专题67+抛物线（检测）-2019年高考数学（理）名师揭秘之一轮总复习

专题67+抛物线（检测）-2019年高考数学（理）名师揭秘之一轮总复习

‎【学习目标】‎ ‎1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质.‎ ‎2.理解数形结合的思想；掌握代数知识、平面几何知识在解析几何中的作用.‎ ‎3.了解抛物线的实际背景及抛物线的简单应用.‎ ‎【高考模拟】一、单选题 ‎1．如图，过抛物线的焦点作直线交抛物线于、两点，若，则的大小为（ ）‎ A． 15° B． 30° C． 45° D． 不确定 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 画出图形，利用抛物线的简单几何性质转化求解即可．‎ ‎【详解】‎ 故答案为：B ‎【点睛】‎ ‎（1）本题主要考查抛物线的简单几何性质，考查平面几何知识，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题的关键是证明MC平行于x轴，且MF⊥AB.‎ ‎2．已知椭圆与抛物线有相同的焦点为原点，点是抛物线准线上一动点，点在抛物线上，且，则的最小值为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 易知抛物线方程为，利用抛物线定义确定出A点坐标，求出A关于准线的对称点B，则，利用三点共线即可求出最值.‎ ‎【详解】‎ 由题意，椭圆，即，则椭圆的焦点为，不妨取焦点抛物线，抛物线的焦点坐标为，椭圆与抛物线有相同的焦点，，即，则抛物线方程为，准线方程为，，由抛物线的定义得：到准线的距离为，即点的纵坐标，‎ 又点在抛物线上，，不妨取点坐标，关于准线的对称点的坐标为，则，‎ 即三点共线时，有最小值，最小值为，故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了椭圆的标准方程，抛物线的标准方程，抛物线的定义及利用三点共线求两线段和的最小值，属于难题. ‎ ‎3．顶点在原点，且过点的抛物线的标准方程是（ ）‎ A． B． C． 或 D． 或 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 依题意，设抛物线的标准方程为（）或（），将点的坐标代入抛物线的标准方程，求得即可．‎ ‎【详解】‎ ‎【点睛】‎ 本题考查抛物线的标准方程，得到所求抛物线标准方程的类型是关键，考查待定系数法，属于中档题．‎ ‎4．已知抛物线的焦点为F，点是抛物线C上一点，圆M与线段MF相交于点A，且被直线截得的弦长为，若，则（　　）‎ A． B． 1 C． 2 D． 3‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意画出图形分析，根据抛物线的定义可得，则得，再结合弦长可得．然后在Rt△MDE中结合勾股定理可得，进而可得．‎ ‎【详解】‎ 画出图形如下图所示．‎ 由题意得点在抛物线上，‎ 则，则．①‎ 由抛物线的性质可知，‎ 则，‎ ‎∵被直线截得的弦长为，‎ 则．‎ 又，‎ 在Rt△MDE中，，‎ 即，‎ 整理得：， ，‎ 由①②解得．‎ ‎∴．‎ 故选B．‎ ‎【点睛】‎ 求解抛物线与其他圆锥曲线综合问题时，可根据涉及抛物线与其他圆锥曲线的相应知识，利用相应曲线的定义、标准方程、几何性质，并根据数形结合的方法构建关于待求量的方程(组)或不等式(组)，然后逐步求解可得到结果．‎ ‎5．抛物线上的动点到其焦点的距离的最小值为1，则（ ）‎ A． B． 1 C． 2 D． 4‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意结合抛物线的定义确定点的位置，然后求解p的值即可.‎ ‎【详解】‎ 抛物线上的动点到其焦点的距离的最小值即到准线的最小值，‎ 很明显满足最小值的点为抛物线的顶点，据此可知：.‎ 本题选择C选项. ‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查抛物线的定义及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎6．抛物线上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是　　‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由抛物线方程化标准方程为，再由焦半径公式，可求得。‎ ‎【详解】‎ 抛物线为，由焦半径公式，得。选B.‎ ‎【点睛】‎ 抛物线焦半径公式：‎ 抛物线，的焦半径公式。‎ 抛物线，的焦半径公式。‎ 抛物线，的焦半径公式。‎ 抛物线，的焦半径公式。‎ ‎7．已知双曲线与抛物线有相同的焦点，则该双曲线的渐近线方程为 A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由抛物线方程求出抛物线的焦点，即为双曲线的一个焦点，由双曲线中参数的关系求出m，将双曲线中的参数值代入渐近线标准方程，即可求得渐近线方程.‎ ‎【详解】‎ ‎【点睛】‎ 本题考查双曲线与抛物线参数关系及渐近线的方程，求解时注意抛物线的焦点在y轴上，注意将双曲线化为标准形式再求解，注意焦点在y轴上的双曲线的渐近线公式，避免将参数混淆，造成错解.‎ ‎8．