2020届陕西省西安中学高三上学期期末考试数学（理）试题

2020届陕西省西安中学高三上学期期末考试数学（理）试题

西安中学2019-2020学年度第一学期期末考试 高三数学（理科）‎ 第Ⅰ卷(选择题 共60分)‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．集合，则 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．设复数满足（其中为虚数单位），则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．已知命题若，则；命题、是直线，为平面，若//,，则//.下列命题为真命题的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．已知为数列的前项和，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．如图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额（单位：亿元）的折线图．‎ 则下列结论中表述不正确的是（ ）‎ A. 从2000年至2016年，该地区环境基础 设施投资额逐年增加；‎ B. ‎2011年该地区环境基础设施的投资额比 ‎2000年至2004年的投资总额还多；‎ C. ‎2012年该地区基础设施的投资额比2004年的投资额翻了两番 ； ‎ D. 为了预测该地区2019年的环境基础设施投资额，根据2010年至2016年的数据（时间变量t的值依次为）建立投资额y与时间t的线性回归模型，根据该模型预测该地区2019的环境基础设施投资额为256.5亿元.‎ ‎6．已知直线是函数图象的一条对称轴，为了得到函数的图象，可把函数的图象（ ）‎ A．向左平行移动个单位长度 B．向右平行移动个单位长度 C．向左平行移动个单位长度 D．向右平行移动个单位长度 ‎7．函数的图象大致为（ ）‎ ‎8．若，，，则的大小关系为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．若点在抛物线上，记抛物线的焦点为，直线与抛物线的另一交点为B，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．已知在区间上，函数与函数的图象交于点P，设点P在x轴上的射影为，的横坐标为，则的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”，已知是一对相关曲线的焦点，是椭圆和双曲线在第一象限的交点，当时，这一对相关曲线中双曲线的离心率是（ ）‎ A． B． C． D．2‎ ‎12．已知函数(e为自然对数底数)，若关于的不等式 有且只有一个正整数解，则实数m的最大值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ 第Ⅱ卷(非选择题 共90分)‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．‎ ‎13．已知为互相垂直的单位向量，若，则．‎ ‎14．已知函数，若，则实数的取值范围是．‎ ‎15．数列是等差数列，，公差d∈[1，2]，且，则实数的最大值为．‎ ‎16．已知矩形，，，将沿对角线进行翻折，得到三棱锥，则在翻折的过程中，有下列结论正确的有．‎ ‎①三棱锥的体积的最大值为；‎ ‎②三棱锥的外接球体积不变；‎ ‎③三棱锥的体积最大值时，二面角的大小是；‎ ‎④异面直线与所成角的最大值为．‎ 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．‎ ‎（一）必考题：共60分．‎ ‎17．（本小题满分12分）‎ 在△中，内角,,的对边分别为，，，已知．‎ ‎（Ⅰ）求角；‎ ‎（Ⅱ）若，求的最小值．‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ ‎《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民月收入总额（工资、薪金等）不超过免征额的部分不必纳税，超过免征额的部分为全月应纳税所得额，个人所得税税款按税率表分段累计计算。为了给公民合理减负，稳步提升公民的收入水平，自‎2018年10月1日起，个人所得税免征额和税率进行了调整，调整前后的个人所得税税率表如下：‎ 个人所得税税率表（调整前）‎ 个人所得税税率表（调整后）‎ 免征额3500元 免征额5000元 级数 全月应纳税所得额 税率 级数 全月应纳税所得额 税率 ‎1‎ 不超过1500元的部分 ‎3%‎ ‎1‎ 不超过3000元的部分 ‎3%‎ ‎2‎ 超过1500元至4500元的部分 ‎10%‎ ‎2‎ 超过3000元至12000元的部分 ‎10%‎ ‎3‎ 超过4500元至9000元的部分 ‎20%‎ ‎3‎ 超过12000元至25000元的部分 ‎20%‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎（Ⅰ）已知小李2018年9月份上交的税费是295元，10月份月工资、薪金等税前收入与9月份相同，请帮小李计算一下税率调整后小李10月份的税后实际收入是多少？‎ ‎（Ⅱ）税务部门在小李所在公司用分层抽样方法抽取某月100位不同层次员工的税前收入，并制成下面的频率分布直方图。‎ ‎(ⅰ)请根据频率分布直方图估计该公司员工税前收入的中位数； ‎ ‎(ⅱ)同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表，按调整后税率表，试估计小李所在的公司员工该月平均纳税多少元？‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ 如图，在底面为矩形的四棱锥中，平面平面．‎ ‎（Ⅰ）证明：；‎ ‎（Ⅱ）若，设为中点，求直线与平面所成角的余弦值．‎ ‎20．（本小题满分12分）‎ 已知椭圆：的离心率为，以椭圆的长轴和短轴为对角线的四边形的面积为．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）若直线与椭圆相交于，两点，设为椭圆上一动点，且满足（为坐标原点）．