高中数学讲义微专题39 传统不等式的解法

高中数学讲义微专题39 传统不等式的解法

微专题 39 传统不等式的解法 一、基础知识 1、一元二次不等式： 可考虑将左边视为一个二次函数 ，作出图像，再找出 轴上方的部分 即可——关键点：图像与 轴的交点 2、高次不等式 （1）可考虑采用“数轴穿根法”，分为以下步骤：（令关于 的表达式为 ，不等式为 ） ①求出 的根 ② 在数轴上依次标出根 ③ 从数轴的右上方开始，从右向左画。如同穿针引线穿过每一个根 ④ 观察图像， 寻找 轴上方的部分 寻找 轴下方的部分 （2）高次不等式中的偶次项，由于其非负性在解不等式过程中可以忽略，但是要验证偶次项 为零时是否符合不等式 3、分式不等式 （1）将分母含有 的表达式称为分式，即为 的形式 （2）分式若成立，则必须满足分母不为零，即 （3）对形如 的不等式，可根据符号特征得到只需 同号即可，所以将 分式不等式转化为 （化商为积），进而转化为整式不等式求解 4、含有绝对值的不等式 （1）绝对值的属性：非负性 （2）式子中含有绝对值，通常的处理方法有两种：一是通过对绝对值内部符号进行分类讨论 （常用）；二是通过平方 （3）若不等式满足以下特点，可直接利用公式进行变形求解： ① 的解集与 或 的解集相同 ② 的解集与 的解集相同  2 0 0ax bx c a      2f x ax bx c   x x x  f x   0f x    0f x  1 2, ,x x    0f x   x   0f x   x x     f x g x   0g x      0f x g x     ,f x g x       0 0 f x g x g x       f x g x    f x g x    f x g x     f x g x      g x f x g x   （4）对于其它含绝对值的问题，则要具体问题具体分析，通常可用的手段就是先利用分类讨 论去掉绝对值，将其转化为整式不等式，再做处理 5、指对数不等式的解法： （1）先讲一个不等式性质与函数的故事 在 不 等 式 的 基 本 性 质 中 ， 有 一 些 性 质 可 从 函 数 的 角 度 分 析 ， 例 如 ： ，可发现不等式的两边做了相同的变换（均加上 ），将相同的变换视 为一个函数，即设 ，则 ，因为 为增函 数 ， 所 以 可 得 ： ， 即 成 立 ， 再 例 如 ： ，可设函数 ，可知 时， 为增函数， 时， 为减函数，即 由以上两个例子我们可以得出：对于不等式两边作相同变换的性质，可将变换视为一个函 数，则在变换时不等号是否发生改变，取决于函数的增减性。增函数→不变号，减函数→变 号 在这种想法的支持下，我们可以对不等式的变形加以扩展，例如： ，则 的关 系如何？设 ，可知 的单调减区间为 ，由此可判断出：当 同号时， （2）指对数不等式：解指对数不等式，我们也考虑将其转化为整式不等式求解，那么在指对 数变换的过程中，不等号的方向是否变号呢？先来回顾指对数函数的性质：无论是 还 是 ，其单调性只与底数 有关：当 时，函数均为增函数，当 时，函数均为减函数，由此便可知，不等号是否发生改变取决于底数与 1 的大小， 规律如下： 时， 时， 进而依据这两条便可将指对不等式转化为整式不等式求解了 （3）对于对数的两个补充 ① 对数能够成立，要求真数大于 0，所以在解对数不等式时首先要考虑真数大于 0 这个条件， a b a c b c     c  f x x c     ,a c f a b c f b     f x x c     a b f a f b   a b a c b c     0, 0, c ac bca b c ac bc        f x cx 0c   f x 0c   f x         0, 0, c f a f b a b c f a f b       a b 1 1,a b   1f x x  f x    ,0 , 0,  ,a b 1 1a b a b   xy a  log 0, 1ay x a a   a 1a  0 1a  1a  x y log log ( , 0) x y a a a a x y x y      0 1a  x y log log ( , 0) x y a a a a x y x y      如当 时， ② 如何将常数转化为某个底的对数。可活用“1”：因为 ，可作为转换的桥梁 例如： ？ 某些不等式虽然表面形式复杂，但如果把其中一部分视为一个整体，则可对表达式进行简 化，进而解决问题，例如： ，可将为 视为一个整体，令 ，则 ，则不等式变为 ， ，两边可同取以 2 为底对数 6、利用换元法解不等式 （1）换元：属于化归时常用的一种方法，本质是研究对象的选取，不受题目所给字母的限制， 而是选择合适的对象能把陌生问题进行化归，转化为能够解决的问题。