已知等腰三角形OPM中，OP⊥MP，O为抛物线=2px(p>0)的顶点，点M在抛物线的对称轴上，点P在抛物线上，则点P与抛物线的焦点F之间的距离是 A． 2p B． p C． 2p D． p ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据条件解得P的横坐标，再根据抛物线定义求点P与抛物线的焦点F之间的距离.‎ ‎【详解】‎ 由题意得 因此点P与抛物线的焦点F之间的距离为，选B.‎ ‎【点睛】‎ ‎1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理． 2．若为抛物线 上一点，由定义易得；若过焦点的弦 AB的端点坐标为，则弦长为可由根与系数的关系整体求出；若遇到其他标准方程，则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到．‎ ‎9．若点的坐标为，是抛物线的焦点，点在抛物线上移动时，使取得最小值的的坐标为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 已知抛物线y2=4x，画出抛物线图象，以及焦点和准线，过点A作准线的垂线，与抛物线交于点M，即为所求点.‎ ‎【详解】‎ 如图，已知y2=4x，可知焦点F（1,0），准线：x= -1，‎ 过点A作准线的垂线，与抛物线交于点M，作根据抛物线的定义，可知|BM|=|MF|‎ ‎|MF|+|MA|=|MB|+|MA|取最小值，‎ 已知A（3,2），可知M的纵坐标为2，代入y2=4x中，得M的横坐标为2，‎ 即M(2，2).故选：D ‎【点睛】‎ 抛物线上一点到焦点的距离，可以转化为该点到准线的距离，与已知定点，构造出“一条直线”，根据“点到直线垂线段最短”求解.‎ ‎10．已知抛物线 ，过焦点 作直线与抛物线交于点 ，，设 ，，则 的最小值为 ‎ A． B． ‎ C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由抛物线与过其焦点的直线方程联立，消去整理成关于一元二次方程，设出两点坐标，再依据抛物线的定义，由韦达定理可以求得结论. ‎ ‎【详解】‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查抛物线的定义以及直线与抛物线的位置关系，属于中档题.与焦点、准线有关的问题一般情况下都与拋物线的定义有关，解决这类问题一定要注意点到点的距离与点到直线的距离的转化：（1）将抛线上的点到准线距离转化为该点到焦点的距离；(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，使问题得到解决.‎ ‎11．斜率为的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于A,B两点,则=（ ）‎ A． 8 B． 6 C． 12 D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据抛物线方程求得抛物线的焦点坐标，进而根据点斜式求得直线方程，与抛物线方程联立，消去 ‎，根据韦达定理求得的值，进而根据抛物线的定义可知，从而可得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查抛物线的定义和几何性质，以及直线与抛物线的位置关系，属于中档题.与焦点、准线有关的问题一般情况下都与拋物线的定义有关，解决这类问题一定要注意点到点的距离与点到直线的距离的转化：（1）将抛线上的点到准线距离转化为该点到焦点的距离；(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，使问题得到解决.‎ ‎12．抛物线的准线方程为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先将抛物线方程化为标准方程，由抛物线的准线方程的定义可求得结果.‎ ‎【详解】‎ 因为抛物线可化为，‎ 则抛物线的准线方程为，故选A.‎ ‎【点睛】‎ 该题考查的是有关抛物线的准线方程的问题，涉及到的知识点有抛物线的准线方程，在解题的过程中，注意首先将抛物线方程化成标准方程.‎ ‎13．抛物线的焦点为 ,过点的直线交抛物线于 、两点，点为轴正半轴上任意一点，则（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【详解】‎ 分析：设，则 ‎，由利用韦达定理求解即可.‎ 详解：设，‎ 的焦点，‎ 设过点的直线为，‎ ‎ ，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，故选B. ‎ 点睛：本题主要考查平面向量数量积公式、平面向量的运算、直线与抛物线的位置关系，意在考查综合运用所学知识解决问题的能力，考查转化与划归思想以及计算能力，属于中档题.‎ ‎14．抛物线的焦点为，点，为抛物线上一点，且不在直线上，则周长的最小值为 A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：求△MAF周长的最小值，即求|MA|+|MF|的最小值．设点M在准线上的射影为D，则根据抛物线的定义，可知|MF|=|MD|，因此问题转化为求|MA|+|MD|的最小值，根据平面几何知识，当D、M、A三点共线时|MA|+|MD|最小，由此即可求出|MA|+|MF|的最小值．