2020届江苏省南京市六校联合体高三上学期一模联考数学试题

2020届江苏省南京市六校联合体高三上学期一模联考数学试题

南京市六校联合体2020届高三年级一模联考试卷 数学Ⅰ试题 ‎2019.12‎ 一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分．不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）‎ ‎1．已知集合A＝{1，2，3，4}，B＝{x|x2－4x＜0}，则A∩B＝__________．‎ 答案为：，2，．‎ ‎2．已知复数，则复数的共轭复数为__________．‎ 答案为：‎ ‎3．某校有教师300人，男学生1500人，女学生1200人，现用分层抽样的办法从全校师生中抽取200人进行某项调查，则应抽取的女学生人数为__________．‎ 答案为：80．‎ ‎4．根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S为__________．‎ 答案：模拟演示：‎ 答案为：15．‎ ‎5．甲、乙两人依次从标有数字1，2，3的三张卡片中各抽取一张（不放回），则两人均未抽到标有数字3的卡片的概率为__________．‎ 答案为：．‎ ‎6．若抛物线的焦点到双曲线的一条渐近线的距离是2，则该双曲线的离心率为__________．‎ 答案为：‎ ‎7．已知f (x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时f (x)＝＋a，a为实数，则f (－4)的值是__________．‎ 答案为：．‎ ‎8．已知等差数列的前项和为，等比数列前项和为，若，，且，，则的值为__________．‎ 答案为：3‎ ‎9．已知，若是偶函数，则__________．‎ 答案为：．‎ ‎10．已知矩形ABCD中AB＝4，BC＝3，若沿对角线AC折叠，使得平面DAC⊥平面BAC，则三棱锥D－ABC的体积是__________．‎ 答案为．‎ ‎11．已知实数x，y满足条件xy＋1＝4x＋y且x＞1，则(x＋1)(y＋2)的最小值是__________．‎ 答案为：27．‎ ‎12．若直线上存在相距为2的两个动点A，B，圆上存在点，使得为等腰直角三角形（为直角顶点），则实数的取值范围为__________．‎ 答案为：，．‎ ‎13．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点，点P是圆O：上的任意一点，过点作直线BT垂直于AP，垂足为T，则2PA+3PT的最小值是__________．‎ 解：由中线长公式可得，则 ‎，则 在中，，即 所以（当且仅当时取等）‎ ‎14．已知函数，若不等式恒成立，为奇函数，函数恰有两个零点，则实数的取值范围为__________．‎ 解：若不等式恒成立，‎ 即恒成立，‎ 则△，解得：，‎ 故，‎ 若为奇函数，‎ 则，解得：，‎ 故，‎ 画出函数，的图象，如图所示：‎ 若函数恰有两个零点，‎ 结合图象：，，，‎ 故答案为：，，．‎ 二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）‎ ‎15．（本小题满分14分）‎ 已知分别为三个内角A，B，C的对边，且．‎ ‎（1）若，，求边的长；‎ ‎（2）若，求的值．‎ 解：（1）在中，由可知，‎ 由解得，‎ 由余弦定理得，‎ 得，即，‎ 解得．‎ ‎（2）由且，得，‎ 又，则，则，‎ 所以，‎ 所以，‎ 所以 ‎16．（本小题满分14分）‎ E D B ‎1‎ A ‎1‎ C ‎1‎ C B A 如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC⊥BC，A1B与AB1交于点D，A1C与AC1交于点E．求证：‎ ‎（1）DE∥平面B1BCC1；‎ ‎（2）平面A1BC⊥平面A1ACC1．‎ 证明：（1）直三棱柱ABC－A1B1C1中，， ‎ 所以四边形是平行四边形，且，‎ 所以为中点，‎ 同理为中点，‎ 所以，‎ 又因为平面，平面，‎ 所以．‎ ‎（2）直三棱柱ABC－A1B1C1中，平面，‎ 因为平面，所以，‎ 因为，，平面，‎ 所以平面，‎ 又因为平面，‎ 所以平面平面．‎ ‎17．（本小题满分14分）‎ 如图，在平面直角坐标系中，椭圆C ：的左、右顶点分别为．已知，且点在椭圆上，其中是椭圆的离心率．‎ ‎（1）求椭圆C 的方程；‎ B x y O P A M N l ‎（2）设P是椭圆C上异于 A、B的点，与轴垂直的直线分别交直线AP，BP于点M，N，求证：直线AN与直线BM的斜率之积是定值．