如上一个例子中，通 过将 视为整体，从而将不等式转化为一元二次不等式进行求解 （2）在换元的过程中，用新字母代替原来的字母和式子，将问题转化为新字母的问题，从而 要先了解新字母的取值范围。即若换元，则先考虑新元的初始范围 （3）利用换元法解不等式的步骤通常为： ①选择合适的对象进行换元：观察不等式中是否有相同的结构，则可将相同的结构视为一个 整体 ②求出新元的初始范围，并将原不等式转化为新变量的不等式 ③解出新元的范围 ④在根据新元的范围解 的范围 二、典型例题： 例 1：解下列一元二次不等式： （1） （2） （3） （4） 解（1） 即 与 轴的交点为 由图像可得满足 的 的范围为 不等式的解集为 （2） 令 ，则 可解得： 1a              0 log log 0a a f x f x g x g x f x g x       1 loga a  22.5 log 2.5 2 2 22.5 2.5 1 2.5 log 2 log 2 log 32       2 2 3 2 4 0x x    2x 2xt  0t    2 3 4 0 4 1 0 4t t t t t         2 4x  2log 4 2x   2x x 2 3 4 0x x   2 4 1 0x x   2 4 5 0x x   2 4 3 0x x    2 3 4 0x x     4 1 0x x      2 3 4f x x x   x 1, 4x x     0f x  x 1 4x     1,4   2 4 1f x x x     0f x  4 2 3 2 32x    -1 4 作图观察可得： 或 不等式的解集为 （3）令 ，则 中， 则 与 轴无公共点，即恒在 轴上方， 注：由（1）（2）我们发现，只要是 ，开口向上的抛物线与 轴相交，其图像都是类似 的，在小大根之间的部分 ，在小大根之外的部分 ，发现这个规律，在解一 元二次不等式时便有了更为简便的口诀 ① 让最高次项系数为正 ② 解 的方程，若方程有解，则 的解集为小大根之外， 的解集为 小大根之间，若方程无解，则作出图像观察即可 （4）解：先将最高次项系数变为正数： 方程 的根为 不等式的解集为 例 2：解下列高次不等式：（1） （2） （1）解： 则 的根 作图可得： 或 不等式的解集为 （2）思路：可知 ，所以只要 ，则 恒正，所以考虑先将恒正恒负的 因式去掉，只需解 ，可得 且 不等式的解集为 小炼有话说：在解高次不等式时，穿根前可考虑先将恒正恒负的项去掉，在进行穿根即可。 穿根法的原理：它的实质是利用图像帮助判断每个因式符号，进而决定整个式子的符号，图 2 3x   2 3x       ,2 3 2 3,      2 4 5f x x x     0f x  0   f x x x x R  0a  x   0f x    0f x    0f x    0f x    0f x  2 24 3 0 4 3 0x x x x        2 4 3 0x x   4 2 7 2 72x          , 2 7 2 7,         1 2 3 0x x x        21 2 3 0x x x         1 2 3f x x x x      0f x  1 2 31, 2, 3x x x   1 2x  3x      1,2 3,  22 0x   2x   22x    1 3 0 2 0 x x x       1 3x   2x      1,2 2,3  1 2 3 像中的数轴分为上下两个部分，上面为 的部分，下方为 的部分。以例 2 （1）为例，当 时，每一个因式均大于 0，从而整个 的符号为正，即在数轴的上方 （这也是为什么不管不等号方向如何，穿根时一定要从数轴右上方开始的原因，因为此时 的符号一定为正），当经过 时， 由正变负，而其余的式子符号未变，所以 的符号发生一次改变，在图像上的体现就是穿根下来，而后经过下一个根时， 的 符号再次发生改变，曲线也就跑到 轴上方来了。所以图像的“穿根引线”的实质是 在经历每一个根时，式子符号的交替变化。 