‎ 点睛：（1）本题主要考查椭圆的定义、标准方程，以及简单性质的应用，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析转化推理的能力.(2)判断当D，M，A三点共线时|MA|+|MD|最小，是解题的关键．‎ ‎15．已知点在以点为焦点的抛物线（为参数）上，则等于（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：欲求，根据抛物线的定义，即求到准线的距离，从而求得即可.‎ 详解：抛物线，准线，‎ ‎ 为到准线的距离，即为4，‎ 故选：D.‎ 点睛：抛物线的离心率e＝1，体现了抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离．因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简化．‎ ‎16．已知是抛物线上一点，则到抛物线焦点的距离是（ ）‎ A． 2 B． 3 C． 4 D． 6‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：直接利用抛物线的定义可得：点到抛物线焦点的距离 ．‎ 详解：由抛物线方程可得抛物线中 ，则利用抛物线的定义可得点到抛物线焦点的距离 ‎．‎ 故选B.‎ 点睛：本题考查了抛物线的定义标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎17．已知抛物线上一动点到其准线与到点M（0，4）的距离之和的最小值为，F是抛物线的焦点，是坐标原点，则的内切圆半径为 A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：通过图像将到准线的距离转化为到焦点的距离，到其准线与到点M（0，4）的距离之和的最小值，也即为最小，当三点共线时取最小值。‎ 详解：通过图像将到准线的距离转化为到焦点的距离，到其准线与到点M（0，4）的距离之和的最小值，也即为最小，当三点共线时取最小值。所以，解得，由内切圆的面积公式，解得。故选D。‎ 点睛：利用到准线的距离与到焦点的距离之间的互化是一种常见解法，利用图像用几何法分析取最小值时的点的位置，内切圆的面积公式，利用面积和三角形三边求内切圆半径。‎ ‎18．设抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为 A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：椭圆的右焦点为，抛物线的焦点坐标为，求解，再得出准线方程。‎ 详解：椭圆的右焦点为，抛物线的焦点坐标为，解得，得出准线方程 点睛：抛物线的焦点坐标为，准线方程 ‎19．已知抛物线的焦点为，准线为，抛物线上有一点，过点作，垂足为，且 ‎，若的面积为，则等于（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：由可知为等边三角形，根据面积可求出，根据抛物线的性质即可求出p的值. ‎ 详解：如图所示，根据可知为等边三角形，‎ 设等边三角形的边长为a，且的面积为，‎ ‎，解得，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎.‎ 故选：B.‎ 点睛：本题考查了抛物线的方程、性质，考查了转化思想、数形结合思想，属于中档题.‎ ‎20．已知，则“”是“抛物线的焦点在轴正半轴上”的( )‎ A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件 C． 充分必要条件 D． 既不充分也不必要条件 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先讨论充分性，再讨论必要性，即得解.‎ ‎【详解】‎ ‎【点睛】‎ ‎(1)本题主要考查充要条件的判断和抛物线的几何性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 判断充要条件，首先必须分清谁是条件，谁是结论，然后利用定义法、转换法和集合法来判断.‎ 二、填空题 ‎21．已知抛物线的焦点和，点为抛物线上的动点，则取到最小值时点的坐标为________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设点P在准线上的射影为D，由抛物线的定义把问题转化为求|PA|+|PD|的最小值，同时可推断出当D，P，A三点共线时|PA|+|PD|最小，答案可得．‎ ‎【详解】‎ 过点P作PB垂直于准线，过A作AH垂直于准线，PA+PF=PA+PB≤AH，‎ 此时最小，点P与点A的坐标为相同，所以点P为.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ ‎(1)本题主要考查抛物线的简单几何性质，考查抛物线的最值，意在考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合分析推理能力.(2) 解答圆锥曲线问题时，看到焦点和焦半径要联想到曲线的定义提高解题效率.‎ ‎22．准线方程为的抛物线标准方程为_______‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据准线方程得到抛物线的开口方向和p的值，即得抛物线的标准方程.