‎ 解：（1）因为，所以，即，‎ 又点在椭圆上，故，即，‎ 又，‎ 联立方程组，解得，‎ 故椭圆方程为．‎ ‎（2）设P点坐标为（），M,N的横坐标均为，‎ 则直线AP的方程为，‎ 故，‎ 故直线BM的斜率，‎ 同理可得直线AN的斜率，‎ 故，‎ 又因为P点在椭圆上，故有，即，‎ 因此有，‎ 故直线AN与直线BM的斜率之积是定值．‎ ‎18．（本小题满分16分）‎ 如图，甲、乙两观察哨所位于海岸线l（一条南北方向的直线）上的点A、B处，两观察哨所相距32 n mile，在海岸线东侧有一半径为6 n mile圆形暗礁区，该暗礁区中心点C位于乙观察哨所北偏东的方向上，与甲观察哨所相距n mile，暗礁中心与乙观察哨所的距离大于n mile；‎ ‎（1）求暗礁中心点C到海岸线l的距离；‎ C l B A D 东 北 C l B A D 东 北 ‎（第18题图）‎ ‎（2）某时刻，甲观察哨所发现在其正南方向且位于暗礁中心正西方向的点D 处有一走私船正欲逃窜，甲观察哨所立即派缉私艇进行追击．已知缉私艇的最大航速是走私船最大航速的倍．假设缉私艇和走私船均按直线方向以最大航速航行．问：无论走私船沿何方向逃窜，要保证缉私艇总能在暗礁区（不包含暗礁区边界）以外的海域内拦截成功，求的取值范围．‎ C l B A D 东 北 ‎（第18题图）‎ 解：（1）在三角形ABC中，由余弦定理可得，‎ 即，整理得，‎ 解得或（舍去），‎ 过点C作CD垂直于l，垂足为D，在直角三角形CDB中，C l B A D 东 北 ‎（第18题图）‎ x y O CD=BC，‎ 故暗礁中心点C到海岸线l的距离为n mile．‎ ‎（2）由（1）可知,，‎ 以点C为坐标原点，建立如图所示平面直角坐标系，‎ 则A（，），D（，0），暗礁区域边界所在的圆的方程为，‎ 假设缉私艇在点T（x,y）处拦截成功，则，‎ 则点T满足方程，‎ 化简得 要保证缉私艇总能在暗礁区（不包含暗礁区边界）以外的海域内拦截成功，‎ 只需要圆与圆外离，‎ 故，‎ 整理得135，解得或（舍去）．‎ 答：（1）暗礁中心点C到海岸线l的距离是n mile；‎ ‎（2）当时，就能保证无论走私船沿何方向逃窜，缉私艇总能在暗礁区（不包含暗礁区边界）以外的海域内拦截成功．‎ ‎19．（本小题满分16分）‎ 已知函数，，．‎ ‎（1）求函数的单调增区间；‎ ‎（2）令，且函数有三个彼此不相等的零点，其中．‎ ‎①若，求函数在处的切线方程；‎ ‎②若对，恒成立，求实数的取值范围．‎ 解：（1），‎ 所以，‎ 令 得到，‎ 所以的单调增区间是．‎ ‎（2）由方程得是方程的两实根，‎ 故，且由判别式得，‎ ‎①若，得，故，得，‎ 因此，‎ 故函数在处的切线方程为．‎ ‎②若对任意的，都有成立，所以，‎ 因为，所以，‎ 当时，对有，‎ 所以，‎ 解得，‎ 又因为，得，则有；‎ 当时，，‎ 则存在的极大值点，且，‎ 由题意得，‎ 将代入得，‎ 进而得到，得，‎ 又因为，得，‎ 综上可知的取值范围是或．‎ ‎20．（本小题满分16分）‎ 等差数列{an}公差大于零，且a2＋a3＝，a22＋a32＝，记{an}的前n项和为Sn，等比数列{bn}各项均为正数，公比为q，记{bn}的前n项和为Tn．‎ ‎（1）求Sn；‎ ‎（2）若q为正整数，且存在正整数k，使得Tk，T3k∈{S2，S5，S6}，求数列{bn}的通项公式；‎ ‎（3）若将Sn中的整数项按从小到大的顺序排列构成数列{cn}，求{cn}的一个通项公式．‎ 解：（1）设{an}公差为d，d＞0，‎ 因为a2＋a3＝，a22＋a32＝，‎ 所以a1＋d＋a1＋2d＝，(a1＋d)2＋(a1＋2d)2＝，‎ 解得a1＝，d＝，‎ 于是Sn＝n＋×＝．‎ ‎（2）{S2，S5，S6}＝{，，}‎ 当q＝1时，Tk＝kb1，T3k＝3kb1，＝3，舍去；‎ 当q≠1时，Tk＝，T3k＝，所以＝1＋qk＋q2k，‎ 因为q∈N*且q≠1，所以q≥2，‎ 因此≥1＋2＋4＝7，‎ 于是Tk＝，T3k＝，‎ 因此1＋qk＋q2k＝7，解得qk＝2或－3（舍去），‎ 从而q＝2，k＝1，代入Tk＝得b1＝ 所以bn＝3×2n－2 ‎ ‎（3）因为Sn＝为整数项，所以n＝4k或者4k－1，k∈N*‎ 当n＝4k－1，k∈N*时，Sn＝k(4k－1)；‎ 当n＝4k，k∈N*时，Sn＝k(4k＋1)；‎ 因为Sn中的整数项按从小到大的顺序排列构成数列{cn}，‎ 且k(4k－1)＜k(4k＋1)＜(k＋1)[4(k＋1)－1]＜(k＋1)[4(k＋1)＋1]，‎ 所以当n为奇数时，cn＝(4×－1)×＝；‎ 当n为偶数时，cn＝×(2n＋1)＝；‎ 所以cn＝