例 3：解下列分式不等式：（1） （2） 解：（1）不等式等价于 不等式的解集为 （2）不等式等价于 解得： 不等式的解集为 例 4：（1） （2） （3） 分式不等式在分母符号不定的情况下，千万不要用去分母的方式变形不等式（涉及到不等 号方向是否改变），通常是通过移项，通分，将其转化为 再进行求解 解：（1） 或 不等式的解集为   0f x    0f x  3x   f x  f x 3x   3x   f x  f x x  f x 2 1 03 x x   2 2 4 3 06 8 x x x x         2 1 3 0 1 , ,323 0 x x x x                1 , ,32             2 2 2 4 3 6 8 0 1 3 2 4 0 2 46 8 0 x x x x x x x x x xx x                   且 1 2 3 4 2 4 x x x x        或 且     1,2 3,4 2 1 13 x x   2 21x x  2 16 12 x x x       0f x g x  2 1 2 11 1 03 3 x x x x         4 3 04 0 43 3 0 x xx xx x          3x      ,3 4,  （2） 不等式的解集为 （3）思路：观察发现分母 很成立，所以考虑直接去分母，不 等号的方向也不会改变，这样直接就化为整式不等式求解了 解： 不等式的解集为 例 5：解不等式： （1） （2） 解：（1）方法一： 所解不等式可转化为 方法二：观察到若要使得不等式 成立，则 ，进而 内部恒 为正数，绝对值直接去掉，即只需解 即可。解得 不等式的解集为 （2）思路：观察可发现不等号左右两端式子相同，一个数的绝对值大于它本身，则这个数一 定是负数，所以直接可得： 不等式的解集为 小炼有话说：含绝对值的不等式要注意观察式子特点，选择更简便的方法 例 6：解不等式：（1） （2） 解：（1）含多个绝对值的问题，可通过“零点分段法”来进行分类讨论 令两个绝对值分别为零，解得： ，作出数轴，将数轴分为三部分，分类讨论 2 21x x      22 1 2 122 0 0 0 01 1 1 1 x x x xx xx x x x x                   1 1 0 1 0 1 11 0 x x x x x xx              或     1,0 1,   22 6 12 3 3 0x x x      2 2 1 6 126 12 x x x xx x         2 7 12 0 3 4 0x x x x        3 4x     3,4 2 3x x x  2 2x x x x   2 2 2 3 4 03 3 0 23 x x x x or xx x x x xx x x                  0 2x   2 3x x x  3 0 0x x   2x x 2 3x x x  0 2x    0,2 2 0 0 2x xx        0,2 1 2 5x x    2 1 2 0x x    2, 1x x   ① 不等式变为 ② 时，不等式变为 时不等式均成立 ③ 不等式变为 综上所述：不等式的解集为 小炼有话说：零点分段法的好处在于，一段范围可将所有的绝对值一次性去掉，缺点在于需 要进行分类讨论，对学生书写的规范和分类讨论习惯提出了要求，以及如何整理结果，这些 细节部分均要做好，才能保证答案的正确性 （2）思路：本题依然可以仿照（1）的方式进行零点分段，再解不等式，但从另一个角度观 察，所解不等式为 ，两边均是绝对值（非负数），所以还可以考虑两边平方 （所用不等式性质： ）一次将两个绝对值去掉，再进行求解。 解： 不等式的解集为 例 7：解下列不等式： （1） （2） （3） （4） 解：（1） （2） 或 不等式的解集为 不等式的解集为 （3） 1x  1 2 5 2x x x      1 2x   2 1x   1 2 5 3 5x x      2 1x   2x   1 2 5 3x x x       3 2x     3,2 2 1 2x x   2 20a b a b    2 1 2x x      2 2 2 22 1 2 4 4 1 4 4x x x x x x          23 3 1 1x x        1,1 2 3 21 22 x x         2 2 10.2 0.04x x    2 2log 2 3x x     2 1log 2 1x x x    2 3 21 22 x x         2 2 10.2 0.04x x   23 22 2x x     2 6 5 20.2 0.2x x   23 2x x    2 6 5 2x x    2 2 3 0x x    2 6 7 0x x    3x  1x   1 7x        , 1 3,     1,7  2 2log 2 3x x   2 2 2 2 log 2 log 8 2 0 x x x x       2 2 2 8 2 4 2 0 0 2 x x x x x x x              或 或 不等式的解集为 （4） 或 可解得： 不等式的解集为 例 