‎ ‎【详解】‎ ‎【点睛】‎ ‎(1)本题主要考查抛物线的标准方程的求法，意在考查学生对该知识的掌握水平和数形结合分析推理能力.(2)求抛物线的标准方程，一般利用待定系数法，先定位，后定量.‎ ‎23．平面内动点到点的距离和到直线：的距离相等，则动点的轨迹方程为是____________________________________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据抛物线定义知，动点轨迹为抛物线，焦点F,准线为，，即可写出抛物线方程.‎ ‎【详解】‎ 由题意知，该点轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，其中，所以方程为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了抛物线的定义，抛物线的标准方程，属于中档题. ‎ ‎24．已知抛物线的焦点与圆的圆心重合，则的值是________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 抛物线的焦点坐标为，圆的圆心坐标为，利用两者相同可得的值.‎ ‎【详解】‎ 抛物线的焦点坐标为，圆的圆心坐标为，故即，填.‎ ‎【点睛】‎ 圆的一般方程为，其圆心为，注意.求圆锥曲线的基本量时，需要把圆锥曲线的方程写成标准形式，便于基本量的计算.‎ ‎25．若抛物线上的点到焦点的距离为，则到轴的距离是________.‎ ‎【答案】10‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据抛物线定义，求得P到准线的距离，进而求得P到x轴的距离。‎ ‎【详解】‎ 因为抛物线 所以焦点坐标为 ，准线方程为 ‎ 因为点到焦点的距离为，根据抛物线定义，则到准线的距离也为 所以点P到x轴的距离为10‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了抛物线的定义及简单应用，属于基础题。‎ ‎26．已知抛物线的焦点为，准线为，过点斜率为的直线与抛物线交于点（在 轴的上方），过作于点，连接交抛物线于点，则_______.‎ ‎【答案】2.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据抛物线定义可得MF=MN，再根据直线倾斜角得三角形MNF为正三角形，即得NF倾斜角，联立方程可得Q横坐标，解得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎【点睛】‎ ‎1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理． 2．若为抛物线上一点，由定义易得；若过焦点的弦 AB的端点坐标为，则弦长为可由根与系数的关系整体求出；若遇到其他标准方程，则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到．‎ ‎27．已知抛物线的焦点为，点为抛物线上任意一点，若点，则的最小值为___________．‎ ‎【答案】5‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 转化为到准线的距离，观察，，三点的位置特征，当垂直于准线时，最小。‎ ‎【详解】‎ 如图，过点作于点，为抛物线的准线 连接，，作于点 则 当点为与抛物线的交点时，取等号 ‎【点睛】‎ 本题主要考查了抛物线的简单性质，求的最小值时，注意结合图形，根据平面几何知识判断，体现了数形结合的思想。‎ ‎28．已知双曲线，若抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为，则抛物线的方程为_________________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由双曲线的方程易求出双曲线的渐近线方程，进而代入点到直线距离公式，求出的值，即可求得抛物线的方程 ‎【详解】‎ 双曲线，双曲线的渐近线方程为，即 抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为，‎ ‎，解得 抛物线的方程为 故答案为 ‎【点睛】‎ 本题为求抛物线的方程结合了双曲线的渐近线方程以及点到直线的距离，自要按照题目要求结合公式即可算出结果，较为基础 ‎29．抛物线的准线与双曲线的两条渐近线所围成三角形的面积等于，则____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 写出抛物线的准线与双曲线的两条渐近线方程，然后确定三角形的形状和边长利用面积公式求出三角形的面积求解即可．‎ ‎【详解】‎ 抛物线的准线为， 双曲线的两条渐近线方程分别为：， 这三条直线构成等腰三角形，底边长为：， 三角形的高为：，因此，所求三角形面积：，解得 ． 故答案为：2．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查三角形形状的确定和面积的求解，考查双曲线标准方程与其渐近线方程的联系，抛物线标准方程与其准线方程的联系，考查学生直线方程的书写，考查学生分析问题解决问题的能力，属于基本题型．‎ ‎30．已知点P是抛物线y2＝4x上的动点，F是该抛物线的焦点，点A的坐标是(4，a)，则当|a|<4时，|PA|＋|PF|的最小值是________．