当时，求的最小值．‎ ‎21．（本小题满分12分）‎ 已知函数（为常数）在区间内有两个极值点．‎ ‎（Ⅰ）求实数的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）求证：．‎ ‎（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答．如果多做，那么按所做的第一题计分．‎ ‎22．（本小题满分10分）[选修4—4：坐标系与参数方程]‎ 已知在平面直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数）．以原点为极点，轴的非负半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系．‎ ‎（Ⅰ）求圆的普通方程及其极坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）设直线的极坐标方程为，射线与圆的交点为（异于极点），与直线的交点为，求线段的长．‎ ‎23．（本小题满分10分）[选修4—5：不等式选讲]‎ 已知函数，‎ ‎（Ⅰ）当a=2时，求不等式的解集；‎ ‎（Ⅱ）当时不等式恒成立，求的取值范围 西安中学高2020届高三期末考试 数 学（理科）参考答案 一、选择题:‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 C B B A D C A A D B A C 二、填空题：‎ ‎13． 14． 15． 16．②④‎ 三、解答题:‎ ‎17．解：（Ⅰ）∵△中，，‎ ‎∴由正弦定理知，，…………2分 ‎∵∴，‎ ‎∴，…………4分 ‎∴，‎ ‎∴，∴．…………6分 ‎（Ⅱ）∵∴，得…………8分 所以 当且仅当时取等号…………11分 所以的最小值为…………12分 ‎18．解：（Ⅰ）设小李9月份的税前收入为元，因为 所以按调整起征点前应缴纳个税为：，‎ 解得…………2分 按调整起征点后应缴纳个税为：‎ 调整后小李的实际收入是（元）…………4分 ‎（Ⅱ）（ⅰ）由柱状图知，中位数落在第二组，不妨设中位数为千元，‎ 则有，解得（千元）‎ 估计该公司员工收入的中位数为千元. …………8分 ‎（ⅱ）按调整起征点后该公司员工当月所交的平均个税为 ‎（元）‎ 估计小李所在的公司员工平均纳税元…………12分 19． 解：（Ⅰ）依题意，平面平面，…………………1分 平面，平面平面，…………………2分 平面，又平面……………4分 ‎…………5分 ‎（Ⅱ）在中，取中点，连接，平面，以为坐标原点，分别以为轴，过点且平行于的直线为轴，所在的直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系．……………………6分 设，，．‎ ‎，‎ ‎………………………8分 设平面的法向量为，‎ 则，‎ 取，得 ……………9分 设直线与平面所成角为，则……10分 因为，‎ 所以直线与平面所成角的余弦值为．…………………12分 19． 解：（Ⅰ）依题意得，．以椭圆的长轴和短轴为对角线的四边形的面积为，则， 解得，． ‎ 所以椭圆的方程为． ……………………4分 ‎（Ⅱ）设，两点的坐标分别为，，‎ 联立方程得，，‎ ‎…………………………6分 ‎，， …………………………7分 因为，即，所以．‎ 所以点，又点在椭圆C上，所以有，‎ 化简得，‎ 所以，化简，因为，所以， ………………………………9分 因为，‎ 又，，所以．‎ 令，则．…………………11分 当时，取得最小值，最小值为． ………………………12分 21． 解：（Ⅰ）解法一：‎ 由，可得·····························1分 由题意，则，设．‎ 由题意，知是在上的两个零点．‎ 当时，，则在上递增，至多有一个零点，不合题意；………2分 当时，由，得，………………………3分 ‎（i）若且，即时，在上递减，递增；‎ 若，即时，至多有一个零点，不合题意，舍去；‎ 若，即时，又，‎ 从而，在和上各有一个零点．‎ 所以时，在上存在两个零点．…………………4分 ‎（ii）若，即时，在上单调递减，至多有一个零点，舍去…………5分 ‎（iii）若且，即时，在上有一个零点，在 上没有零点，舍去．‎ 综上可得，实数的取值范围是．…………………………6分 解法二：由，可得……………1分 由题意，则，由题意知是在上的两个零点．‎ 由，得，………………………………2分 从而只需直线与函数的图象在有两个交点．…………3分 由得在区间内单调递减，在区间内单调递增，‎ 所以．…………………………4分 且时，．………………………5分 所以实数的取值范围是．…………………………………………6分 ‎（Ⅱ）解法一：令………………7分 则，‎ 所以在上递增，…………………………………………………8分 ‎…………………………10分 而，且在递增；‎ ‎………………………………………………………11分 ‎，命题得证．………………………12分 解法二：由（1）有 ‎…………7分 则证明 ①………8分 下证①式成立，由，得，‎ 令，则……………………………9分 易知，从而①式………10分 又令，即证对成立．．‎ 设，则，…………………………11分 从而．即，，即 从而①式成立．，命题得证．…………………………12分 21． 解：（Ⅰ）由……………1分 平方相加，得：，所以圆的普通方程为：……2分 又………………………………………3分 ‎………………………………………4分 化简得圆的极坐标方程为：．…………………………………5分 ‎（Ⅱ）把代入圆的极坐标方程可得：…………7分 把代入直线的极坐标方程可得：……………9分 所以线段的长…………………………………10分 22． 证明：‎ ‎（Ⅰ）①当时，，解得，………1分 ‎②当时，，解得 ‎………………2分 ‎③当时，解得，……………3分 综上知，不等式的解集为.………………5分 ‎（Ⅱ）解法1：‎ 当时，，…………6分 设，则，恒成立，‎ 只需， …………8分 即，解得…………10分 解法2：‎ 当时，，…………6分 ‎，即，即…………7分 ‎①当时，上式恒成立，；…………8分 ‎②当时，得恒成立，‎ 只需，‎ 综上知，． …………10分