8：解下列不等式： （1） （2） （3） （4） （1）思路： ，从而可将 视为一个整体，则所解不等式可看做关于 的二次不等 式，解出 的范围，再反求 的范围即可 解： 令 即 不等式的解集为 （2）思路：观察到不等式左侧的两项存在真数底数互换位置的特点，联想到对数公式： ，从而选择一项进行变形（比如选择 )，再将 视为一个 整体解不等式，解出 的范围后进而求出 的范围 解： 2 0x   2 4x      2,0 2,4     2 1log 2 1x x x           2 1 1log 2 log 1x xx x x      2 2 2 1 1 1 2 0 x x x x x x             2 2 2 1 0 1 1 2 0 x x x x x x               3x    3, 9 4 3 12 0x x       11 2 1log log 1 14x x    1 2 1 12 6 82 x x         2 3 3 1x x    2 9 3x x 3x 3x 3x x 9 4 3 12 0x x     2 3 4 3 12 0x x    3 , 0xt t  2 4 12 0 0 6t t t       30 3 6 log 6x x      3,log 6 1log loga b b a  1 1log 4x  1 2 log 1x   1 2 log 1x  x    11 2 1log log 1 14x x    令 不等式转化为： 或 ，即 或 可解得： 或 （3） 令 不等式转化为： 即 不等式的解集为 （4）思路：所解不等式等价于 ，本题可以考虑对 的符号进行讨论，从 而去掉绝对值解出不等式。但从另一方面，可发现 ，从而所解不等式转化为： ，将 视为一个整体，先解出 范围，进而解出 的范围 解： 令 ，所解不等式转化为        1 1 1 12 2 4 2 1 0 1 1 1 2 1 2log 1 1 log 1 1log 1 log 1 x x x x x xx x                              1 2 t log 1x  0t     22 21 0 0 2 1 0t tt t t tt t           2t   0 1t   1 2 log 1 2x     1 2 0 log 1 1x   5x  3 22 x  1 2 1 12 6 82 x x          2 212 16 2 8 2 3 2 82 2 x x x x         2 2 6 2 16 0x x     2 , 0xt t  2 6 16 0 0 8t t t      0 2 8 3x x      ,3 21 3 3 1x x     x 22x x 2 2 3 3 1 3 3 1 x x x x         x x x 2 23 3 1 1 3 3 1x x x x         2 2 3 3 1 3 3 1 x x x x          0t x  2 2 3 3 1 3 3 1 t t t t         即 即 或 不等式的解集为 例 9：已知不等式 的解集为 ，则 ___， ____ 思路：所解不等式 ，即 ， 观察可得只要 让第二个不等式成立，则第一个一定成立。所以只需解 。由 已知可得此不等式的解集为 ，则 为 的两根，代 入 解得 ，再解得 答案： 小炼有话说：解多个同时成立的不等式时，不妨观察它们之间是否存在“替代”关系，从而 简化所解不等式的个数 例 10：已知不等式 的解集为 ，则 的取值范围是________ 思路：所给条件等价于 的解集为 ，即 的解集为 ，由此 可得： 解得： 答案： 2 2 3 173 2 0 2 3 4 0 0 4 t t t t t t              3 17 42 t   3 17 42 x   3 174 2x     3 17 42 x    3 17 3 174, ,42 2               2 2log 3 6 2ax x      ,1 ,+b  a  b    2 2 2 2 2 3 6 0 log 3 6 log 4 3 6 4 ax x ax x ax x            2 2 3 6 0 3 2 0 ax x ax x        x 2 3 2 0ax x      ,1 ,+b  1,x x b  2 3 2 0ax x   1x  1a  2b  1, 2a b   2 2log 2 5 1ax x   R a 2 2 2 5 2 2 5 0 ax x ax x        R 2 2 3 0ax x   R 0 4 12 0 a a      10 3a  10 3a 