‎ ‎【答案】5.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用抛物线的定义把转化为与到准线的距离的和，从而可得其最小值为．‎ ‎【详解】‎ 过作准线的垂线，垂足为，则 ，‎ 故，当且仅当三点共线时等号成立，‎ 故所求最小值为，填5．‎ ‎【点睛】‎ 圆锥曲线中与焦点或准线有关的最值问题，可以优先考虑用圆锥曲线的几何性质，把问题归结为与另一个焦点或到相应的准线的距离的问题．‎ ‎31．若点在以为焦点的抛物线上，则_____________．‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】‎ 分析：由题意先求出点的坐标，然后再根据抛物线的定义求解可得．‎ 点睛：抛物线的定义有两个作用，一是当已知曲线是抛物线时，抛物线上的点M满足定义，它到准线的距离为d，则|MF|＝d，由此可解决有关距离、最值、弦长等问题；二是利用动点满足的几何条件符合抛物线的定义，从而得到动点的轨迹是抛物线．‎ ‎32．已知点是抛物线：与椭圆：的公共焦点，是椭圆的另一焦点，是抛物线上的动点，当取得最小值时，点恰好在椭圆上，则椭圆的离心率为_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：由题意可知与抛物线相切时，取得最小值，求出此时点的坐标，代入椭圆方程求出的值，即可求解其离心率．‎ 详解：抛物线的焦点坐标为，准线方程为，‎ 过向抛物线的准线作垂线，则，所以,‎ 显然当直线与抛物线相切时，最小，即取得最小值，‎ 设直线的方程为，代入可得，‎ 令，可得，‎ 不妨设在第一象限，则，所以，即，‎ 因为在椭圆上，且为椭圆的焦点，‎ 所以，解得或（舍去），‎ 所以，所以离心率为．‎ 点睛：本题考查了抛物线的定义及几何性质的应用，以及椭圆的离心率的求解，其中根据抛物线的定义与几何性质，得到关于的方程组是解答的关键．求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出 ，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，转化为的齐次式，然后转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得 (的取值范围)．‎ ‎33．已知抛物线的焦点为是抛物线上一点，若的延长线交轴的正半轴于点，交抛物线的准线于点，且，则=__________．‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】分析：画出图形后结合抛物线的定义和三角形的相似求解即可．‎ 详解：画出图形如下图所示．由题意得抛物线的焦点，准线为．‎ 设抛物线的准线与y轴的交点为，过M作准线的垂线，垂足为，交x轴于点．‎ 由题意得，‎ 又，即为的中点，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ 又，‎ 即，解得．‎ 点睛：解答与抛物线有关的综合问题时，可利用抛物线的定义、标准方程、几何性质，并结合图形，利用形的直观性和数形结合，构建关于待求量的方程(组)或不等式(组)，然后再逐步求解可得结果．‎ ‎34．抛物线的焦点为，直线与轴的交点为，与抛物线的交点为，且，则的值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：首先将代入抛物线的方程，求得对应点N的坐标，从而求得，利用抛物线的定义，将用点N到抛物线准线的距离来表示，求得，之后应用题中所给的等量关系式，得到关于p的式子，从而求得结果,‎ 点睛：该题考查的是抛物线的有关问题，在解题的过程中，需要时刻关注题的条件，对应直线与曲线的交点的求解方法就是联立方程组，再者利用抛物线上的点到焦点的距离就可以应用其到准线的距离可以简化式子，从而建立关于p所满足的等量关系式，求得结果.‎ ‎35．（山东省烟台市2018届高三高考适应性练习（一））已知抛物线的焦点为是抛物线上一点，若的延长线交轴的正半轴于点，交抛物线的准线于点，且，则=__________．‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】分析：画出图形后结合抛物线的定义和三角形的相似求解即可．‎ 详解：画出图形如下图所示．由题意得抛物线的焦点，准线为．‎ 设抛物线的准线与y轴的交点为，过M作准线的垂线，垂足为，交x轴于点．‎ 由题意得，又，即为的中点，∴，‎ ‎∴，∴．又，即，解得．‎ 点睛：解答与抛物线有关的综合问题时，可利用抛物线的定义、标准方程、几何性质，并结合图形，利用形的直观性和数形结合，构建关于待求量的方程(组)或不等式(组)，然后再逐步求解可得结果．‎ ‎36．（2018年天津市河北区高三数学二模）若点在以F为焦点的抛物线上，则等于_________．‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】分析：由题意先求出点的坐标，然后再根据抛物线的定义求解可得．‎ 详解：∵点在抛物线上，‎ ‎∴，解得，‎ ‎∴点的坐标为．‎ 又抛物线的准线方程为，‎ ‎∴．‎ ‎【名师点睛】抛物线的定义有两个作用，一是当已知曲线是抛物线时，抛物线上的点M满足定义，它到准线的距离为d，则|MF|＝d，由此可解决有关距离、最值、弦长等问题；二是利用动点满足的几何条件符合抛物线的定义，从而得到动点的轨迹是抛物线．