，其中，‎ 于是恰好有个农民的年收入不少于千元的事件概率是 从而由，得 ‎ 而，所以，当时， ‎ 当时， ‎ 由此可知，在所走访的位农民中，年收入不少于千元的人数最有可能是 ‎【点睛】本题考查频率分布直方图中平均数的求法，正态分布曲线的特点及其意义，二项分布及其概率的求法，正确理解题意，将文字转化为数学表达式是关键 ‎21.已知函数(其中e是自然对数的底数，k∈R)．‎ ‎(1)讨论函数的单调性；‎ ‎(2)当函数有两个零点时，证明：．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）见解析.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：‎ 本题考查导数与函数单调性的关系以及用导数证明不等式的问题。（1）求导数后，根据导函数的符号判断出函数的单调性。（2）根据题意将证明的问题转化为证明，即证，构造函数，‎ 利用函数的单调性证明即可。‎ 试题解析：‎ ‎（1）解：∵‎ ‎∴。‎ ‎①当时，令，解得，‎ ‎∴当时，，单调递减；‎ 当时，，单调递增。‎ ‎②当时，恒成立，‎ ‎∴函数在R上单调递增. ‎ 综上，当时，在上单调递减，在上单调递增。‎ 当时，在R上单调递增.‎ ‎（2）证明：当时，由（1）知函数单调递增，不存在两个零点。‎ 所以。‎ 设函数的两个零点为，‎ 则，‎ 设，‎ 解得，‎ 所以，‎ 要证，‎ 只需证，‎ 设 设单调递增，‎ 所以，‎ 所以在区间上单调递增，‎ 所以，‎ 故．‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22.在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线：，曲线：.‎ ‎（1）求与交点的直角坐标；‎ ‎（2）若直线与曲线，分别相交于异于原点点，，求的最大值.‎ ‎【答案】(1) ，.(2)2.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)先求出与的直角坐标方程，再解方程组求交点坐标得解；（2）不妨设，点，的极坐标分别为，，得到，再利用三角函数的性质求出的最大值.‎ ‎【详解】（1）曲线的直角坐标方程为，‎ 曲线的直角坐标方程为.‎ 由解得或，‎ 故与交点的直角坐标为，.‎ ‎（2）不妨设，点，的极坐标分别为，，‎ 所以 ‎，‎ 所以的最大值2.‎ ‎【点睛】本题主要考查极坐标和直角坐标的互化，考查极坐标下两点间的距离的求法和最值的求解，考查三角恒等变换和三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎23.已知函数.‎ ‎（1）若，求不等式的解集；‎ ‎（2）已知，若对于任意恒成立，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）或；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）时，分类讨论，去掉绝对值，分类讨论解不等式.‎ ‎（2）时，分类讨论去绝对值，得到解析式，由函数的单调性可得的最小值，通过恒成立问题，得到关于的不等式，得到的取值范围.‎ ‎【详解】（1）因为，所以，‎ 所以不等式等价于或或，‎ 解得或.‎ 所以不等式的解集为或.‎ ‎（2）因为，所以，‎ 根据函数的单调性可知函数的最小值为，‎ 因为恒成立，所以，解得.‎ 所以实数的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题考查分类讨论去绝对值，分段函数求最值，不等式恒成立问题，属于中档题.‎