‎ ‎37．（2018年天津市南开中学高三模拟）已知抛物线的参数方程为(为参数），其中，焦点为，准线为，过抛物线上一点作的垂线，垂足为．若，点的横坐标为3，则__________．‎ ‎【答案】2．‎ ‎【解析】分析：把抛物线的参数方程化为普通方程，则由抛物线的定义以及，可得为等边三角形，设点的坐标为，则，把点的坐标代入抛物线的方程可得，再由，解方程可得的值．‎ ‎【名师点睛】该题考查的是有关抛物线方程的求解问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有抛物线的定义，有关三角形的边的关系，对应的等量关系式的建立，最后求得结果．‎ ‎38．若抛物线y2=2px(p>0)上一点到准线及对称轴的距离分别为10和6,则抛物线方程为_______.‎ ‎【答案】y2=4x或y2=36x.‎ ‎【解析】分析：抛物线的点的坐标为，则有，解出可得抛物线方程.‎ 详解：设抛物线的点的坐标为，则，‎ 所以，故，‎ 解得或.故抛物线的方程为或者 点睛：求抛物线的方程，一般是先定型（看开口），再定位（看焦点的位置），最后定量（求出的的值）.‎ ‎39．抛物线的焦点到准线的距离为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：根据题意，将抛物线的方程转化为标准方程，进而求出其焦点坐标和准线方程，据此计算焦点到准线的距离即可得答案．‎ 详解：根据题意，抛物线y=的标准方程为x2=y，‎ 其焦点坐标为（0，），准线方程为y=﹣，‎ 则其焦点到准线的距离为，‎ 故答案为：．‎ 点睛：本题考查抛物线的几何性质，注意将抛物线的方程变形为标准方程．‎ ‎40．抛物线的准线方程为_____________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：首先将方程整理为标准型，然后求解直线方程即可.‎ 详解：抛物线的标准方程为：，‎ 则抛物线的焦点坐标为，准线方程为.‎ 点睛：抛物线方程中，字母p的几何意义是抛物线的焦点F到准线的距离，等于焦点到抛物线顶点的距离．牢记它对解题非常有益．‎ 三、解答题 ‎41．求下列各曲线的标准方程 ‎（1）长轴长为8，短轴长为4，焦点在x轴上的椭圆；‎ ‎（2）抛物线的焦点是双曲线16x2﹣9y2=144的右顶点．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题意，，即可求出焦点在轴上的椭圆方程；‎ ‎（2）由双曲线方程求出双曲线的左顶点坐标，从而得到抛物线的焦点坐标，则抛物线方程可求．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意得：2a=8,2b=4‎ ‎∴a=4，b=2，‎ ‎∴椭圆的标准方程为；‎ ‎（2）由16x2﹣9y2=144得：x2/9+y2/16=1 ‎ ‎∴a2=9，即a=3；∴双曲线16x2﹣9y2=144的右顶点为（3，0），‎ ‎∴抛物线的焦点为（3，0），‎ 由p/2=3得：p=6‎ ‎∴抛物线的方程为y2=12x．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查椭圆、抛物线的方程，考查学生的计算能力，属于中档题．‎ ‎42．已知抛物线的焦点 ，点在抛物线上，过焦点的直线交抛物线于两点.‎ ‎（1）求抛物线的方程以及的值；‎ ‎（2）记抛物线的准线与轴交于点，若，，求的值.‎ ‎【答案】（1）y2=4x，2（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）依题意，，即可求的抛物线方程，再根据抛物线的定义，直接可以写出的值.‎ ‎（2）设l：x=my+1，M（x1，y1）、N（x2，y2），联立方程，消去x，得关于y的一元二次方程，由，得，再根据，求得m的值，即可求得的值. ‎ ‎【详解】‎ ‎（2）依题意，F（1，0），设l：x=my+1，设M（x1，y1）、N（x2，y2），‎ 联立方程，消去x，得y2﹣4my﹣4=0．‎ 所以，① 且，‎ 又，则（1﹣x1，﹣y1）=λ（x2﹣1，y2），即y1=﹣λy2，‎ 代入①得，消去y2得，‎ B（﹣1，0），则，‎ 则 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎（m2+1）（16m2+8）+4m•4m+8=16m4+40m2+16，‎ 当16m4+40m2+16=40，解得，故．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查抛物线的标准方程及简单几何性质，直线与抛物线的位置关系，向量的坐标运算，考查计算能力，属于中档题.‎ ‎43．已知抛物线与 椭圆的一个交点为，点 是的焦点，且.‎ ‎(1)求与的方程；‎ ‎(2)设为坐标原点，在第一象限内，椭圆上是否存在点，使过作的垂线交抛物线于，直线交轴于，且?若存在，求出点的坐标和的面积；若不存在，说明理由.‎ ‎【答案】(1) (2) 见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用抛物线的定义求，点的坐标代入求出，的值； （2）设出，的方程与椭圆、抛物线分别联立，求出的横坐标，利用，即可得出结论．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由抛物线定义：，所以的方程为，将代入得，即，将代入，得，故方程为.即 ‎【点睛】‎ 本题考查抛物线、椭圆的方程，考查直线与抛物线、椭圆的位置关系，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．‎ ‎44．已知抛物线的焦点为，过点垂直于轴的直线与抛物线相交于两点，抛物线在两点处的切线及直线所围成的三角形面积为.‎ ‎(1)求抛物线的方程；‎ ‎(2)设是抛物线上异于原点的两个动点，且满足，求面积的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求出坐标，利用导数的几何意义求出切线方程，得到切线与轴的交点，利用三角形的面积列方程解出，从而可得结果；（2）计算，设出方程，求出与轴的交点，联立方程组，根据韦达定理及弦长公式可得，得出面积关于的函数，从而可得函数的最值.‎ ‎【详解】‎ ‎ ‎ ‎(2)由已知可得， ‎ 设则，∴. ‎ 令直线的方程为，‎ 联立方程组消去得， ‎ 则，‎ ‎∵，∴.‎ ‎∴直线MN过定点（1，0）,‎ ‎∴. ‎ ‎∵，‎ ‎∴.‎ 综上所示，面积的取值范围是.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系的相关问题，意在考查学生理解力、分析判断能力以及综合利用所学知识解决问题能力和较强的运算求解能力，其常规思路是先把直线方程与圆锥曲线方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单.在得到三角形的面积的表达式后，能否利用换元的方法，观察出其中的函数背景成了完全解决问题的关键.‎ ‎45．已知是抛物线的焦点，过的直线交抛物线于不同两点，且.‎ ‎（1）求抛物线的方程；‎ ‎（2）过点作轴的垂线交直线（是原点）于，过作直线的垂线与抛物线的另一交点为，中点为.‎ ‎①求点的纵坐标；‎ ‎②求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）;（2）见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设方程y，与抛物线方程联立消元，根据根与系数的关系列方程得出的值； （2）根据的方程计算点纵坐标，求出方程得出点坐标，计算化简，根据的范围得出的范围．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）设：，‎ ‎ ‎ ‎∴‎ ‎∴，∴‎ ‎∴‎ ‎（2）直线：‎ ‎∴即，‎ ‎∴，‎ 即直线：‎ ‎ ‎ ‎∴‎ ‎∴,‎ ‎∴三点共线 ‎∵‎ ‎∴.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，属于中档题．‎ ‎46．已知椭圆和抛物线，在，上各取两个点，这四个点的坐标为，，，‎ ‎（Ⅰ）求，的方程；‎ ‎（Ⅱ）设是在第一象限上的点，在点处的切线与交于两点，线段的中点为，过原点的直线与过点且垂直于轴的直线交于点，证明：点在定直线上．‎ ‎【答案】(1),;(2)见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）把点的坐标代入曲线方程即得曲线，的方程. （Ⅱ）先求直线OD的方程，再求点Q的坐标，即得点Q在定直线上.‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅱ）设，由得， ‎ 所以切线的方程为： ， ‎ 设，，由得： ‎ 由， 得，代入得， ‎ 所以，所以，‎ 由得，所以点在定直线上．‎ ‎【点睛】‎ ‎(1)本题主要考查曲线方程的求法，考查椭圆中的定值线问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2)解答第2问的关键是求直线OD的方程.‎ ‎47．已知动圆经过定点，且与直线相切，设动圆圆心的轨迹为曲线.‎ ‎（1）求曲线的方程；‎ ‎（2）设过点的直线，分别与曲线交于，两点，直线，的斜率存在，且倾斜角互补，证明：直线的斜率为定值.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由抛物线的定义可知E的轨迹为以D为焦点，以x=﹣1为准线的抛物线，‎ ‎（2）设l1，l2的方程，联立方程组消元解出A，B的坐标，代入斜率公式计算kAB．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由已知，动点到定点的距离等于到直线的距离，由抛物线的定义知点的轨迹是以为焦点，以为准线的抛物线，故曲线的方程为.‎ ‎（2）由题意可知直线，的斜率存在，倾斜角互补，则斜率互为相反数，且不等于零.‎ 设，，直线的方程为，.‎ 直线的方程为，‎ 由得，‎ 已知此方程一个根为，∴，‎ 即，同理，‎ ‎∴，，‎ ‎∴‎ ‎，‎ ‎∴，‎ 所以，直线的斜率为定值.‎ ‎【点睛】‎ 定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.‎ ‎48．已知抛物线，斜率为的直线交抛物线于，两点，当直线过点时，以为直径的圆与直线相切．‎ ‎（1）求抛物线的方程；‎ ‎（2）与平行的直线交抛物线于，两点，若平行线，之间的距离为，且的面积是面积的倍，求和的方程．‎ ‎【答案】（1）；（2），或者，．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设直线方程为，代入得，根据中点坐标公式，结合韦达定理可得圆心坐标，利用弦长公式可得圆的直径，利用圆心到直线的距离等于半径，列方程求解即可得到抛物线的方程；（2）利用点到直线距离公式、弦长公式，结合三角形面积公式可得，同理可得，利用 的面积是面积的倍列方程求解即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（2）O到直线的距离为，‎ ‎.‎ 因为平行线之间的距离为，则CD的直线方程为 ‎. ‎ 依题意可知，即 化简得，∴代入 ‎∴或者.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系的相关问题，意在考查学生理解力、分析判断能力以及综合利用所学知识解决问题能力和较强的运算求解能力，其常规思路是先把直线方程与圆锥曲线方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单.要得到三角形的面积的表达式后，一般考虑应利用弦长公式结合韦达定理与点到直线距离公式求解.‎ ‎49．已知斜率为k的直线l经过点(-1,0),且与抛物线C:y2=2px(p>0,p为常数)交于不同的两点M,N.当k=时,弦MN的长为.‎ ‎(1)求抛物线C的标准方程.‎ ‎(2)过点M的直线交抛物线于另一点Q,且直线MQ经过点B(1,-1),判断直线NQ是否过定点?若过定点,求出该点坐标;若不过定点,请说明理由.‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）直线方程为，代入曲线的方程，由此利用弦长公式能求出抛物线C的标准方程；‎ ‎（2）设，得到直线MN的方程，同理得到MQ和NQ的方程，将点代入MN的方程，得到，由在直线MQ上，联立即可得到结论.‎ ‎【详解】‎ ‎(2)设M(t2,2t),N(,2t1),Q(,2t2),则k==,则直线MN的方程为y-2t= (x-t2),即2x-(t+t1)y+2tt1=0,同理可得直线MQ的方程为2x-(t+t2)y+2tt2=0,直线NQ的方程为2x-(t1+t2)y+2t1t2=0.‎ 由点(-1,0)在直线MN上,可得tt1=1,即t=①.由B(1,-1)在直线MQ上,可得2+t+t2+2tt2=0,将①代入可得t1t2=-2(t1+t2)-1②,将②代入直线NQ的方程可得2x-(t1+t2)y-4(t1+t2)-2=0,易得直线NQ过定点(1,-4).‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查抛物线的标准方程与几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题,通过联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系，得到“目标函数”的解析式，确定函数的性质进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出，本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.‎ ‎50．已知动圆过定点P(4,0),且在y轴上截得的弦MN的长为8.‎ ‎(1)求动圆圆心C的轨迹方程;‎ ‎(2)过点(2,0)的直线l与动圆圆心C的轨迹交于A,B两点,求证:是一个定值.‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设圆心的坐标为，得出，代入点的坐标，即可得到曲线C的轨迹方程；‎ ‎（2）设直线方程，联立方程组，得到，再向量的数量积的运算，即可得到结论.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)设动圆的圆心C(x,y),线段MN的中点为T,则|MT|==4.‎ 由题意得|CP|2=|CM|2=|MT|2+|TC|2,∴y2+(x-4)2=42+x2,∴y2=8x,‎ 即动圆圆心C的轨迹方程为y2=8x.‎ ‎(2)证明:易知直线l的斜率不为0,‎ 设直线l的方程为x=ky+2,A(x1,y1),B(x2,y2).‎ 联立消去x整理得y2-8ky-16=0,Δ=64k2+64>0,可得y1+y2=8k,y1y2=-16.‎ 又=(x1,y1),=(x2,y2),‎ ‎∴·=x1x2+y1y2=(ky1+2)(ky2+2)+y1y2=k2y1y2+2k(y1+y2)+4+y1y2=-16k2+16k2+4-16=-12,‎ ‎∴·是一个定值. ‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查抛物线的标准方程与几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题,通过联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系，得到“目标函数”的解析式，确定函数的性质进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出，本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.‎